概率论与数理统计 2019/4/9 1.

Presentation on theme: "概率论与数理统计 2019/4/9 1."— Presentation transcript:

1 概率论与数理统计 2019/4/9 1

2 第一章 概率论的基本概念 样本空间，随机事件 频率和概率 等可能概型 条件概率 事件的独立性 2

3 §1 样本空间，随机事件 自然界与社会生活中的两类现象 确定性现象 不确定性现象 确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定 3

4 例： 向上抛出的物体会掉落到地上（确定） 打靶，击中靶心（不确定） 买了彩票会中奖（不确定） 4

5 5

6 概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的学科。
6

7 对随机现象的观察、记录、实验统称为随机试验。它具有以下特性：
可以在相同条件下重复进行； 事先知道可能出现的结果； 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生。 7

8 例： 抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记； 8

9 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}，
(一)样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}， 称S中的元素e为样本点，一个元素的单点集称为基本事件． 9

10 例： 一枚硬币抛一次 记录一城市一日中发生交通事故次数 记录一批产品的寿命x 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y 10

11 S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b } S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 11

12 一般我们称S的子集A为E的随机事件A，简称事件A.当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。
(二) 随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件A，简称事件A.当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 12

13 事件A是相应的样本空间S的一个子集，其关系可用维恩(Venn)图来表示；
随机事件有如下特征： 事件A是相应的样本空间S的一个子集，其关系可用维恩(Venn)图来表示； 事件A发生当且仅当A中的某一个样本点出现； 事件A的表示可用集合，也可用语言来表示。 13

14 例：观察89路公交车浙大站候车人数。 S={0,1,2,…}； A={至少有10人候车}={10,11,12,…} S，A为随机事件，
14

15 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。 记Φ为空集，不包含任何样本点, 则每次试验Φ都不发生, 称Φ为不可能事件。 15

16 (三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等） 16

17 例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点数奇偶性不同} ，则 17

18 事件的运算 A与B的和事件，记为 S B A 18

19 事件的运算 A与B的积事件，记为 S A B 19

20 当AB= Φ时，称事件A与B是互不相容的，或互斥的.
S B A 20

21 S 21

22 S A B 22

23 “和”、“交”关系式——德摩根定律 23

24 {甲、乙至少有一人来} {甲、乙都来} {甲、乙都不来} {甲、乙至少有一人不来}
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听 课 } ，则： {甲、乙至少有一人来} {甲、乙都来} {甲、乙都不来} {甲、乙至少有一人不来} 24

25 概率中常有以下定义：由n个元件组成的系统，其中一个损坏，则系统就损坏，此时这一系统称为“串联系统”；若有一个不损坏，则系统不损坏，此时这一系统称为“并联系统”。
25

26 例： 由n个部件组成的系统，记 串联系统： 并联系统： 26

27 §2 频率与概率 (一)频率 定义：记 其中 —A发生的次数(频数)； n—总试验次数。称 为A在这n次试验中发生的频率。 27

28 例： 中国男子国家足球队，“冲出亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，在这n次试验中“冲出亚洲”这事件发生的频率为 28

29 某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
29

30 例: 2000年悉尼奥运会开幕前，气象学家对两个开幕候选日“9月10日”和“9月15日”的100年气象学资料分析发现，“9月10日”的下雨天数为86天， “9月15日”的下雨天数为22天. 即“9月10日”和“9月15日”的下雨频率分别为86％和22％， 因此最后决定开幕日定为 “9月15日”。 30

31 频率的性质： 31

32 例：抛硬币出现的正面的频率 试验 序号 n =5 n =50 n =500 nH fn(H) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.4 0.6 0.2 1.0 0.8 22 25 21 24 18 27 31 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 0.62 251 249 256 253 246 244 258 262 247 0.502 0.498 0.512 0.506 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494

33 实验者 n nH fn(H) 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲 丰 4040 0.5069 K·皮尔逊 12000 6019
0.5016 24000 12012 0.5005 33

