第3章 计算机数控装置的插补原理.

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1 第3章 计算机数控装置的插补原理

2 3.1 概述 3.1.1插补的基本概念 数控系统根据零件轮廓线型的有限信息，计算出刀具的一系列加工点、完成所谓的数据“密化”工作。
插补有二层意思： 一是用小线段逼近产生基本线型（如直线、圆弧等）； 二是用基本线型拟和其它轮廓曲线。 插补运算具有实时性，直接影响刀具的运动。插补运算的速度和精度是数控装置的重要指标。插补原理也叫轨迹控制原理。五坐标插补加工仍是国外对我国封锁的技术。 下面以基本线型直线、圆弧生成为例，论述插补原理。

3 3.1.2 插补方法的分类 硬件插补器 完成插补运算的装置或程序称为插补器 软件插补器 软硬件结合插补器 1.基准脉冲插补
完成插补运算的装置或程序称为插补器 软件插补器 软硬件结合插补器 1.基准脉冲插补 每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，各坐标仅产生一个脉冲当量或行程的增量。脉冲序列的频率代表坐标运动的速度，而脉冲的数量代表运动位移的大小。基准脉冲插补的方法很多，如逐点比较法、数字积分法、脉冲乘法器等。 2.数据采样插补 采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期的进给直线段（又称轮廓步长）进行数据密化，以此来逼近轮廓曲线。然后再将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量（一个插补周期的近给量），作为指令发给伺服驱动装置。该装置按伺服检测采样周期采集实际位移，并反馈给插补器与指令比较，有误差运动，误差为零停止，从而完成闭环控制。 数据采样插补方法有：直线函数法、扩展DDA、二阶递归算法等。

4 3.2 基准脉冲插补 3.2.1 逐点比较法 早期数控机床广泛采用的方法，又称代数法、醉步伐，适 用于开环系统。 1.插补原理及特点
原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下一步的进给方向。每个插补循环由偏差判别、进给、偏差函数计算和终点判别四个步骤组成。 逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲安插补。 特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。

5 对于第一象限直线OA上任一点(X,Y):X/Y = Xe/Ye
2.逐点比较法直线插补 （1）偏差函数构造 对于第一象限直线OA上任一点(X,Y):X/Y = Xe/Ye 若刀具加工点为Pi（Xi，Yi）， 则该点的偏差函数Fi可表示为 若Fi= 0，表示加工点位于直线上； 若Fi> 0，表示加工点位于直线上方； 若Fi< 0，表示加工点位于直线下方。 （2）偏差函数字的递推计算 采用偏差函数的递推式（迭代式） 既由前一点计算后一点 Y X F<0 F>0 Pi (Xi,Yi) Ae (Xe,Ye) O

6 Fi+1 = XeYi –Ye(Xi +1)=Fi -Ye
Fi =Yi Xe -XiYe 若Fi>=0，规定向 +X 方向走一步 Xi+1 = Xi +1 Fi+1 = XeYi –Ye(Xi +1)=Fi -Ye 若Fi<0，规定 +Y 方向走一步，则有 Yi+1 = Yi +1 Fi+1 = Xe(Yi +1)-YeXi =Fi +Xe （3）终点判别 直线插补的终点判别可采用三种方法。 1）判断插补或进给的总步数：； 2）分别判断各坐标轴的进给步数； 3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。

7 O A 9 8 7 5 4 3 2 1 6 10 Y X （4）逐点比较法直线插补举例 对于第一象限直线OA，终点坐标Xe=6 ,Ye=4，插补从直线起点O开始，故F0=0 。终点判别是判断进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减1，若N=0，则停止插补。 步数 判别 坐标进给 偏差计算 终点判别 F0=0 ∑=10 1 F=0 +X F1=F0-ye=0-4=-4 ∑=10-1=9 2 F<0 +Y F2=F1+xe=-4+6=2 ∑=9-1=8 3 F>0 F3=F2-ye=2-4=-2 ∑=8-1=7 4 F4=F3+xe=-2+6=4 ∑=7-1=6 5 F5=F4-ye=4-4=0 ∑=6-1=5 6 F6=F5-ye=0-4=-4 ∑=5-1=4 7 F7=F6+xe=-4+6=2 ∑=4-1=3 8 F8=F7-ye=2-4=-2 ∑=3-1=2 9 F9=F8+xe=-2+6=4 ∑=2-1=1 10 F10=F9-ye=4-4=0 ∑=1-1=0

