數學與文化:以數學小說閱讀為進路 洪萬生 台灣師範大學數學系退休教授

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1 數學與文化:以數學小說閱讀為進路 洪萬生 台灣師範大學數學系退休教授
【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】

2 東西數學風格比較： 《幾何原本》vs.《九章算術》
洪萬生 《HPM 通訊》 台灣數學博物館 (MTM) 台灣師範大學數學系退休教授

3 九章面積公式 方田 (直田)術：廣、從相乘。 圭田術：半廣以乘正從，亦可半正從以乘廣。劉徽注：半廣知，以盈補虛為直田也。
邪田（類似今之梯形）術：并兩邪而半之，以乘正從若廣；又可半正從若廣，以乘并。劉徽注：并而半之者，以盈補需也。 圓田術：半周、半徑相乘。劉徽注：按半周為從、半徑為廣，故廣、從相乘為積步也。 劉徽的面積理論層次！

4 九章體積公式 城、桓、堤、溝、塹、渠皆同術：並上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。 方堡壔：方自乘，以高乘之。
圓堡壔：周自相乘，以高乘之，十二而一。 方亭：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。 圓亭：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。徽注：從方亭求圓亭之積，亦猶方冪中求圓冪。

5 九章體積公式 方錐：下方自乘，以高乘之，三而一。 圓錐：下周自乘，以高乘之，三十六而一。 塹堵：廣、袤相乘，以高乘之，二而一。
陽馬：廣、袤相乘，以高乘之，三而一。 鼈腝：廣、袤相乘，以高乘之，六而一。 羨除：并三廣，以深乘之，六而一。 芻甍：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一。 芻童、曲池、盤池、冥谷皆同術：倍上袤、下袤從之；亦倍下袤，上袤從之；各以其廣乘之；并，以高若深乘之，皆六而一。

6 劉徽的幾何理論層次

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10 四棋：立方、陽馬、塹堵及鼈臑

11 陽馬術

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13 方台或方亭體積 方亭：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。
劉徽注：(A) 上下方相乘，以高乘之，是為中央立方一，四面塹堵四。(B) 下方自乘，以高乘之，是為中央立方一，四面塹堵各二，四角陽馬各三也。(C) 上方自乘，以高乘之，又為中央立方一。

14 劉徽注方亭！ A＝中央立方 1＋四面塹堵 4＋四角陽馬 0 B＝中央立方 1＋四面塹堵 8＋四角陽馬12
C＝中央立方 1＋四面塹堵 0＋四角陽馬 0 A+B+C＝中央立方 3＋四面塹堵 12＋四角陽馬12 因此，劉徽歸結說：「用棋之數：立方三，塹堵、陽馬各十二，凡二十七棋。十二與三更差次之（按：相互拼湊），成方亭者三，驗矣！」

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16 歐幾里得 (Euclid) vs. 劉徽： 輾轉相除法
設有不相等的二數，從大數中連續減去小數直到餘數小於小數，再從小數中連續減去餘數直到小於餘數，這樣一直作下去，若餘數總是量不盡其前一個數，直到最後的餘數為一個單位，則該二數互質。 若兩數不互質，求其最大公因數。 劉徽 約分術曰：可半者，半之。不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。 歐幾里得證明 vs. 劉徽註解

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18 歐幾里得 vs. 劉徽： 『畢氏定理』 《幾何原本》第一冊命題47: 在直角三角形中，直角所對應的邊上的正方形等於夾直角兩邊上正方形的和。
‧歐幾里得之證明: 三角形全等命題 (SAS)，『概念地』連結了『角所對應的邊上的正方形』與『夾直角兩邊上正方形的和』。

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21 歐幾里得 vs. 劉徽：『畢氏定理』 《九章算術》第九章『勾股術』曰：勾股各自乘，併，而開方除之，即弦。
劉徽注: 勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相 補，各從其類，因就其餘不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。

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23 清中葉李銳《句股算術細草》

24 拉斐爾的數學與美學：Euclid and His Four Disciples（驚喜、專注、好奇與理解）

25 Plato and Aristotle

26 拉斐爾的〈雅典學院〉

27 Plato : Let no one ignorant of geometry enter here!
This is a kind of knowledge which legislation may fitly prescribe; and we must endeavor to persuade those who are to be the principal men of our State to go on to learn arithmetic, not as amateurs, but they must carry the study until they see the nature of numbers with the mind only; nor again, like merchants or retail-traders, with a view to buying or selling, but for the sake of their military use, and of the soul herself; and because this will be the the easiest way for her to pass from becoming to truth and being.

