中学几何研究第五章 2019/4/8.

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1 中学几何研究第五章 2019/4/8

2 第一节 证题的一般思路 第五章 平面几何问题的证明 证题的一般思路: 试误式思路与顿误式思路
第五章 　　平面几何问题的证明 第一节 证题的一般思路 证题的一般思路: 试误式思路与顿误式思路 试误式思路: 认真审题，分清条件和结论，挖掘所涉及的一些概念的内涵，利用丰富的联想和化归的思想，把要解决的问题归结为已熟悉的其他证法的类型。如果用困难，就尝试对问题的条件或结论作某些变更，转化为某一种类型。如果转化过程中碰到障碍，缺乏某些因素，就尝试引入辅助量或作出辅助线、图来进行沟通，纠正尝试中的错误，最后获得原问题的证明。 2019/4/8

3 直接式:由命题的题设出发，根据定义、公理、定理进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的证明。 又有“综合法”和“分析法”之分.
试误式思路又常分为直接式和间接式。 直接式:由命题的题设出发，根据定义、公理、定理进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的证明。 又有“综合法”和“分析法”之分. 间接式: 有些命题，往往不易甚至不能直接证明。这时，不妨证明它的等效命题，间接地达到目的。这种证题思路称为间接式。反证法、同一法就是两种典型的间接式思路证题方法。 反证法又分归谬法和穷举法; 同一法。 2019/4/8

4 顿误式思路 就是证题时，一下子不能马上行找到他的证明思路，但当通过有选择地带着形象识别的眼光反复地分析他，通过动员和组织、分离和整合题目中已知的信息，辨认和联想题目中的各种因素时，则可以在经过一系列的“脑风暴”之后，在某一其他因素或者其他问题的激发下，或运用直觉想象，突然在脑子中形成一个念头或闪现出对证题的提示，从而顿时获得简捷而优美的证题思路。 见P75例1. 2019/4/8

5 第二节 面积法与面积坐标 1,面积与面积法证题 张景中院士指出,抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使得几何问题求解变得更有趣味。 在求解平面几何问题的时候， 根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或者面积比表示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。 常用公式见P84-85页. 证明P85例1和例2. 2019/4/8

6 如果引入带正负号的面积（规定图形的边界走向是逆时针方向则面积为正，走向是顺时针方向则面积为负）就可以引入面积坐标了。
2.消点思想与消点法证题 (见第十章) 3.面积坐标 如果引入带正负号的面积（规定图形的边界走向是逆时针方向则面积为正，走向是顺时针方向则面积为负）就可以引入面积坐标了。 在平面上任意取一个定向三角形△A1A2A3，称为“坐标三角形”。A1，A2, A3称为基点。 对平面上任意一点M，就有了三个三角形的带号面积： S1=S△MA2A3, S2=S△MA3A1, S3=S△MA1A2. 2019/4/8

7 把三元数组（S1,S2,S3）称为（以△A1A2A3为坐标三角形时）点M的“面积坐标”，记为M=(S1,S2,S3)
S1,S2,S3称为点M的三个” 坐标分量”，且满足 S1+S2+S3=S△A1A2A3。 如果给出三者之比S1:S2:S3=μ1: μ2: μ3，且 μ1= Si/(S1+S2+S3) ( i=1,2,3)， 则称(μ1: μ2: μ3)为M=(S1,S2,S3)的齐次面积坐标。 通常（μ1: μ2: μ3)）称为M的重心坐标。 当S1+S2+S3=S=1时，面积坐标也就是规范重心坐标。 2019/4/8

8 由于知道了M(S1,S2,S3)的两个坐标分量(S1,S2)，就可以确定M,
或用（S1/S,S2/S）称为在坐标系（A3, A3A1, A3A2）之下M的仿射坐标，而A3称为这个仿射坐标的原点。 如果︱A3A1︱=︱A3A2︱=1，且∠A1A3A2=90o， 则这个仿射坐标系（A3, A3A1, A3A2）叫做笛卡儿 坐标系，也就是指常用的直角坐标系。 2019/4/8

