簡介與使用說明 『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』

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1 簡介與使用說明 『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』
為使初學幾何者更有效率學習所整理的簡報教材， 儘可能使用直觀的「操作模式」來引導、解說圖形性質。 使用說明： 這是 Power Point 2002 簡報檔，動畫表現還可接受， 按滑鼠左鍵或右鍵便能持續進行， 「大綱」是學習順序與該頁的說明重點、 有些補充說明或教學心得可參考或記錄在「備忘稿」。 再提供適時的GSP圖檔強化或輔助操作說明。 【連結GSP使用說明頁】 『大綱』、『投影片』、『備忘稿』、『GSP圖檔』 四者相輔相成，互補短長。 『數學的學習注重循序累進的邏輯結構』是「數學領域--九年一貫綱要 」中第一項「基本理念」中的第一句話。

2 簡要說明 首先說明四邊形的外角和與內角和之外，由於平行四邊形是四邊形中具有較多特性的一種，所以就其性質詳加說明。
「有兩組對邊分別平行的四邊形」，就是平行四邊形。透過直接觀察平行四邊形的「產生」，再由過程中去體會推論出平行四邊形的性質與判別方法。 其它如：矩形、正方形、菱形，都是平行四邊形的特例，只簡單的介紹它們的定義。 再來也要認識「梯形的兩腰中點連線性質」與「鳶形的線對稱性」。 還有是與平行四邊形有關，很神奇的的「鴿眼翻轉」拼圖。

3 相同操作模式，可推得「N邊形的一組外角和＝360度」。
G S P 外角和【360°】-(1) 每個內角各有兩個相鄰的外角（互為對頂角，各取其一）。 如圖，□ABCD的四個外角和等於360度， 即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，稱為四邊形的外角和定理。 仿照「三角形外角和」， 使用「繞圈圈」方法， 可將外角和等於360度的 結論很明顯的操作出來。 3 C D 4 A 2 1 B 相同操作模式，可推得「N邊形的一組外角和＝360度」。

4 G S P 內角和【360°】-(2) 除了可仿照三角形「繞圈圈」的操作得到結論之外，常用的方法是將四邊形做適當的分割，再應用已知的「三角形內角和＝180度」求解而得。 同理，可推得「N邊形的內角和＝(N－2) ×180度」。 由（N個平角和－外角和＝內角和）最符合ㄧ般性的解法。

5 直觀操作-(1) 平行四邊形的定義是：兩組對邊分別平行。 所以，利用「定義」的方法，將兩組平行線交錯疊合，顯然形成平行四邊形。
G S P 直觀操作-(1) 平行四邊形的定義是：兩組對邊分別平行。 所以，利用「定義」的方法，將兩組平行線交錯疊合，顯然形成平行四邊形。 可參考「GSP」動畫。 想想：此操作方法可合理推論出平行四邊形的什麼特性呢？

6 直觀操作-(2) 將一線段的端點沿著直線方向平移（圖形沿相同方向移動相同距離），則其外圍軌跡形成平行四邊形。
G S P 直觀操作-(2) 將一線段的端點沿著直線方向平移（圖形沿相同方向移動相同距離），則其外圍軌跡形成平行四邊形。 可參考「GSP」動畫。 想想：此操作方法可合理推論出平行四邊形的什麼特性呢？

7 G S P 直觀操作-(3) 將兩全等且重合的三角形，以其中一塊三角形的一邊中點為旋轉中心，旋轉180度，則由「旋轉180度產生重合線段或平行線」的概念，確知對邊是對應邊互相平行，可以拼出平行四邊形。 可參考「GSP」動畫。 可直接認為兩全等三角形可以「旋轉拼出」平行四邊形。 想想：此操作方法可合理推論出平行四邊形的什麼特性呢？

