平衡與彈性 習慣上，力學問題可分為兩類：靜力學及動力學。 運動狀態的改變，基本上皆遵循牛頓所提出的運動定律。

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1 平衡與彈性 習慣上，力學問題可分為兩類：靜力學及動力學。 運動狀態的改變，基本上皆遵循牛頓所提出的運動定律。
而所謂的運動狀態的改變，包含質（心）點到剛體的描述，可分類為線性運動動量與轉動運動動量（角動量）兩種狀態。

2 靜態平衡所考慮的為平衡系統中暨無質心線性運動，也無轉動運動的特殊狀況。故靜力平衡的必要條件：
ΣFi=0 & Σ τi=0 靜力學於工程運用上十分重要，尤其在考慮任何的物體結構設計時，必須估計出可能受到外力及外力矩會對該結構體產生的影響。故一個好的設計必須慎選材料配合適當的結構造型，以確保足以承擔所可能承受到最大的外力及外力矩。

3 例題一：一重40N的均勻蹺蹺板，兩邊分別坐著800N重的父親與350N重的女兒（如右圖所示）。此時蹺蹺板支稱點所承受的力為?
靜力平衡時合力為零，所以 n-800N-350N-40N = 0 n = 1190N

4 蹺蹺板保持不動時，女兒位於? 靜力平衡時合力矩為零，所以當以支撐點為參考點時 (800N)(1.0m) - (350N)x = 0 x = m 靜力平衡時合力矩為零為對任意參考點而言，所以當以父親位置為參考點時 n(1.0m) - (40N)(1.0m) – (350N)(1.0m + x ) = 0  x = m

5 某人手握一50N重的球，而其前臂保持水平如圖所示。若其肌肉附著點與骨骼支撐點的距離為3. 00cm，而握球點距離35
某人手握一50N重的球，而其前臂保持水平如圖所示。若其肌肉附著點與骨骼支撐點的距離為3.00cm，而握球點距離35.0cm。在忽略手臂重量的前提下，請求出肌肉與骨骼支撐點的施（受）力。

6 一長八公尺，重兩百牛頓的均勻鋼樑懸掛固定於牆上（如圖所示）。若一600N重的人站於此鋼樑上，距離牆壁兩公尺。請求出鋼纜與鋼樑支撐點的受力。

7 一長為l的均勻梯子重50N。若將之靠在一平滑的垂直牆壁上，而梯子與地面的靜摩擦力係數 。求梯子不至於下滑時與地面的最小夾角。

8

9 例題五：某人坐於輪椅上欲攀爬上一高為h的階梯（如圖所示）。請估計此人至少要施多大的力方能爬上此階梯？ mg=1400N, r = 30cm, h = 10cm
重力力臂 施力力臂 (2r-h) 在剛好可以爬上的情況

10 圖片所示為常常被利用於屋頂或橋樑工程中的支撐結構。假設此結構本身的重量可忽略，而在其中點C點的地方負載一7200N的力。求各支架的受力。

11 對A（或E）點而言 由A與E為對稱的情況下我們有 於支撐點A

12 利用左右對稱於支撐點C 於支撐點B 由此可知，於此結構中之上樑需為最強壯的結構。

13 彈性體 物體受到外力 [應力（stress）]時，會產生形變[應變(strain)]。在彈性限度內，形變和外力成正比，比例常數稱為彈性係數（modulus of elasticity）。即 Stress = modulus × strain

14 Stress, Strain, and Elastic Moduli
Hooke’s law

15 Young’s modulus pressure in a fluid

16 彈性係數表 1 Pascal = 1 Pa = 1 N/m2 1 psi = 1 lb/in2 = 6895 Pa and 1 Pa = X 10-4

17 Bulk Stress and Strain bulk modulus

18 Shear Stress and Strain
shear modulus

19 若施於一鋼纜纜繩的張力為940N，而繩長為10m。問若希望在這情況下，繩子的總長度變化不會超過0.5公分，則需要用多粗的纜繩？
由上列圖表中可查出鋼纜的揚氏係數為