9 把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方法称之为向量方法。
第三节 向量法与复数法 1,向量法与向量法证题 把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方法称之为向量方法。 向量法的特点是形数结合、运算有法可循，因此向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的方便，能把综合法与坐标法有机地结合在一起。 2019/4/8

10 用向量法证明第一节中的例1是很简捷的. 见P90 2019/4/8

11 2,复数法与复数法证题 请讲解P94例4 2019/4/8

12 3,关于点共线与线共点 (常见方法7+60种,P99) 4,关于点共圆与圆共点 (常见方法7+3种,P100) 第四节 几类问题的证明方法
第四节 几类问题的证明方法 1,关于线段,角的相等 (常见方法10种,P96) 2,关于平行与垂直 (常见方法7+7种,P97-98) 3,关于点共线与线共点 (常见方法7+60种,P99) 4,关于点共圆与圆共点 (常见方法7+3种,P100) 2019/4/8

13 具有某种性质的点的集合称为具有这种性质的点 的轨迹。
第五节 几何轨迹与尺规作图 1,几何轨迹 具有某种性质的点的集合称为具有这种性质的点 的轨迹。 轨迹与几何图形都是点集。但是，图形是知其形（形状）而不知其性（构造规律和性质），轨迹是知其性而不知其形。 研究轨迹问题，就是要探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形，使得形和性得到完美统一。 2019/4/8

14 1,命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置 和大小。
轨迹问题的三种类型： 1,命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置 和大小。 2,命题结论中只说出了轨迹图形的形状，但位置 和大小或者缺少，或者叙述不全。 3.命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹 图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息 2019/4/8

15 第一类轨迹题，是结论中明确指明了轨迹图形的形状、位置和大小的问题，只要给予证明即可。
求解步骤为：写出已知和求证，证明完备性与纯粹性，作出结论。 第二类轨迹题， 结论中只给出了轨迹图形的形状，但位置和大小或者缺少，或者叙述不全,需要进一步探求。完全确定轨迹的位置、大小应是首先要进行的工作。 整个求解过程包括：写已知和求证，探求、证明 完备性与纯粹性，讨论等步骤。 2019/4/8

16 轨迹的探求，一般由解析法和综合法。在综合法中、常常采用描迹法、几何变换法、条件代换法等法。
第三类轨迹题，是以问题形势呈现。题中没有叙述轨迹的形状、位置和大小。这些都需要探求、有时探求还是比较艰难的。虽然如此，但一经确定轨迹的之后，往往证明方法就附带解决了。 求解步骤与第二类轨迹题相同。 轨迹的探求，一般由解析法和综合法。在综合法中、常常采用描迹法、几何变换法、条件代换法等法。 题， 2019/4/8

17 传统的几何作图中，尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规两件工具，利用有限次步骤作出符合预先约定条件的图形，有时也叫欧几里得作图。
2,尺规作图 传统的几何作图中，尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规两件工具，利用有限次步骤作出符合预先约定条件的图形，有时也叫欧几里得作图。 几何作图三大难题 1.立方倍积问题:求作一立方体,使它的体积两倍于 一已知立方体的体积. 2.三等分角问题:求作一任意角的三等分角. 3.化圆为方问题:求作一正方形,使它的面积等于一 已知圆的面积. 2019/4/8

18 1.过两已知点可作一条直线. 2.已知圆心和半径可作一个圆. 3.已知两直线相交,可求其交点. 4.已知一直线与一圆周相交,可求其交点.
尺规作图公法 根据尺规的功能, 规定如下作图公法: 1.过两已知点可作一条直线. 2.已知圆心和半径可作一个圆. 3.已知两直线相交,可求其交点. 4.已知一直线与一圆周相交,可求其交点. 5.已知两圆周相交,可求其交点. 2019/4/8