28 Plato …this knowledge of the kind [i.e., mathematics] for which we are seeking, having a double use, military and philosophical; for the man of war must learn the art of number or he will not know how to array his troops, and the philosophers also, because he has to rise out of the sea of change and lay hold of true being, and therefore he must an arithmetician.

29 Plato I mean, as I was saying, that arithmetic has a very great elevating effect, compelling the soul to reason about abstract number, and rebelling against the introduction of visible or tangible objects into the arguments. [Republic Book VII, p. 525]

30 達文西維特魯威人比例圖

31 比例、柏拉圖主義者 達文西深信比例 (proportion) 的理念是『實在』(reality) 的基本結構。但是，他畢竟是一位偉大的藝術家，一切訴諸美學，以致於從不運用普適的科學定律之抽象名詞，來提出他自己有關『實在』的概念。 他的繪畫目的，總是『翻譯』大自然結構的最微妙設計，所以，他的幾何作圖研究，都企圖發現大自然的數學結構。因此，達文西正如文藝復興時期的很多藝術家一樣，都是柏拉圖主義者，他們相信『實在』的真善美，是等待藝術家、數學家與科學家去『共同發現』的。 拉斐爾的名畫〈雅典學院〉之深刻意義。

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33 畢加索〈三個樂師〉(1921)

34 柏拉圖主義 西方：數學家 vs. 藝術家 柏拉圖的Timeus：“Elements” 的想法
東、西方美學風格或意義的差異何在？西方數學概念有沒有介入？ 西方文化中的數學？！

35 徐光啟認識的西方數學 〈幾何原本雜議〉：「此書有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前後更置之不可得。有三至三能：似至晦，實至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實至簡，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實至易，故能以其易易他物之至難。易生於簡，簡生於明，綜其妙在明而已！」 徐光啟或已掌握西方幾何知識的確定性 (certainty)。 徐光啟無從理解《幾何原本》的『尺規作圖』之意義，因而他是否理解了此一典籍，實在非常難說！ 直觀 vs. 論證之張力！

36 徐光啟《勾股義》第7題 勾股，求容圓 法曰：甲乙股，六百。乙丙勾，三百二十。求容圓。以勾股相乘得一萬九千二百，倍之，得三萬八千四百，為實。別以勾股求弦，得甲丙弦六百八十。并勾股弦為法，除實，得容圓徑乙子二百四十 。

37 徐光啟與幾何作圖（尺規作圖） 他的『論曰』運用將近九頁篇幅，企圖證明他所『計算』出來的『辛壬』或『乙子』邊，果然是『容圓徑』！
還必須證明這一容圓（內切圓）與勾股形三邊之相切，以及這勾股形三角之平分線交於一點。 不過，最終他並未成功地完成證明。

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39 數學知識的學術位階： 孔子 vs.柏拉圖 中國：算在六藝 希臘：古雅典四學科 說算者與談天者 vs.哲學家
西方邏輯：羅馬三學科、中世紀大學通識教育七藝 魏晉時期劉徽：熟悉墨名兩家之邏輯之學

40 結論 不可公度量 vs.「開之不盡為不可開」（九章算術），「方五斜七」（孫子算經）！ 嚴謹 vs. 數值精密度！
理論結構 vs.「術」之精益求精（一般性generality 高於抽象性 abstraction） 文化風格或社會情境之不同：古希臘的確定性之追求（譬如《爺爺的證明題》的題旨），在中國古代學術思想中顯然很難以想像！ Mathematics in Western Culture與Mathematics: The Loss of Certainty 都是Morris Kline的名著，有無可能出現中國數學的counterpart？