20 一摩天大樓為鋼骨結構，其外牆部分為一磚面的水泥板，以鋼製螺絲固定於鋼樑上。每根螺絲的半徑為一公分，平均支撐重量為一千公斤。（一）每根縮所受的剪應力(shear stress)為多少？（二）其剪張量(shear strain)為？（三）若此鋼螺絲所能承受的最大剪力為2.0108 N/m2，問其安全係數為？ 所受剪力為

21 （材料鋼的剪力係數(shear modulus)為8.41010 N/m2，故其shear strain為。
Since S = tan， this corresponds to an angular deformation =0.02o。 安全係數定義為最大承受應力除以實際承受應力，所以其值為

22 一實心黃銅(brass)球由壓力為1. 0105 N/m2的空氣中，置入壓力為2
一實心黃銅(brass)球由壓力為1.0105 N/m2的空氣中，置入壓力為2.0107 N/m2的海洋裡。若此實心黃銅球在空氣中的體積為0.5m3，求在海洋裡此球的體積變化為？ 由課本可查出黃銅(brass)的bulk modulus為6.11010 N/m2，故

23 抗彎強度(Bending Strength)
對任何的力學結構體(mechanical structures)而言，若所受到的應力(stress)只是單純的擠壓或延展，則所引起的結構形變(deformation)僅與該物體的特性和截面積大小(cross-sectional area)相關。然而物體對抗彎曲的能力則不僅止於是材料的特性而已，其幾何形狀也十分重要。

24 以一長為l，截面為邊長a與b矩形之長條物為例。
R 此物體被彎折時相當於內部存在一力矩，使得該物體成曲率半徑為R的狀態，則我們可表達為  1/R   = E IA / R IA = area moment of inertia E 為揚氏係數

25 Area moment of inertia的計算如下。以零形變中間層為準，厚度方向上距離為r的位置，所以由應力(stress)可得

26 將此結果代入上一個式子中，再求取其總力矩為
IA = a3b/12R

27 Minimizes both stress and weight

28 其他幾種常用不同幾何形狀截面的area moments of inertia
1、實心圓柱 2、空心圓柱 3、I型樑

29 例題:兩一模一樣的木條，其截面為2cm by 6cm。若於兩端支撐，則木板會因本身重量而彎曲。若一木板以6cm面朝下，而另一木板則以2cm面朝下，問此二木板的曲率半徑比為何？
因此二木板皆為支撐本身重量，故因重力所形成的總力矩一樣

30 樹木的臨界高度 自然界中樹木的高度常常被發現會與其半徑大小有關，此問題與物體抗彎強度問題類似。我們考慮一高為h，半徑為r的樹木，當其彎曲時（如風吹或地面傾斜等），因本身重量的關係會對自己形成一力矩。由上面的關係式子可得 w = 樹木的重量，d為力臂（樹木因彎曲傾斜導致質心偏離的水平分量）。

31 假設彎曲程度不大時，其質心高度仍近似於樹木高度的一半，則由畢氏定理可求得

32 例題十一：某樹木之樹幹半徑於三年內成長一倍，若其高度之成長皆保持在剛好不會折斷的狀況，問其高度成長多少？
由上面條件得知，圓柱形物體的臨界高度為 所以此樹木在這三年中高度僅增加60%。

33 扭力矩(Twisting Torque) 一長度為l半徑為r的圓柱形物體，遭扭轉產生角度值為的形變。在分析上，我們可將之分割成厚度為dr的同心空心圓柱體。想像成將這些空心圓柱體展開成長為l寬為r厚度為dr的長方體，則因扭曲所產生的形變x = r可以受到剪力所產生的形變來表示

34 物體所受到的總力矩為每一空心圓柱體所受力矩之和
這裡的Ip類似於上面的IA，我們稱之為polar moment of inertia。若IA可想像成物體的抗彎質量（強度），則Ip相當於物體的抗扭質量（強度）。

35 例題十二：平均人類小腿主要支撐骨骼-脛骨(Tibia)所能承受的最大的扭曲形變角度為3
例題十二：平均人類小腿主要支撐骨骼-脛骨(Tibia)所能承受的最大的扭曲形變角度為3.4o，這相當於100 Nm的力矩。若腳指到腳踝的平均距離以30cm為準，問在設計滑雪板時，雪靴固定於雪蹺上需有自動脫離安全設計，則此設計為避免因扭曲而產生骨折，所需設定的自動脫離承受力最大為何？