19 尺规作图的范围 从中学几何知, 利用直尺和圆规可以: 1. 二等分已知线段. 2. 二等分已知角.
从中学几何知, 利用直尺和圆规可以: 1. 二等分已知线段. 2. 二等分已知角. 3. 已知直线l和l外一点p, 过p作直线垂直于l. 4. 任意给定自然数n, 作已知线段的n倍, 以 及n等分已知线段. 2019/4/8

20 作图成法，课本P104页给出了22种。 作图题的分类：定位作图，活位作图。 解作图题的一般步骤： 1，写出已知与求作， 2，进行分析，
3，写出作法， 4，证明，并进行讨论。 2019/4/8

21 交轨法，三角形奠基法，变换法，代数法 等。
常用的作图方法： 交轨法，三角形奠基法，变换法，代数法 等。 变换法又分变位法，位似法，反演法等。 交轨法：利用轨迹的交点来解作图题的方法。 三角形奠基法：用某个三角形为基础的作图 方法。 代数法：借助于代数运算来解作图题图的方 法。 2019/4/8

22 变位法：把图形中某些元素施行适当的合同变 换，然后借助于各元素的新旧位置关 系发现作图的方法。
位似法：利用位似变换性质解作图题的方法。 反演法：对于与圆有关部门的作图题，可以利 用反演变换的性质来解作图题的方法。 2019/4/8

23 问题在于除了有理点，尺规作图能否作出 无理数所对应的点? 2019/4/8

24 ∠ OCA= ∠ ABC, 从而△OAC ~ △CBA ,
OA=a,AB=1. 以OB为直径 作圆,过A作OB的垂线交圆周 O a A B 于C, Rt△OAC与△OBC有公 共角∠ COB, 由此可得 ∠ OCA= ∠ ABC, 从而△OAC ~ △CBA , 设AC = x, 有 a/x = x/1, x2 = a, x = ． 2019/4/8

25 们，能否从Q出发，将Q一步一步扩张, 并保证
已知线段a, 可以作出线段 , 说明有些无理 点是可以作出的。 但是诸如 就无法用尺规作图， 这是因为无 法作出超越数。 有理数域Q中的数可以用尺规作图， 提示我 们，能否从Q出发，将Q一步一步扩张, 并保证 扩张后得到的新数域中的数可以用尺规作图? 2019/4/8

26 尺规作图可能性准则 一. 尺规作图可能性准则的确定 几何作图的关键:确定某些点的位置.这些点 是“直线与直线,直线与圆,圆与圆的交点”.
一. 尺规作图可能性准则的确定 几何作图的关键:确定某些点的位置.这些点 是“直线与直线,直线与圆,圆与圆的交点”. 直线与圆的方程都不超过二次,求直线与圆 或圆与圆的交点的坐标,只需要有限次的四则 运算和开平方运算. 2019/4/8

27 一个几何量能否用尺规作出,等价于它能否由 已知量经过加,减,乘,除及开平方运算求得.
一个几何量能否用尺规作出,等价于它能否由 已知量经过加,减,乘,除及开平方运算求得. 鉴别尺规作图可能性的准则: 一线段的量数,当且仅当能由已知线段的量 数,经过有限次的加,减,乘,除及开平方运算得出 时,可用尺规作出. 2019/4/8

28 为力的，需要借助代数方法才能完成。解析几
二. 尺规作图问题的代数化 尺规作图准则仅仅依靠欧氏几何本身是无能 为力的，需要借助代数方法才能完成。解析几 何的问世，使得几何问题转化为代数问题成为 可能。 坐标平面上直线和圆可以分别用一次方程和 二次方程来表示。 2019/4/8

29 成，可以设法转化为代数问题处理。也就是说，
因此，判断一个作图题能否由尺规作图来完 成，可以设法转化为代数问题处理。也就是说， 所求点的坐标如果能够用已知点的坐标通过加、 减、乘、除和非负实数开平方求出来，那么， 这个作图题就可以用尺规作图来完成。 2019/4/8

30 本章结束 2019/4/8