34 频率的重要性质： 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p. 34

35 (二) 概率 定义：对样本空间S中任一事件A，定义一个实数P(A)，如果满足以下三条： 则称P(A)为事件A的概率。 （1）非负性：
（2）规范性： （3）可列可加性：若 两两不相容，则 则称P(A)为事件A的概率。 (二) 概率 35

36 性质： 36

37 37

38 S A B 38

39 39

40 40

41 41

42 42

43 例2.1：甲乙丙3人去参加某个集会的概率均为0.4，其中至少有两人参加的概率为0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至少有一人参加的概率。
43

44 解：设A, B, C分别表示甲, 乙, 丙参加，由条件知 P(A) = P(B) =P(C) = 0.4,
P(AB ∪ AC ∪ BC) = 0.3, P(ABC) = 0.05. 44

45 由0.3＝P(AB ∪ AC ∪ BC) = P(AB) + P(AC) + P(BC) −2P(ABC),
45

46 = P(A) + P(B) + P(C) -P(AB) - P(AC) - P(BC)+ P(ABC) = 0.85.
因此， P(甲乙丙至少有一人参加） = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) -P(AB) - P(AC) - P(BC)+ P(ABC) = 0.85. 46

47 §3 等可能概型（古典概型） 定义：若试验E满足： 称这种试验为等可能概型(或古典概型)。 S中样本点有限(有限性)
出现每一样本点的概率相等(等可能性) 称这种试验为等可能概型(或古典概型)。 47

48 48

49 例3.1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红球 }，求P(A)． （2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一红一黄}，求P(B)． 49

50 解：(1) 50

51 例3.2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
51

52 （注：当L>m 或 L<0时，记 ）
解： （注：当L>m 或 L<0时，记 ） 52

53 例3.3：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)．
53

54 54

55 应用（生日问题）在一个n（≤365）人的班级里，至少有两人生日相同的概率是多少？
55

56 解： 56

57 例3.4: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。求第k次摸到红球的概率。
57

58 58

59 解1： 与k无关 59

60 解2：视哪几次摸到红球为一样本点 每点出现的概率相等 60

61 解3：将第k次摸到的球号作为一样本点,由对称性，取到各球的概率相等
61

62 例3.5：（配对问题）一个小班有n个同学，编号为1, 2, …, n号，中秋节前每人准备一件礼物，相应编号为1, 2, … ,n。将所有礼物集中放在一起，然后每个同学随机取一件，求没有人拿到自己礼物的概率。 62

63 解：设 表示第i人拿到自己的礼物，i=1,2,…,n， A表示至少有一人拿到自己的礼物。
63

64 64

65 65

66 人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。
66

67 例3.6：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?
67

68 解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为
212/712 = 68

69 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此，有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。
69

70 70

71 71

72 72

73 §4 条件概率 例4.1：一个家庭中有两个小孩，已知至少一个是女孩，问两个都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的）

74 解： 由题意，样本空间为 表示事件“ 至少有一个是女孩”， 74

75 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一种， 所以有
75

76 这里 在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那么事件发生的概率为
其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原来的 缩减为 ，而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的

77 例4.2：有一批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为优质品，从中任取一件，记A={取到一件合格品}，
B={取到一件优质品}. 则 P(A)=90% 而P(B|A)=95%.

78 3.可将P(A)记为P(A|S)，P(A)也可视为 条件概率.
1.P(A)是A在整批产品中所占的概率比例 2.P(B|A)是B在A中所占的概率比例 3.可将P(A)记为P(A|S)，P(A)也可视为 条件概率. 78

79 一、条件概率定义 79

80 P(.|A)具有概率的所有性质。如： 80

81 81

82 82

83 83

84 84

85 85

86 二、乘法公式 当下面的条件概率都有意义时： 86

87 87

88 88

89 89

90 例4.6：一盒中有5个红球，4个白球，采用不放回抽样，每次取一个，取4次，（1）已知前两次中有一次取到红球，求前两次中恰有一次取到红球的概率；（2）已知第4次取到红球，求第1，2次也取到红球的概率。
90

91 解：Ai表示第i次取到红球，i=1,2,3,4，B表示前两次中有一次取到红球，C表示前两次中恰有一次取到红球的概率。则
91

92 例4.7：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产品的报废率。
92

93 解：设 A={生产的产品要报废} B={生产的产品要调试} 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2， 93

