12.3 应用举例 1.某工厂有一笔企业留成利润，要决 定如何使用。 供选择方案： 作奖金，集体福利设 施，引入设备技术 建立如下层次分析模型：

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1 12.3 应用举例 1.某工厂有一笔企业留成利润，要决 定如何使用。 供选择方案： 作奖金，集体福利设 施，引入设备技术 建立如下层次分析模型：

2 12.3 应用举例 目标层： 准则层C： 方案层P： 合理使用留成利润 A 改善职工 生活条件C3 提高技术 水平C2 调动职工 积极性C1
12.3 应用举例 目标层： 准则层C： 方案层P： 合理使用留成利润 A 改善职工 生活条件C3 提高技术 水平C2 调动职工 积极性C1 引进设备技术P3 福利P2 奖金P1

3 12.3 应用举例 A-C判断矩阵: A C1 C2 C3 w(2) λmax=3.038 ，归一化特征向量w(2)
12.3 应用举例 A-C判断矩阵: A C C C w(2) C / / C C / λmax= ，归一化特征向量w(2) C.I.= ， C.R.= <0.1 满意的一致性

4 12.3 应用举例 C1-P: C P P U1(3) P / P λmax= C.I.=0

5 12.3 应用举例 C2-P: λmax=2 C.I.=0 C2 P2 P3 U2(3) P2 1 1/5 0.167
12.3 应用举例 C2-P: C P P U2(3) P / P λmax= C.I.=0

6 12.3 应用举例 C3-P: C3 P1 P3 U3(3) λmax=2 C.I.=0 P1 1 2 0.667
12.3 应用举例 C3-P: C P P U3(3) P P / λmax= C.I.=0

7 12.3 应用举例 0.25 0 0.667 得到P3优于P2又优于P1，从分配上可以 用53.1%来引进新设备、新技术；
12.3 应用举例 U(3)= w(3)=U(3)w(2)=(0.198，0.271，0.531)T 得到P3优于P2又优于P1，从分配上可以 用53.1%来引进新设备、新技术； 用19.8%来发奖金； 用27.1%来改善福利。

8 12.3 应用举例 2.层次分析法对于下面几种情况的优化问题特别适用： ⑴问题中除可计量的量外，还存在不可计量的量时，可用AHP通过对不可计量的量与可计量的量的相对比较，而获得相对的量测； ⑵当优化问题的结构难以事先确定，而在很大程度上取决于决策者的经验时；

9 12.3 应用举例 ⑶各变量不独立，有内部相关性时； ⑷目标与约束、约束与约束之间紧密联系时； ⑸多目标问题；

10 12.3 应用举例 在用AHP法解决优化问题时，常用的有两种方式： ⑴当模型中涉及不可计量的量时，用AHP法的比例标度来确定目标函数，约束函数的权重（系数）； ⑵直接采用AHP模型。 AHP法有广泛的应用前景，可以用来决定其他方面的一些问题。下面举一个解决优化问题的例子。

11 12.3 应用举例 例 食品最佳搭配问题 假设某人有3种食品可供选择：肉、面包、蔬菜它们所含营养成分及单价如下表所示：
12.3 应用举例 例 食品最佳搭配问题 假设某人有3种食品可供选择：肉、面包、蔬菜它们所含营养成分及单价如下表所示： 食品 维生素A 维生素B2 / 热量 / 单价/ 搭配量 （国际 （mg/g） （kcal/g） （元/g） 单价/g） 肉 x1 面包 x2 蔬菜 x3

12 12.3 应用举例 该人体重55kg，每天对各种营养的最小需求为： 维生素A：7500 国际单位 维生素B2： mg 热量：2050 kcal 问题：应如何搭配食品？（自然的想法 是：使在保证营养的情况下支出最小）

