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第五章 三角比 二倍角与半角的正弦、余弦和正切 5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
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正弦定理 三角形中， 各边与它对角的正弦的比相等 三角形面积公式 三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半
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例1.在 中， 求 和该三角形的面积. (结果保留至个位数) 解： 同理： 解毕
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例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边. (结果精确到0.01) (1) (2) 解:(1) 或
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例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边. (结果精确到0.01) (2) 解:(2) 或 当 时， 当 时， 解毕
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解三角形 一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做 三角形的元素， 已知三角形的几个元素求其他 元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理 可以解决以下两类解三角形问题： (I)已知两角及任一边，求其他角和边； (II)已知两边与其中一边的对角，求其他角和边.
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课堂练习 1.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm) (1) (2) 2.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm) (1) (2) 3.在 中，已知 试判断 的形状.
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课堂练习答案 1.(1) (2) 2.(1) 或 (2) 3.等边三角形
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第五章 三角比 5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
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余弦定理 三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 另一种形式：
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例1.在 中， 求 (角度精确到 ，边长精确到1) 解： 解毕
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例2.在 中，已知 ，求各 角及其面积(精确到0.1) 解: 同理，得 解毕
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课堂练习 1.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm) (1) (2) 2.已知三角形三边之比为 ，求最大内角. 3.已知 中， ，求 4.在 中， 是锐角，求证：
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课堂练习答案 1.(1) (2) 2. 3.解： 解得 4.证： 证毕
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解三角形 一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做 三角形的元素， 已知三角形的几个元素求其他 元素的过程叫做解三角形. 利用余弦定理及其变形 可以解决以下两类解三角形问题： (I)已知两边及夹角，求夹角的对边； (II)已知三边，求角. (III)已知两边及一边的对角，求边.
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第五章 三角比 5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
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扩充的正弦定理 一边与它对角的正弦的比值等于外接圆的直径长 证： (同弧所对圆周角相等) (半圆弧所对圆周角为直角) 证毕
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例1.在 中， ，判断 的形状. 解：根据正弦定理得 代入条件并化简得 即 或者 得 或 所以 为等腰三角形或直角三角形. 解毕
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例1.在 中， ，判断 的形状. 解法二：根据余弦定理得 代入条件并化简得 解得 或 所以 为等腰三角形或直角三角形. 解毕
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例2.若锐角 的三边长分别是 ， 试确定 的取值范围. 解： 由两边之和大于第三边， 解得 由最大角为锐角，得 解得 综上，当 时，边长满足条件. 解毕
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课堂练习 1.已知三角形边长为 ，求外接圆半径R. 2.三角形满足 ，判定其形状. 3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度 数.(精确到 ) 4.在 中，求证：
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课堂练习答案 1.已知三角形边长为 ，求外接圆半径R. 解： 得 解毕 2.三角形满足 ，判定其形状. 解： 得 该三角形为等腰三角形. 解毕
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课堂练习答案 3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度 数.(精确到 ) 解：设边长为 且 化简得 且 因此 最大角余弦值为 ， 角度约为 解毕
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课堂练习答案 4.在 中，求证： 证：左边= =右边 证毕
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第五章 三角比 5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
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问题一 测量可视但不可达的距离 例1.设 两点在河的两岸，要测量两点之间的 距离，测量者与 在同侧，选定所在河岸一点 ， 测出 距离 ， 求 两点间的距离(精确到 ) 解：由正弦定理，得 答略 解毕
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问题一 测量可视但不可达的距离 例2.设 两点都在河的对岸(不可到达)，设计一 种测量 两点间距离的方法. 分析 根据例1 测出 再测出 解：在河岸选定两点 测得
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问题一 测量可视但不可达的距离 例2.设 两点都在河的对岸(不可到达)，设计一 种测量 两点间距离的方法. 解：在 中， 同理在 中 解毕
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问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度
例3.河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高 的方法. 分析 根据例1的方法测出 再测出仰角 解：在河岸选定两点 测得 仰角
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问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度
例3.河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高 的方法. 解:在 中 在 中， 因此 解毕
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(选用)问题三 测量角度 例4.一艘海轮从 出发，沿北偏东 的方向航行 67.5海里后到达海岛 ，然后从 出发，沿北偏 东 的方向航行54.0海里后到达海岛 .如果下次 航行直接从 出发到 .此船应沿怎样的方向航行 需要航行多少距离？(精确到 0.1)
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(选用)问题三 测量角度 解: 在 中，由余弦定理，得 (海里)
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(选用)问题三 测量角度 续解: (海里) 由正弦定理，得 答略 解毕
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