Chapter 2 Z-Transform and Discrete Time Systems Analysis

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1 Chapter 2 Z-Transform and Discrete Time Systems Analysis
2019/4/8

2 思考 本章z变换分析法，即离散信号与系统的“频率域分析”，与前一章“时域分析”相对。 思考：为什么要进行“频域分析”？ 2019/4/8

3 2.0 预备内容—— 连续信号与系统分析 离散信号与系统分析 时域:x(n)、差分方程 频域：Z变换、序列的傅立叶变换(DTFT)
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4 2.0 预备内容—— 傅里叶变换 傅里叶变换的局限性: 该变换存在的充分条件： 1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件[如U(t)];
2) 有些信号不存在傅立叶变换如 3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难; 4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应 2019/4/8

5 2.0 预备内容—— 拉普拉斯变换 求傅氏变换得到如下的拉氏变换 ： 可见，傅氏变换是复平面虚轴上的拉氏变换，即拉氏变换的特例
引入衰减因子： 使得： 求傅氏变换得到如下的拉氏变换 ： 对 可见，傅氏变换是复平面虚轴上的拉氏变换，即拉氏变换的特例 2019/4/8

6 2.1 Z变换定义 利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。 一个离散序列 x（n）的Z变换定义为： 收敛域：一般，序列的z变换并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。级数一致收敛的条件是绝对值可和。 2019/4/8

7 2.1 Z变换定义 以上的这种变换也称为双边 z 变换。
与此相应还有单边 z 变换，单边 z 变换只是对单边序列（n>=0部分）进行变换的z变换，其定义为： 单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。 2019/4/8

8 2.1 Z变换定义 Z变换、拉氏变换(LT) 、傅里叶变换（DTFT） 2019/4/8

9 2.1 Z变换定义 Z变换与拉氏变换 理想冲激抽样序列 x(t)：有限带宽信号 通过抽样，得到如下的离散序列： 2019/4/8

10 2.1 Z变换定义 Z变换与拉氏变换 Re[z] r rejw Im[z] 2019/4/8

11 2.1 Z变换定义 Z变换与傅里叶变换（DTFT） 2019/4/8

12 2.2 Z变换收敛域 2019/4/8

13 2.2 Z变换收敛域 两点说明 同一个变换函数，收敛域不同，对应的序列是不相同的。 收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界的。
零点：分子多项式P(z)的根 极点：分母多项式Q(z)的根 2019/4/8

14 2.3 常用序列Z变换 序列 Z变换 收敛域 δ(n) 1 全Z平面 u(n) 1 - z -1 |z|>1 αn u(n)
RN (n) 1 - z -N |z|>0 -αn u(-n-1) |z|<|α| n u(n) z -1 (1 - z -1) 2 nαn u(n) α z -1 (1 - αz -1) 2 2019/4/8

15 2.4 Z变换性质 几条重要性质 序列 z变换 收敛域 x(n) h(n) X(z) H(z) ax(n)+bh(n)
Rx-<|z|<Rx+ Rh-<|z|<Rh+ ax(n)+bh(n) aX(z)+bH(z) max[Rx-，Rh-] <|z|min[Rx+, Rh+] x(n-m) z-mX(z) x*(n) X*(z*) x(-n) X(1/z) 1/Rx+<|z|<1/Rx- x(n)*h(n) X(z)H(z) 2019/4/8

16 2.4 Z变换性质 例 (2)中结果不对 2019/4/8

17 2.5 Z反变换 定义及求解法 2019/4/8

18 2.5 Z反变换 长除法——幂级数展开 2019/4/8

19 2.5 Z反变换 部分分式 |z|＞1/2 2019/4/8

20 2.5 Z反变换 留数法 注意： 积分路径为收敛域内逆时针方向的闭合曲线 积分路径内部 的极点的留数
积分路径内部 的极点的留数 当n取不同的值，z=0处的极点的阶次不同 2019/4/8

21 2.5 Z反变换 已知： 2019/4/8

22 2.5 Z反变换 2019/4/8

23 2.5 Z反变换 2019/4/8

24 2.6 Z变换求解差分方程 2019/4/8

25 2.6 Z变换求解差分方程 零状态解 2019/4/8

26 2.6 Z变换求解差分方程 II)求暂态解（零输入解） 所以，零输入解为： 2019/4/8

27 2.6 Z变换求解差分方程 全响应 零状态解 零输入解 2019/4/8

28 2.6 Z变换求解差分方程 例1： 2019/4/8

29 2.6 Z变换求解差分方程 例2： 2019/4/8

30 2.7 转移函数 线性时不变离散系统四种表示方法 频率响应 转移函数 （也称系统函数） 差分方程 卷积关系 2019/4/8

31 2.7 转移函数 转移函数定义为系统单位抽样响应的Z变换，也是系统输出、输入Z变换之比 2019/4/8

32 2.7 转移函数 FIR系统：h(n)为有限长，输入端不含输出对输入的反馈，系统总是稳定的
IIR系统： h(n)为无限长，输入端包含输出对输入的反馈，存在稳定性问题 2019/4/8

33 2.7 转移函数 零极点分析 由式2.1因式分解，得到： 使以上转移函数分子、分母多项式等于零的z值分别称为系统的零点和极点。
分析系统因果性 分析系统稳定性:一个LTI系统稳定的充要条件是其所有的极点位于单位圆内 估计系统频率响应：几何分析法 数字滤波器设计的一般法则：阻止一个频率，在单位圆相应频率处设置一个零点；突出一个频率，在单位圆内相应频率处设置一个极点，且越接近单位圆，幅频响应的幅值越大。 2019/4/8

34 2.7 转移函数 2019/4/8

35 2.7 转移函数 其中K为实数，用z=e jw代入，即系统的频率响应为： 其模等于： 其相角为： 2019/4/8

36 2.7 转移函数 频响几何分析示例一 2019/4/8

37 2.7 转移函数 频响几何分析示例二 ω 。 零点在单位圆上： 极点在 2019/4/8

38 2.7 转移函数 频响几何分析示例三 2019/4/8

39 结束 2019/4/8