8 任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为
3.逐点比较法圆弧插补 （1）偏差函数 任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为 若Fi=0，表示加工点位于圆上； 若Fi>0，表示加工点位于圆外； 若Fi<0，表示加工点位于圆内 X Y Pi（Xi，Yi） A B F > 0 F < 0

9 （2）偏差函数的递推计算 1） 逆圆插补 若F≥0，规定向-X方向 走一步 若Fi<0，规定向+Y方向 2） 顺圆插补 若Fi≥0，规定向-Y方向 若Fi<0，规定向+y方向 （3）终点判别 1）判断插补或进给的总步数： 2）分别判断各坐标轴的进给步数； ,

10 （4）逐点比较法圆弧插补举例 对于第一象限圆弧AB， 起点A（4，0），终点B（0，4）
Y X 4 （4）逐点比较法圆弧插补举例 对于第一象限圆弧AB， 起点A（4，0），终点B（0，4） 步数 偏差判别 坐标进给 偏差计算 坐标计算 终点判别 起点 F0=0 x0=4, y0=0 Σ=4+4=8 1 -x F1=F0-2x0+1 =0-2*4+1=-7 x1=4-1=3 y1=0 Σ=8-1=7 2 F1<0 +y F2=F1+2y1+1 =-7+2*0+1=-6 x2=3 y2=y1+1=1 Σ=7-1=6 3 F2<0 F3=F2+2y2+1=-3 x3=4, y3=2 Σ=5 4 F3<0 F4=F3+2y3+1=2 x4=3, y4=3 Σ=4 5 F4>0 F5=F4-2x4+1=-3 x5=4, y5=0 Σ=3 6 F5<0 F6=F5+2y5+1=4 x6=4, y6=0 Σ=2 7 F6>0 F7=F6-2x6+1=1 x7=4, y7=0 Σ=1 8 F7<0 F8=F7-2x7+1=0 x8=4, y8=0 Σ=0

11 4.逐点比较法的速度分析 式中：L —直线长度； V —刀具进给速度； N —插补循环数； f —插补脉冲的频率。 所以： 刀具进给速度与插补时钟频率f 和与X轴夹角 有关

12 四个象限的直线插补，会有4组计算公式，对于4个象限的逆时针圆弧插补和4个象限的顺时针圆弧插补，会有8组计算公式。
5.逐点比较法的象限处理 （1）分别处理法 四个象限的直线插补，会有4组计算公式，对于4个象限的逆时针圆弧插补和4个象限的顺时针圆弧插补，会有8组计算公式。 （2）坐标变换法 用第一象限逆圆插补的偏差函数进行第三象限逆圆和第二、四象限顺圆插补的偏差计算，用第一象限顺圆插补的偏差函数进行第三象限顺圆和第二、四象限逆圆插补的偏差计算。 顺圆 逆圆

13 3.2.2 数字积分法 用数字积分的方法计算刀具沿各坐标轴的位移，数 字积分法又称数字微分分析（DDA）法. 1. DDA直线插补
（1）原理：积分的过程可以用微小量的累加近似： 由右图所示 则 X、Y方向的位移 （积分形式） Y Vy X A(Xe,Ye) Vx V O △Y △X L

14 （累加形式） 其中，m为累加次数（容量）取为整数，m=0〜2N-1，共2N 次(N为累加器位数)。 令△t =1,mK =1，则K =1/m=1/2N。 则 （2）结论：直线插补从始点走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位时间间隔，分别以增量kxe（xe / 2N ）及k （ye / 2N ）同时累加的过程。累加的结果为：

15 DDA直线插补：以Xe/2N 、ye/2N （二进制小数，形式上即Xe、ye ）作为被积函数，同时进行积分（累加），N为累加器的位数，当累加值大于2N -1时，便发生溢出，而余数仍存放在累加器中。
积分值=溢出脉冲数代表的值+余数 当两个积分累加器根据插补时钟脉冲同步累加时，用这些溢出脉冲数（最终X坐标Xe个脉冲、Y坐标ye个脉冲）分别控制相应坐标轴的运动，加工出要求的直线。 （3）终点判别 累加次数、即插补循环数是否等于2N可作为DDA法直线插补判别终点的依据。 （4）组成：二坐标DDA直线插补器包括X积分器和Y积分器，每个积分器都由被积函数寄存器JVX（速度寄器）和累加器JRX（余数寄存器）组成。初始时，X被积函数寄存器存Xe， Y被积函数寄存器存ye。