94 例4. 8：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人. 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如
例4.8：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。 94

95 解：设 Ai={ 这人第i次通过考核 }， i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }， 95

96 96

97 亦可： 97

98 三、全概率公式与Bayes公式 定义：称B1,B2,…,Bn为S的一个划分若： B1 B2 Bn S 98

99 定理： 设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n；则称： 为全概率公式 A B1 B2 Bn
99

100 证明 注：在运用全概率公式时，一个关键是构造一组合适的划分。 100

101 101

102 定理：接上面全概率公式的条件，且P(A)>0,则
称此式为Bayes公式。 102

103 例4.9：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为70%，若甲出差，则乙出差的概率为10%；若甲不出差，则乙出差的概率为60%。
(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 103

104 解：设A={甲出差}，B={乙出差} 104

105 例4.10：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：即
设A={试验反应是阳性}，C={被诊断患有癌症} 则有： 已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？ 105

106 若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。
106

107 107

108 §5 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件次品。从中取2次,每次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2 不放回抽样时，
§5 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件次品。从中取2次,每次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2 不放回抽样时， 放回抽样时， 108

109 即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响。同样，A2的发生对A1的发生概率不影响。
109

110 定义：设A，B为两随机事件，如果P(AB)=P(A)*P(B)，则称A，B 相互独立. 若 ，
P(AB)=P(A)P(B)等价于P(B|A)=P(B)， P(AB)=P(A)P(B)也等价于P(A|B)=P(A). 110

111 111

112 定义： 112

113 113

114 114

115 115

116 2°实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，而是由实际情形来判断其独立性。
注意： 2°实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，而是由实际情形来判断其独立性。 116

117 重复试验：如果各子试验是在相同条件下进行的。
设一个试验是由一系列子试验组成， 独立试验：指任一次子试验出现的结果都 不影响其他各子试验出现的结果； 例如观察十期彩票的开奖结果，是独立试验. 重复试验：如果各子试验是在相同条件下进行的。 117

118 118

119

120 120

121 121

122 122

123 例5.4：有5个独立元件构成的系统(如图1)，设每个元件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的概率。
123

124 124

125 125

126 例5.5：一袋中有编号为1,2,3,4共4个球，采用放回抽样，每次取一球，共取2次，记录号码之和，这样独立重复进行试验，求“和等于3”出现在“和等于5”之前的概率。
126

127 解：设A表示“和等于3”出现在“和等于5”之前，
B表示第一次号码之和为3， C表示第一次号码之和为5， D表示第一次号码之和既不为3也不为5 127

128 在第一次和不等于3或5的情况下求A的条件概率，相当于重新考虑A的概率。
128

129 例5.6：某技术工人长期进行某项技术操作，他经验丰富，因嫌按规定操作太过烦琐，就按照自己的方法进行，但这样做有可能发生事故。设他每次操作发生事故的概率为p，p>0，但很小很小，他独立重复进行了n次操作， 求(1) n次都不发生事故的概率；(2) 至少有一次发生事故的概率。 129

130 解：设A={n次都不发生事故},B={至少有一次发生事故},Ci={第i次不发生事故},i=1,2,…,n
130

131 上式的意义为：“小概率事件”在大量独立重复试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。
131

132 (1)某天在该地任选一居民,求他戴口罩的概率； (2)若选n人,求他们都戴口罩的概率；
例5.7.设某地每天发生雾霾的概率为0.2.在雾霾天气,该地各居民独立地以概率0.2戴口罩，在没有雾霾的时候各居民独立地以概率0.01戴口罩. (1)某天在该地任选一居民,求他戴口罩的概率； (2)若选n人,求他们都戴口罩的概率； (3)若选n人发现他们都戴口罩,求这一天发生雾霾的概率.(这里n为正整数.) 132

133 133

134 134

135 135

136 136

137 137

138 138

139 139

140 140

141 141

142 142

143 143

144 144

145 145

146 146

147 147

148 148

149 149

150 150

151 课件待续! 2019/4/9