第 9 章 估　計.

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1 第 9 章 估　計

2 第一節 點估計 點估計的定義 點估計的定義為： 詳細解釋上述的定義為：從欲估計的母體中隨機抽取樣本數為n 的一組樣本，應用樣本統計量（如 ）
第一節　點估計 點估計的定義 點估計的定義為： 詳細解釋上述的定義為：從欲估計的母體中隨機抽取樣本數為n 的一組樣本，應用樣本統計量（如　　） 計算獲得樣本統計量值（如平均數　），以此作為母體參數(μ) 的估計值。

3 第一節 點估計 點估計包含兩個要點： (1)是為隨機抽樣。 (2)透過樣本統計量（即統計函數公式）獲得樣本統計量值。
第一節　點估計 點估計包含兩個要點： (1)是為隨機抽樣。 (2)透過樣本統計量（即統計函數公式）獲得樣本統計量值。 樣本統計量，係指統計函數公式，由於它被用於估計的 用途，稱為估計量(estimator)，又稱點估計量。把樣本資 料代入估計量而計算得到的樣本估計量值，稱為估計值 (estimate)，又稱點估計值。而估計值就是用來估計母體 參數（即母數）的數值。

4 第一節 點估計 良好點估計量的條件 判斷點估計量的條件有四種： (1)不偏性(unbiasedness)。
第一節　點估計 良好點估計量的條件 判斷點估計量的條件有四種： (1)不偏性(unbiasedness)。 (2)有效性(efficiency)。 (3)一致性(consistency)。 (4)充分性(sufficiency)。

5 第一節 點估計 不偏性 判斷點估計量具有不偏性的條件如下： 例如： (1)E( )= μ， 是母數μ的不偏估計值。
第一節　點估計 不偏性 判斷點估計量具有不偏性的條件如下： 例如： (1)E( )= μ， 是母數μ的不偏估計值。 (2)E( )= p ， 是母數p的不偏估計值。

6 第一節 點估計 請參單元9-11， 和 兩者都適合作為樣本的變異數。但是 要作為母體的點估計值，則 優於 。
第一節　點估計 請參單元9-11， 和 兩者都適合作為樣本的變異數。但是 要作為母體的點估計值，則 優於 。 比較由 和 兩者計算出的數值，如果樣本個數n夠大 (n≥30)，和計算出的數值相差很微小，因此兩者可相互替用。 反之，n<30，一定要用 來做點估計值。 樣本數30是決定它是否夠大的臨界點，請讀者留意之。

7 第一節　點估計 有效性 若一母體參數 有兩種不偏估計量 和 ， 將許多組的隨機 樣本資料，分別帶入 和 兩種點估計量，計算出許多的 和 ，求兩者變異數，然後比較兩者大小，變異數值較小者， 較具備有效性，判斷點估計量具備有效性的條件如下：

8 第一節　點估計 一致性 樣本統計量 ，若樣本個數n增大，且逐漸接近於無限大時， 其點估計值會因而趨近於或等於母體參數 ，則稱此點估計 量具有一致性，判斷點估計量具備一致性的條件如下： 充分性 若計算樣本點估計量 時，能利用到樣本的資料訊息愈多， 則稱其充分性愈高。

9 第二節　區間估計 區間估計的形成概念 在單元8-9中曾介紹，隨機抽樣所產生的抽樣誤差（母數和統計量值 的差）是不可避免的，所以大部分情形，點估計量是不可能那麼巧 合地準確猜中參數的。 區間估計不像點估計，僅以一個點（即一個數值）來估計母體參數， 而是估計出一段能包含母體參數的上下界限之區間，並說明該區間 包含母體參數的可靠程度。 「可靠程度」是表示能正確猜中母體參數的機率大小。統計學家又 稱它為信賴度(confidence degree)、信賴水準(confidence level)、信賴係 數(confidence coefficient)或稱信心水準。

10 第二節 區間估計 區間估計的定義 (1)1-α，稱為信賴水準、信賴度、信心水準或信賴係數。 α 代表出現錯誤的機率。
第二節　區間估計 區間估計的定義 (1)1-α，稱為信賴水準、信賴度、信心水準或信賴係數。 α 代表出現錯誤的機率。 (2)L至U線段，稱為信賴區間(confidence interval)。信賴區間 是由樣本統計量及抽樣誤差所構成上下界限的區間。 (3)L稱為信賴下限(lower limit of confidence)。 (4)U稱為信賴上限(upper limit of confidence)。

11 第二節 區間估計 區間估計公式的推導過程，一般有下列三步驟： (1)選擇樣本統計量作為點估計量。
第二節　區間估計 區間估計公式的推導過程，一般有下列三步驟： (1)選擇樣本統計量作為點估計量。 (2)應用樣本統計量的抽樣分配原理，如Z常態分配，t分配 或 分配等。 (3)在1-α信賴水準下，求出信賴區間[L, U]。並使在界限內 可包含母體參數。 常見的母體參數有平均數、比率、變異數等多種，以下將 分別介紹這些參數的區間估計之形成及涵義。

12 第三節 母體平均數在大樣本下的區間估計 母體平均數μ的推導過程 (1)以樣本平均數 作為點估計量。
第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 母體平均數μ的推導過程 (1)以樣本平均數 作為點估計量。 (2)在n≥30的大樣本下，依據中央極限定理，不論母體的分配型態 為何，其樣本平均數將服從常態分配，亦即 ～N(μ, )，再經標準化後，可得標準常態分配：

13 第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 (3)在標準常態分配下，如圖所示，其中央1-α機率的Z分布為： 圖9-1 兩端相等之常態分配圖