13 12.3 应用举例 z*<1.67 容易建立如下线性规划模型： min z=0.0055 x1+0.0012 x2+0.0014 x3
12.3 应用举例 容易建立如下线性规划模型： min z= x x x3 s.t x x3≥7500 x x x3≥1.6338 2.86 x x x3≥2050 x1，x2，x3≥0 利用单纯形法可得解 x*=(0, , )T z*<1.67 ⑴

14 12.3 应用举例 即不吃肉，面包689.44g，蔬菜612.67g，每日支出1.67元。显然这个最优方案是行不通的，它没有考虑此人对食品的偏好。我们可根据偏好加约束: x1≥140, x2≤450, x3不限 得到线性规划解： x*=(245.44, )T z*=2.48元 ⑵

15 12.3 应用举例 其次，在这里各营养成分被看成同样重 要，起决定因素的是支出。但实际上， 营养价值与支出都需要考虑，只是地位 （权重）不同。这样无法建立目标函数。 下面用层次分析法来处理问题： 层次结构：

16 12.3 应用举例 每日需求 R 营养 N 支出 C 维生素 A 维生素 B2 热量 Q 肉 me 面包 br 蔬菜 ve

17 12.3 应用举例 对于一个中等收入的人，满足营养要求 比支出更重要。 于是 R N C w(2) λmax=2 C.I.=0
12.3 应用举例 对于一个中等收入的人，满足营养要求 比支出更重要。 于是 R N C w(2) N C / λmax= C.I.=0

18 12.3 应用举例 λmax=3 C.I.=0 N A B2 Q w1(3) A 1 1 2 0.4 B2 1 1 2 0.4
12.3 应用举例 N A B Q w1(3) A B Q / / λmax= C.I.=0

19 12.3 应用举例 0.4 0 最底层（方案层）对准则层的单排列权 重，只需对题目给的数据归一化即可。
12.3 应用举例 w(3) = =(0.3, 0.3, 0.15, 0.25)T 最底层（方案层）对准则层的单排列权 重，只需对题目给的数据归一化即可。 由于要支出最小价格倒数，价格倒数归一： ( ， ， )T 于是得到

20 12.3 应用举例 A B2 Q C(价格) 合成权重w(4) = U(4)w(3) = (0.24, 0.23, 0.53)T
12.3 应用举例 A B Q C(价格) me U(4) br ve 合成权重w(4) = U(4)w(3) = (0.24, 0.23, 0.53)T

21 12.3 应用举例 设 x1=0.24k, x2=0.23k, x3=0.53k 则 Min z= k s.t k ≥7500 (2) k ≥ k ≥2050 k ≥ 0 解得 k = ⑴变为

22 12.3 应用举例 x1=338.45g，x2=324.35g，x3=749.41g z=3.30元 满足式⑵ 此时各营养成分含量如下： 维生素A： 国际单位 维生素B2：2.400mg 热量Q： kcal 若认为总支出太大，可适当降低第二层中 营养的权重 。

23 12.3 应用举例 若改为 R N C w(2) N C λmax=2 C.I.=0

24 12.3 应用举例 其余不变： w(3) = = (0.2,0.2,0.1, 0.5)T w(4) =U(4)w(3 =(0.193, 0.314, 0.493) T

25 12.3 应用举例 类似上面可解得：设 x1=0.193k, x2=0.314k, x3=0.493k Min z= k 则 s.t k≥ k≥ k≥ k≥140, 0.314k≤450, k≥0 式⑴、式⑵ 变为

26 12.3 应用举例 得解 k= 于是 x1=256.61g， x2=419.48g， x3=655.47g， z=2.83元 即每日肉256.61g，面包419.48g，蔬 菜655.47g，总支出2.83元。

27 12.3 应用举例 各营养成分含量如下： 维生素A： 国际单位 维生素B2：2.100mg 热量 Q： kcal

28 12.3 应用举例 下图为日支出对于营养权重变化的灵敏度曲线。它们基本上位于线性规划⑴、⑵的可行解目标值(支出为1.67~3.80元)范围内。 支出/元 3.80 15 10 1.67 5 0.25 0.5 0.75 1