8 G S P 性質與判別方法-(1) 平行四邊形的邊、角、對角線彼此之間有什麼固定不變的關係存在呢？ 這種存在於特定圖形的特定關係，數學上稱為該圖形的 性質，是必須透過合理的推論過程加以解釋的。 D C B A 國中常提到的平行四邊形的性質有： (1) 兩組對邊分別平行。（定義） (2) 兩組對角分別相等。 (3) 兩組對邊分別相等。 (4) 對角線將平行四邊形分割成兩全等三角形。 (5) 兩對角線互相平分。 初學者或許很難懂得什麼是「性質」？也分不清楚推理順序。 使用「三角形全等」的推理證明很容易獲得結論，但課本還沒教。

9 G S P 性質與判別方法-(2) 判別方法：是指一個四邊形合乎某些條件之後，就可因此判斷、確定它是平行四邊形。 常由「性質」逆向思考、尋找（就如同數學算式的倒推）。 判別方法也是必須透過合理的推論過程加以解釋的。 國中常提到的平行四邊形的判別方法有： (1) 兩組對邊分別平行。（定義） (2) 兩組對角分別相等。 (3) 一組對邊平行且相等。 (4) 兩組對邊分別相等。 (5) 兩對角線互相平分。 (6) 對角線將四邊形分割成兩全等三角形。（Why？） 即：四邊形合乎上述(1)～(5)任一條件，那就可因此判斷、確定它是平行四邊形。 D C B A 初學者或許很難懂得什麼是「判別方法」？也分不清楚推理順序。 「將文字敘述看懂」，會有很大的幫助。

10 性質與判別方法-(3) 看了前述的「性質」與「判別方法」，或許有似曾相似的感覺，因為有些內容在國小時已經「知道」了。
因為是由「直觀操作（平移 旋轉 點對稱）」的過程來推論平行四邊形的「性質」與「判別方法」，實在很難將「性質」與「判別方法」切開分成兩部分各自討論。 所以，先提示「性質」與「判別方法」的內容，知道要討論的重點，那麼在解說對照時，就會比較容易明白了。 當然解釋過程與性質講解的先後順序有關，只要能「自圓其說」即可，這裡依循直觀操作-(1)(2)(3)的順序。 在僅知道平行四邊形的情況之下（對邊平行），直接勞作拼圖「疊合檢驗」對角線所分割的兩三角形全等不合學習順序，這與直接拿尺、量角器測量的結果有何差別？ 基本觀念：全等  重合。（但不知全等，如何會重合？） 最後，再以「流程圖」將整個環環相扣的「操作說明」連結起來，也方便隨時查閱。

11 G S P 兩組對角分別相等-(性質) 使用『操作-(1)』可以作出任意的平行四邊形， 先備經驗：【過直線外一點恰有一條平行線】、 【重合（共線） 平移  平行】。 因為「平移」可得「同位角」相等，又兩相交直線，產生 「對頂角相等」，進而推得「對角相等」。 初學者要避免使用「推理證明」的文字敘述解說方式。 所以，解說【對角相等】採用「平移」操作，雖然比較繁瑣，但是平行線的性質不就是「平移旋轉」操作出來的「文字描述」嗎？ 【重合（共線）  平移  平行】 結論（性質之2）：平行四邊形的兩組對角分別相等。

12 兩組對角分別相等-(判別) 反之，若一四邊形有兩組對角分別相等， 如圖，由四邊形內角和為360度， 可以推算出兩鄰角的和為180度（∠A＋∠D＝180°）， 則∠A與∠D的外角（∠1）相等， 因為有一邊共線，表示∠A可平移至∠1， 所以，對邊（對應邊）　　　　 平行。 同理，另一組對邊　　　　 也會平行。 推得四邊形的兩組對邊分別平行， 由定義知，此四邊形為平行四邊形。 AB 與 DC AD 與 BC D C B A 1 使用「平移」的操作觀念說明平行。 【全等圖 或 等角 可經由 平移、旋轉、對稱 使之 重合】 【重合（共線）  平移  平行】 結論（判別之2）：若四邊形的兩組對角分別相等， 則是平行四邊形。

