2-3 數學歸納法 歸納法 歸納臆測 數學歸納法.

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1 2-3 數學歸納法 歸納法 歸納臆測 數學歸納法

2 2-3 數學歸納法 歸納法 歸納法是人類認識自然、研究自然的一種古老方法。
1.自然現象 向上扔一塊石子，石子會掉下來；扔一個球，球也會掉下來；跳高選手用力往上一躍，不管跳得多高，仍會掉下來；牛頓在果樹下沉思，看到蘋果掉落地面…，由種種物體落地的經驗可以歸納出： 任何物體往上拋擲，都會落下地面。 後來才瞭解這是物體受地心引力的作用。 2-3　數學歸納法 01

3 2除外，4＝2＋2 ； 6＝3＋3； 8＝3＋5 ； 10＝3＋7＝5＋5 12＝5＋7 ； 14＝3＋11＝7＋7 16＝5＋11 …
歸納法 2.偶數拆解成兩個質數和 2除外，4＝2＋2 ； 6＝3＋3； 　　　 8＝3＋5 ；　 10＝3＋7＝5＋5 　　　 12＝5＋7 ；　 14＝3＋11＝7＋7 　　　 16＝5＋11 … 由此歸納出： 哥德巴赫猜想 　　任何大於2的偶數，都是兩個質數的和。 2-3　數學歸納法 02

4 歸納法 解： 2-3　數學歸納法 03

5 歸納法 3.費瑪猜想 法國數學家費瑪( P. de Fermat 1601～ 1665 )曾考慮下面的數列 　　Fn＝( 2 )2 ＋1。 當n＝1，2，3，4時，前四項分別為　　 F1＝5，F2＝17，F3＝257，F4＝ 都是質數，因而歸納出下面的猜想： 　　＜Fn＞的各項都是質數。 n 大約過了一百餘年，瑞士數學家尤拉 ( L. Euler 1707～1783 )才發現第五項 　　a5＝232＋1＝ ＝641× 可被641整除，所以a5不是質數。 2-3　數學歸納法 04

6 歸納法 2-3　數學歸納法 05

7 歸納法 解： 2-3　數學歸納法 06

8 歸納推理得出的“結論”不一定正確！仍須加以“驗證”。
歸納法 歸納推理得出的“結論”不一定正確！仍須加以“驗證”。 2-3　數學歸納法 07

9 歸納臆測 歸納臆測能提供“發現”真理的契機
歸納法是人類探索宇宙常用的一種方法。透過觀察(記錄、比對)歸納出結論，並在這個結論上進一步提出概括性的敘述，形成“臆測”(或稱猜想)，這種歸納臆測的方法往往提供發現真理的契機，故 　　　　觀察 → 歸納 → 臆測 → 驗證 始終是人類發現問題、解決問題的一個重要過程。 2-3　數學歸納法 08

10 歸納臆測 解： 2-3　數學歸納法 09

11 歸納臆測 2-3　數學歸納法 10

12 歸納臆測 解： 2-3　數學歸納法 11

13 歸納臆測 解： 2-3　數學歸納法 12

14 數學歸納法 數學歸納法是透過 觀察 → 歸納 → 臆測 → 證明 等步驟來處理涉及無限多正整數n之問題的一種有效的方法。 數學歸納法的內涵
　　　　觀察 → 歸納 → 臆測 → 證明 等步驟來處理涉及無限多正整數n之問題的一種有效的方法。 數學歸納法的內涵 先從簡單的事例中歸納出規律來，再去證明規律的一般性。 2-3　數學歸納法 13

15 數學歸納法 解： 2-3　數學歸納法 14

16 (2) 假設P (k)成立，在這個基礎上去推導出 P (k＋1)也成立。 通過(1)，(2)兩個步驟，就得出P (n)對全體自然數n都成立。
數學歸納法 用數學歸納法證明問題的關鍵步驟 上面的證法，有兩個最關鍵的步驟： (1) 驗算n＝1時，P (1)成立。 (2) 假設P (k)成立，在這個基礎上去推導出 P (k＋1)也成立。 通過(1)，(2)兩個步驟，就得出P (n)對全體自然數n都成立。 第(2)步驟：假設P (k)成立，去推導P (k＋1)成立像不像骨牌效應？請讀者細細去體悟利用“P (k)成立去推倒P (k＋1)亦成立”來處理無限的神妙。 2-3　數學歸納法 15

17 這裡必須強調一下，數學歸納法中證明的兩個步驟： (1) 驗算n＝n0時，P (n0)成立。
(2) 假設P (k)成立，去推導P (k＋1)也成立( k  n0 )。 缺一不可！步驟(1)稱為起始步驟，步驟(2)稱為遞推步驟，而(2)中的假設P (k)成立稱為歸納假設。 2-3　數學歸納法 16

18 數學歸納法 證明： 2-3　數學歸納法 17

19 數學歸納法 證明： 2-3　數學歸納法 18

20 數學歸納法 證明： 2-3　數學歸納法 19

21 數學歸納法 證明： 2-3　數學歸納法 20

22 數學歸納法 證明： 2-3　數學歸納法 21

23 數學歸納法 證明： 2-3　數學歸納法 22

24 數學歸納法 解： 2-3　數學歸納法 23