14 第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 不等式兩側先乘以 ，再移項便獲得： 此式涵義：μ落在 至 區間的機率為1-α。

15 第三節 母體平均數在大樣本下的區間估計 μ的區間公式：在大樣本下、σx已知
第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 μ的區間公式：在大樣本下、σx已知 意即：在大樣本且σx已知的情況下，我們有(1-α)100%的信心推論母體 平均數μ會落在區間：

16 第三節 母體平均數在大樣本下的區間估計 μ的區間公式：在大樣本下、σx未知
第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 μ的區間公式：在大樣本下、σx未知 意即：在大樣本但σx未知的情況下，我們有(1-α)100%的信心 推論母體平均數μ會落在區間：

17 第三節　母體平均數在大樣本下的區間估計 結論

18 第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計

19 第四節 母體平均數在小樣本下的區間估計 單元9-35流程圖的①、②、③三條路徑，分析如下： (1)路徑①：
第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計 單元9-35流程圖的①、②、③三條路徑，分析如下： (1)路徑①： 小樣本，母體為非常態分配下， 的抽樣分配無法推導。 (2)路徑②： 小樣本，母體為常態分配， 已知等條件下， 抽樣分 配為常態分配 。μ的(1-α)100%信賴區間為： (3)路徑③： 小樣本，母體為常態分配，未知（以取代）等條件下的 轉化結果為：

20 第四節 母體平均數在小樣本下的區間估計 應用t分配，推導μ的區間估計公式。 (1)以樣本統計量 作為點估計量。
第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計 應用t分配，推導μ的區間估計公式。 (1)以樣本統計量 作為點估計量。 (2)在小樣本、母體常態分配及變異數 未知下，得到： (3)在t 分配下，其中央1-α機率的 t 分配為： 此式的涵義為：母體μ落在 至 區間的機率為1-α。

21 第四節 母體平均數在小樣本下的區間估計 μ的區間公式：在小樣本下、σx已知
第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計 μ的區間公式：在小樣本下、σx已知 小樣本，母體為常態分配， σx已知等條件下，抽樣分配為常 態分配，並可轉化成標準常態分配，獲得μ的區間估計公式為：

22 第四節 母體平均數在小樣本下的區間估計 μ的區間公式：在小樣本下、σx未知
第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計 μ的區間公式：在小樣本下、σx未知 意即：在小樣本且σX未知的情況下，我們有(1-α)100%的信心推 論母體平均數μ會落在區間：

23 第四節　母體平均數在小樣本下的區間估計 比較由Z分配和t分配所推導出母體μ的(1-α)100%信賴區間公式：

24 第五節　母體比率的區間估計 母體比率p的區間估計公式為： 意即：我們有(1-α)100%信心推論，母體比率p落在區間：

25 第六節　母體變異數的區間估計 母體變異數 的區間估計公式為： 意即：我們有(1-α)100%信心推論，母體變異數落在區間：

26 第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 例8 解
從某校隨機抽取10名學生，測其身高和體重，結果如下表。 試求該校學生身高平均的95%信賴區間。 解 1.SPSS操作步驟 STEP1 (1)開啟SPSS，進入「變數檢視」工作表（圖9-3）。然後 定義各「變數」的所有屬性。 表9-3　男女身高體重

27 第七節　應用SPSS求單一母體的信賴區間 (2)性別變數：在「名稱」格輸入「sex」；在「標記」格輸入 性別；在「數值」格輸入「1」為「男生」，「2」為「女 生」。 身高變數：在「名稱」格輸入「height」；在「標記」格輸入 「身高」。 體重變數：在「名稱」格輸入「weight」；在「標記」格輸入 「體重」。 未經設定的屬性，則採用系統「內定值」。 (3)按左下角切換標籤（圖9-3），轉換叫出「資料檢視」工 作表（圖9-4）。

28 第七節　應用SPSS求單一母體的信賴區間 圖9-3　界定變數屬性

29 第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 STEP2：輸入資料
(1)依表9-3資料，分別輸入資料到「資料檢視」工作表的儲 存格內（圖9-4）。 (2)在第一縱欄「sex」格輸入「1」時，會出現「男生」， 輸入「2」時，會出現「女生」。

30 第七節　應用SPSS求單一母體的信賴區間 圖9-4　輸入數值資料

31 第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 STEP3：單一樣本T檢定
在功能表列（圖9-5），按「分析」→「比較平均數法」→ 「單一樣本T檢定」，開啟主對話盒：「單一樣本T檢定」 （圖9-6）。

32 第七節　應用SPSS求單一母體的信賴區間 圖9-5　選擇分析法：單一樣本T檢定

33 第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 STEP4：
(2)在「檢定值」框內，輸入「0」。 (3)點選「選項」鈕（圖9-6），開啟次對話盒：「單一樣 本T檢定：選項」（圖9-7）。 圖9-6　主對話盒：單一樣本T檢定

34 第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 STEP5：
(2)點選「依分析排除觀察值」。 (3)按「繼續」鈕，回到主對話盒（圖9-6）。 圖9-7　次對話盒：選項

35 第七節 應用SPSS求單一母體的信賴區間 STEP6 (1)在主對話盒（圖9-6）核對完所有操作之後，按 「確定」 鈕（圖9-6）。
2.解釋報表 (1)由圖9-8獲得學生身高平均數為147.60，標準差為5.481。 (2)由圖9-9，得到全校學生身高（母體）平均數的95%信賴 區間為[143.68, ]。

36 第七節　應用SPSS求單一母體的信賴區間 圖9-8　單一樣本統計量 圖9-9　單一樣本檢定