13 一組對邊平行且相等-(判別) 使用『操作-(2)』，將線段端點貼齊直線平移，其外圍軌跡 形成平行四邊形，且在操作過程確定對邊相等。
G S P 一組對邊平行且相等-(判別) 使用『操作-(2)』，將線段端點貼齊直線平移，其外圍軌跡 形成平行四邊形，且在操作過程確定對邊相等。 將　　的端點A，貼齊直線L，沿著直線平移至　　處。 因為「平移」，所以　　　　 且　　　　 ， 又A點沿著直線路徑平移到D點， 所以B點也會沿著相同方向（沒有旋轉） 　與相同路徑長度平移到C點， 所以　　　　 且　　　　 。 AD // BC AB // DC AD ＝ BC AB ＝ DC AB DC L D C A B 結論：由線段平移所作出的平行四邊形，其對邊等長。 結論（判別之3）：若四邊形有一組對邊平行且相等 （線段平移），則是平行四邊形。

14 兩組對邊分別相等-(性質) 利用「線段平移」作出的平行四邊形，其對邊等長。 但若先給予平行四邊形，如何說明其對邊等長呢？
想法：任意給予的平行四邊形都可利用「線段平移」方法 把它給作出來，如此就可說「對邊等長」了。 L (1) 先給予平行四邊形PQRS，作直線L＝ 　， 　　　。將　 沿著L平移至S點，設為 D點，則P、Q、S分別與A、B、D重合。 PS AB＝PQ AB S D C R (1) 線段是直線的一部分，兩線段的交點與把兩線段延長成為直線的交點是同一個點。 (2) 線段重疊，則直線重合。兩相異直線有唯一交點。 P A B Q (2) 過直線外一點，恰可作出一條平行線。 故平移至S點的　 與 重疊；B點的平移軌跡（線段） 與 重疊，可推得C點也與R點重合。（參閱備忘稿） SR QR AB 結論（性質之3）：平行四邊形的兩組對邊分別相等。

15 對角線分割成兩全等三角形-(性質) 好不容易得到的性質要「善加利用」， 現在已經推得「平行四邊形的對邊相等」。
則連接平行四邊形對角線所分割的兩個三角形，其三邊分別對應相等（再加上對角線產生的公共邊），之前在相似形與三角形單元（三角形的穩定性）已分別討論，合乎「SSS作圖全等」條件，所以，兩三角形會全等。 已經推論過的性質，可以直接的「應用」，現學現用。 「SSS作圖全等」在「相似形」與「三角形」單元已經使用「穩定性」說明。 透過自己操作過程中，並無法再改變三角形的形狀大小進而了解「SSS」。 結論（性質之4）：對角線將平行四邊形分成兩全等三角形。

16 G S P 兩組對邊分別相等-(判別) 兩個全等的三角形可旋轉拼出平行四邊形或鏡射拼出鳶形。 若四邊形的兩組對邊分別相等，則連接對角線所分割的兩個 三角形，合乎「SSS作圖全等」條件，所以會全等。 因為對邊是對應邊相等，故知兩全等三角形拼出的不是 鳶形，而是旋轉180度拼出的平行四邊形。 D A B C 這利用「直觀操作-３」所推得的結果。 「SSS作圖全等」在「相似形」與「三角形」單元已經使用「穩定性」說明。 透過自己操作過程中，並無法再改變三角形的形狀大小進而了解「SSS」。 結論（判別之4）：若四邊形有兩組對邊分別相等， 則是平行四邊形。