16 2.DDA法直线插补举例 插补第一象限直线OE，起点为O（0，0），终点为E（5，3）。取被积函数寄存器分别为JVX、JVY，余数寄存器分别为JRX、JRY，终点计数器为JE，均为三位二进制寄存器。 A(5,3) X Y 累加次数 X积分器 Y积分器 终点计数器 JE 备 注 JVX(Xe) JRX 溢出 Jvy(Ye) JRy 101 000 011 初始状态 1 001 第一次迭代 2 010 110 X溢出 3 111 Y溢出 4 100 5 6 7 8 X,Y溢出

17 3. DDA法圆弧插补 DDA法圆弧插补的积分表达式 由 令 则 圆弧插补时，是对切削点的即时坐标Xi与Yi的数值分别进行累加
V Vy Vx P A B R X Y O

18 (2) 其特点是： 1) 各累加器的初始值为零，各寄存器为起点坐标值； 2) X被寄函数积存器存Yi ,Y被寄函数积存器存Xi，为动点坐标； 3) Xi 、 Yi在积分过程中，产生进给脉冲△X、△Y时，要对相应坐标进行加1或减1的修改； 4) DDA圆弧插补的终点判别要有二个计数器，哪个坐标终点到了，哪个坐标停止积分迭代； 5) 与DDA直线插补一样，JVX、JVY中的值影响插补速度。

19 4. DDA 圆 弧 插 补 举 例 Y X 次序 X积分器 X终 Y积分器 Y终 注 (Yi) (Xi) 000 101 初始 1 2
000 101 初始 1 2 001 010 100 修正Yi 3 111 4 011 5 6 110 7 修正Xi 8 9 10 11 12 13 14 结束 4. DDA 圆 弧 插 补 举 例

20 3.3 数据采样插补 3.3.1 概述 1.数据采样插补的基本原理 粗插补：采用时间分割思想，根据进给速度F和插补周期T，将廓型曲线分割成一段段的轮廓步长L,L=FT，然后计算出每个插补周期的坐标增量。 精插补：根据位置反馈采样周期的大小，由伺服系统完成。 2.插补周期和检测采样周期 插补周期大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和 ，现代数控系统一般为2~4ms，有的已达到零点几毫秒。插补周期应是位置反馈检测采样周期 的整数倍。 3.插补精度分析 直线插补时，轮廓步长与被加工直线重合，没有插补误差。 圆弧插补时，轮廓步长作为弦线或割线对圆弧进行逼近，存在半径误差。

21 采用弦线（l）逼近时，见左图。半径为r的被逼近圆弧最大半径误差er，其对应的圆心角为δ，由图可推导出：
era Y X O er l δ r δ* ra eri era 采用弦线（l）逼近时，见左图。半径为r的被逼近圆弧最大半径误差er，其对应的圆心角为δ，由图可推导出： 当采用内外均差（ era = eri ）的割线时，半径误差更小，是内接弦的一半；若令二种逼近的半径误差相等，则内外均差弦的轮廓步长或步距角是内接弦时的 倍。但由于内外均差割线逼近时，插补计算复杂，很少应用。 由上面分析可知：圆弧插补时的半径误差er与圆弧半径r成反比，与插补周期T 和进给速度F 的平方成正比。

22 3.3.2 数据采样法直线插补 1.插补计算过程 2.实用的插补算法(原则：算法简单、计算速度快、插补误差小、精度高)
（1）插补准备 主要是计算轮廓步长及其相应的坐标增量。 （2）插补计算 实时计算出各插补周期中的插补点（动点）坐标值。 2.实用的插补算法(原则：算法简单、计算速度快、插补误差小、精度高) （1）直接函数法 插补准备： 插补计算： （2）进给速率数法（扩展DDA法） 插补准备:步长系数 （3）方向余弦法 （4）一次计算法 A(Xe,Ye) △Y △X β α Y O l X

23 3.3.3 数据采样法圆弧插补 1.直线函数法（弦线法） 上式中， 和 都是未知数，难以用简单方法求解，采用近似计算，用 和 来取代， 则
上式中， 和 都是未知数，难以用简单方法求解，采用近似计算，用 和 来取代， 则 P A(Xi,Yi) B(Xi+1,Yi+1) E X Y F H M α δ Φi Φi+1 C D O

24 2.扩展DDA法数据采样插补 将DDA的切向逼近改变为割线逼近。具体还是计算一个插补周期T内，轮廓步长L的坐标分量∆Xi和∆Yi
由右图经过推导 可得： 其中: 新加工点Ai’ 的坐标位置 特点：计算简单，速度快，精度高。 B Ai’ C X Y M H  Q O Ai Ai-1

25 第三章结束 谢谢大家！