41 版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《九章算術》卷一〈方田〉篇 ，劉徽，成書年無定論。
3 方田 (直田)術：廣、從相乘……為廣，故廣、從相乘為積步也。 《九章算術》卷一〈方田〉篇 ，劉徽，成書年無定論。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 4 城、桓、堤、溝、塹、渠……圓亭之積，亦猶方冪中求圓冪。 《九章算術》卷五〈商功〉篇 ，劉徽，成書年無定論。 5 方錐：下方自乘，以高乘之…各以其廣乘之；并，以高若深乘之，皆六而一。 6 《古代世界數學泰斗─劉徽》，郭書春著，明文書局，1995年4月出版，頁315。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 7 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，〈商功章〉，頁8-9。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。

42 版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《宋刻算經六種》，上海文物出版社，1981年出版，〈商功章〉，頁9-10。
依據著作權法第46、52、65條合理使用。 9 《宋刻算經六種》，上海文物出版社，1981年出版，〈商功章〉，頁10。 10 台灣師範大學數學系　洪萬生教授。 11 《古代世界數學泰斗─劉徽》，郭書春著，台北：明文書局，1995年4月出版， 頁230。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 12 《匯校九章算術》，郭書春著，辽宁教育出版社，2004年8月出版，頁138。 13 方亭：上下方相乘，……，又為中央立方一。 《九章算術》卷五〈商功〉篇 ，劉徽，成書年無定論。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。

43 版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《九章算術》卷五〈商功〉篇 ，劉徽，成書年無定論。
14 用棋之數：……，成方亭者三，驗矣！ 《九章算術》卷五〈商功〉篇 ，劉徽，成書年無定論。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 15 台灣師範大學數學系　洪萬生教授。 16 約分術曰……，以等數約之。 《九章算術》卷一〈方田〉篇 ，劉徽，成書年無定論。 17 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，〈方田章〉，頁2。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 19 《幾何原本》卷一，徐光啟、利瑪竇譯，頁41，出版年未知。 20 A History of Mathematics ，Carl B. Boyer ，Wiley 1968，頁120。

44 版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《九章算術》卷九〈句股〉篇 ，劉徽注，成書年無定論。
21 《九章算術》第九章......，即弦也。 《九章算術》卷九〈句股〉篇 ，劉徽注，成書年無定論。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 22 《周髀算經》，趙爽注，上海 文物出版社，1981年3月出版， 據宋代嘉定六年本影印，頁3。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 23 《中國科學技術典籍通彙》，郭書春等編，河南教育出版社，1993年6月出版。 數學卷，第五卷，《句股算術細草》(李銳著)，頁五:73-五:74。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 24 Wikimedia commons，作者：Raffaello Sanzio ，本作品轉載自： 25 Wikimedia commons，作者：Raffaello Sanzio ，本作品轉載自

45 版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 26 Wikimedia commons，作者：Raffaello Sanzio ，本作品轉載自： 依據著作權法第46、52、65條合理使用 27 This is a kind of knowledge…… to pass from becoming to truth and being. Republic VII，Plato， 380 BC。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 28 this knowledge of the kind ……he must an arithmetician. 29 I mean, as I was saying,…… into the arguments. [Republic Book VII, p. 525] 30 The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture ，György Doczi，Random House Inc，2005年10月11日出版，頁92-93。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。

46 版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 32 《人體Human Figure》，Parramon編輯群/著，王同禹譯，積木出版社，2004年03月13日， 頁40。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 33 Flickr，作者：Borya，本作品轉載自： 35 〈幾何原本雜議〉……，綜其妙在明而已！」 〈幾何原本雜議〉，徐光啟( )著。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 36 勾股，……，得容圓徑乙子二百四十 。 《句股義》，徐光啟( )著。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 38 台灣師範大學數學系　洪萬生教授。