17 對角線互相平分-(性質) 任意的平行四邊形可被其對角線分割成兩個全等三角形， 故可以其中一條對角線的中點為旋轉中心旋轉180°，將兩三角形互相重合。所以，平行四邊形是「點對稱圖形」。 再由旋轉操作過程知道另一條對角線端點正好互為對稱點，而旋轉中心是對稱點所連接的線段（對角線）的中點，所以對稱中心是兩對角線的交點，且兩對角線互相平分。 全等圖形可經由「平移、旋轉、對稱」使之重合。 這裡發現以一三角形的一邊的中點為旋轉中心，採用「旋轉180度」方法，可使兩全等三角形重合。因為對角線是對應相等且公用重合的邊，除非不動，否則就是「旋轉180度」仍然保持重合。 結論（性質之5）：平行四邊形的兩對角線互相平分。

18 對角線互相平分-(判別) 反之，若一四邊形的兩對角線互相平分， 如圖，　　　　 互相平分，交點O是「旋轉中心」，則 （A與C）、（B與D）互為對稱點，在平移、旋轉、對稱的圖形中，由對稱點所連接的圖形是會全等的。【參閱備忘稿】 所以，由（A-B-C-A）所連接的三角形與由其對稱點 （C-D-A-C）所連接的三角形會全等。故知此四邊形可由兩全等三角形旋轉180度拼出，是為平行四邊形。 AC 與 BD 當然也可由對稱點所連接的兩組線段（對應邊）相等（或平行），說明四邊形是「平行四邊形」。 D C O A B 結論（判別之5）：若四邊形兩對角線互相平分， 則是平行四邊形。

19 流程整理 九年級時記得「體會比較」使用「文字敘述」的推論過程。 判別方法 直觀操作 性質推論 對邊平行 對邊平行 兩組交錯的平行線 對角相等
G S P 流程整理 判別方法 直觀操作 性質推論 對邊平行 對邊平行 兩組交錯的平行線 對角相等 對角相等 一組對邊平行且相等 線段平移 平行四邊形 對邊相等 還沒有學「全等三角形」的性質之前，這是可「合理解釋」的一種操作模式。 對邊相等 對角線分成兩全等△ 兩全等△旋轉拼圖 對角線互相平分 對角線互相平分 九年級時記得「體會比較」使用「文字敘述」的推論過程。 下一頁 返回

20 平行四邊形的特例 矩形：四個角都是直角（90°）的四邊形。 合乎「對角相等」，所以矩形也是平行四邊形。 特點：對角線互相平分且等長。
菱形：四個邊等長的四邊形。 合乎「對邊相等」，所以菱形也是平行四邊形。 特點：對角線互相垂直平分。 正方形：四個邊等長與四個角都是直角（90°）的四邊形。 合乎「對邊、對角相等」，所以正方形也是平行四邊形， 正方形也是菱形，正方形也是矩形。 特點：對角線等長且互相垂直平分。

21 對邊相等的尺規作圖 認識了解「平行四邊形」之後，介紹一個最方便、簡單， 可使用「直尺、圓規」工具正確作出平行四邊形的方法。
步驟：先任作兩鄰邊，再作分別相等的對邊。 雖然沒正式介紹「尺規作圖」，但還是可用尺規先作給學生看，畢竟此時是最好的時機。 你知道作圖的理由根據嗎？

22 面積問題-(1) 兩對角線將平行四邊形分成四個小三角形， 可推算出「面積相等」。（上下全等、左右全等）
兩對角線將平行四邊形分成四個小三角形， 可推算出「面積相等」。（上下全等、左右全等） 又平行四邊形是「點對稱圖形」，通過「對稱中心」的直線都會將它分成「全等」的兩塊，每塊面積是全部的一半。 在「點對稱」單元，已經說明過點對稱圖形的「對稱全等」特性。

23 面積問題-(2) 如圖，P 是平行四邊形ABCD 內部任一點， 則 △PAB＋△PCD＝△PBC＋△PAD 。 簡單說明如下：
G S P 面積問題-(2) 如圖，P 是平行四邊形ABCD 內部任一點， 則 △PAB＋△PCD＝△PBC＋△PAD 。 簡單說明如下： 過 P 點分別作各邊的平行線，可產生四個小的平行四邊形 ，而平行四邊形的對角線會將其分割成兩個全等三角形。 P C D B A

24 平行四邊形對邊中點連線 如圖，平行四邊形ABCD，E、F分別是 是中點， 則， 且 。
AB//EF//CD AB＝EF＝CD AD、BC 回想「線段平移」： 在相同對應位置所得到的線段與原線段會相等且平行。 A B D C 平移對應的觀念。 E F 矩形、菱形、正方形也是平行四邊形，當然也有此性質。

25 回顧三角形兩邊中點連線性質-(1) 如圖，連接△ABC兩邊中點的線段（ ），會與第三邊 平行，且其長度是第三邊長度的一半。
G S P 回顧三角形兩邊中點連線性質-(1) 如圖，連接△ABC兩邊中點的線段（　），會與第三邊 平行，且其長度是第三邊長度的一半。 DE A B C D E D’ 利用旋轉拼圖變型成「平行四邊形」可解釋「三角形兩邊中點連線性質」。 A’ 將△ADE以E點為旋轉中心，旋轉180度後，可拼成四邊形，再由一組對邊平行且相等知道此四邊形是平行四邊形。 所以 　　　且　　　　。 DE//BC BC＝2DE

26 連接三角形三邊中點-(2) 若是依序連接△ABC三邊中點，則可得 三個平行四邊形（不一定全等） 與 四個全等的三角形（都是△ABC的1/2倍縮小圖）。 A B C A D E 進一步說明連接「三角形三邊中點」所形成的圖形。 B C F 換個觀點：分別過△DEF的頂點作對邊的平行線，則同樣可得三個平行四邊形（不一定全等） 與 △ABC（是△DEF的 2倍放大圖）。

27 鳶形（筝形） 鳶形：有兩組鄰邊分別相等的四邊形。
G S P 鳶形（筝形） 鳶形：有兩組鄰邊分別相等的四邊形。 鳶形常提到的性質有： (1) 其中一條對角線被另一條對角線垂直平分。 (2) 其中一條對角線將鳶形分成兩個全等的三角形 線對稱的特性。 鳶形是「線對稱圖形」。 兩個「底邊等長」等腰三角形，可以拼出「鳶形」。 兩個全等的三角形可以「線對稱」拼出「鳶形」。 所以，在「尺規作圖」中，常使用其性質作「垂直線」、「中垂線」、「角平分線」、…。

28 梯形 梯形：有一組對邊平行，但另一組對邊不平行的四邊形。
梯形中，平行的兩對邊稱為「底邊」，另一組不平行的對邊 稱為「腰」，底邊與腰的夾角稱為「底角」。 若兩腰相等，則稱為「等腰梯形」，它是「線對稱圖形」。 連接的對角線與對稱軸共點，且會等長。 線對稱的特性。 A B C D A B C D

29 梯形兩腰中點連線-(1) 如圖的梯形ABCD，作兩腰中點的連線 （中線）， 則 且 ＝（ ）/2 。
G S P 梯形兩腰中點連線-(1) 如圖的梯形ABCD，作兩腰中點的連線 （中線）， 則 且 ＝（ ）/2 。 EF AB//EF//CD AB＋CD 將四邊形EFCD以F點為旋轉中心，順時針旋轉180度， 可拼出平行四邊形（Why？），進而推得上述結論。 A B C D D C 「點對稱」的應用。 F E E 梯形面積：（上底＋下底）×高/2＝中線長 ×高

30 梯形兩腰中點連線-(2) 還可利用平行四邊形兩對邊中點的連線說明： 梯形中線 ，則 且 ＝（ ）/2 。
還可利用平行四邊形兩對邊中點的連線說明： 梯形中線 ，則 且 ＝（ ）/2 。 EF AB//EF//CD AB＋CD 取兩全等的梯形以 中點「F」為旋轉中心，順時針旋轉180度，因為全等梯形等高，兩底平行，可拼出「點對稱」的平行四邊形。兩梯形中線能連成直線（旋轉180度）， 得「平行四邊形兩對邊中點的連線」的圖形， ，且 2 ＝ 。 EF BC AD＋BC AB//EF//CD 「點對稱」的應用。 A B C D D A E C B F E

31 奇妙的分割組合-鴿眼翻轉-(1) 分別取出任意四邊形四個邊的中點，再做對邊中點連線，很簡單的切割方法，居然可拼湊組合成一個平行四邊形。
G S P 奇妙的分割組合-鴿眼翻轉-(1) 分別取出任意四邊形四個邊的中點，再做對邊中點連線，很簡單的切割方法，居然可拼湊組合成一個平行四邊形。 將此４塊一塊一塊翻轉使得外面的∠A、∠B、∠C、∠D翻到裡面，而裡面的∠1、∠2、∠3、∠4翻到外面。就可重新組合成平行四邊形。 A C D B 1 4 3 2 D 1 4 A 這是一個很具體、生活化的例子，能將學得的「平行四邊形」性質與判別方法「活用」出來。 先說明可拼出「四邊形」。 再說明此四邊形是「平行四邊形」。 請您自己試試看囉，在圖形與操作過程中尋找適合的解釋性質。 A D 1 4 B C 2 3 2 3 B C

32 奇妙的分割組合-鴿眼翻轉-(2) 拼出的圖形有正反兩面，鴿眼翻轉可得反面圖形，使用 旋轉與平移可得正面圖形。 1. 固定甲不動，
G S P 奇妙的分割組合-鴿眼翻轉-(2) 拼出的圖形有正反兩面，鴿眼翻轉可得反面圖形，使用 　旋轉與平移可得正面圖形。 1. 固定甲不動， 將乙向左上方旋轉180°，可得一組平行線。 2. 將丁向右上方旋轉180°， 可得另一組平行線。 D 4 丁 C 3 丙 A C D B 1 4 3 2 D 4 丁 3. 將丙往左上方平移， 可以密合成平行四邊形。 還記得「平移」與「旋轉180度」所產生的效果吧。 但是，能夠密合（連成直線）成邊的理由為何呢？ A 1 甲 B 2 乙 C 3 丙 4. 也可推得原四邊形對邊中點 　 的連線互相平分。 B 2 乙

33 其它的分割組合方法-(3) 固定一條對邊中點的連線，利用點對稱的觀念將另一條對邊中點的連線分成互相平行的兩段。
G S P 其它的分割組合方法-(3) 固定一條對邊中點的連線，利用點對稱的觀念將另一條對邊中點的連線分成互相平行的兩段。 A C D B 甲 乙 丙 丁 1 2 3 4 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 1 4 3 2 旋轉與平移 還是從原圖各邊中點作「切割」，動筆嚐試看看。 還有沒有想到其他的分割方法呢？試試看、畫畫看。

34 將正方形分割後拼成三角形 如何將正方形分割成四部分，再拼湊組合成三角形呢？
G S P 將正方形分割後拼成三角形 如何將正方形分割成四部分，再拼湊組合成三角形呢？ 取各邊中點通常是優先考慮的方向，接下來如何分割出三角形內角和＝180度的三個內角呢？

35 謝謝瀏覽　歡迎建議與指教 ◎ 合理的「操作（非實測）」可以觀察圖形性質的產生 或變化，進而培養了幾何推理與邏輯思考的能力，有 助於往後「推理證明」的學習。 ◎ 「直觀操作」與「推理證明」兩者可以相輔相成，在 八九年級時可引導將「操作」轉換成「推理證明」的 敘述。所以，本簡報檔也適用於九年級預習或複習。 ◎ 提供另類方法給您參考，歡迎建議與指教，集思廣益 下，相信您可以找到更好的解說方式，也會有更理想 的內容增減取捨安排。 ◎ 完全開放式的 PPT 與 GSP 檔，可視您的需要自行加 以增減修正，謝謝您的瀏覽與指教。 結束

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