第四十六讲 面面垂直的判定及性质 高三数学组 刘友明.

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1 第四十六讲 面面垂直的判定及性质 高三数学组 刘友明

2 想一想 考题再现： （2010江苏）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1。
AB=2，AB//DC，∠BCD=900。 (1)求证：PC⊥BC； (2)求点A到平面PBC的距离。(课后思考) 变式: (1)请列出一对互相垂直的平面; (2)求点D到平面PBC的距离。 H 1 1 1 2

3 理解掌握线线、线面、面面垂直的定义、判定定理和性质定理，能够证明一些有关垂直的命题。
高考要求(B)： 理解掌握线线、线面、面面垂直的定义、判定定理和性质定理，能够证明一些有关垂直的命题。

4 复习回顾 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义． 2．直线与平面垂直的判定定理. 3．直线与平面垂直的性质定理.

5 二、平面与平面垂直 1、二面角 (1)平面内的一条直线把这个平面分面两部分，其中的每一部分都叫做半平面.
(2)一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (3)以二面角的棱上任意一点为端点，在这两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. β 回答： (1) 半平面. (2) 二面角. (3) 二面角的平面角. B L . β o ⌒ A a a

6 1.定义：如果两平面所成二面角为直二面角，则称这两个平面垂直；
2．平面与平面垂直的判定定理. 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 理 一个平面过另一个平面的一条 ，则这两个平面垂直 垂线 o A B

7 3．平面与平面垂直的性质定理. 文字语言 图形语言 符号语言 性 质 定 理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直 交线
o A B 交线

8 （2010江苏）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1。 AB=2，AB//DC，∠BCD=900。
考题再现： （2010江苏）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1。 AB=2，AB//DC，∠BCD=900。 (1)求证：PC⊥BC； (2)求点A到平面PBC的距离。(课后思考) 变式: (1)请列出一对互相垂直的平面; (2)求点D到平面PBC的距离。 H 1 1 1 2

9 例2 三棱锥A-BCD中，AB=3,AC=AD=2,且 ∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°,
求证：平面BCD⊥平面ADC 例3 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，在侧棱BB1上截取BD= ， 在侧棱CC1上截取CE=a，过A、D、E作棱柱的截面，求证：截面ADE⊥侧面ACC1A1。 D A C B

10 例2 三棱锥A-BCD中，AB=3,AC=AD=2,且 ∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°,
求证：平面BCD⊥平面ADC 判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角，计算 其为90°)． D A C B 3 (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 2 2 ⌒ . E

11 例3 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，在侧棱BB1上截取BD= ， 在侧棱CC1上截取CE=a，过A、D、E作棱柱的截面，求证：截面ADE⊥侧面ACC1A1。
F a G . a a a

12 例3 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，在侧棱BB1上截取BD= ， 在侧棱CC1上截取CE=a，过A、D、E作棱柱的截面，求证：截面ADE⊥侧面ACC1A1。
截面ADC1⊥侧面ACC1A1。 判定面面垂直的方法: (1)定义 (2) 判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． a (关键是如何找其中一个面的垂线呢?) F a . a G a

13 例3 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，在侧棱BB1上截取BD= ， 在侧棱CC1上截取CE=a，过A、D、E作棱柱的截面，求证：截面ADE⊥侧面ACC1A1。
截面ADC1⊥侧面ACC1A1。 判定面面垂直的方法: (1)定义 (2) 判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． a a (关键是如何找其中一个面的垂线呢?) G a a F

14 变式:在侧棱BB1上是否存在一点D,使得 截面ADC1⊥侧面ACC1A1。 A B C A1 B1 C1 F D . G

15 变式:在侧棱CC1上是否存在一点E,使得 截面ADE⊥侧面AA1 B1B 。 B1 A B C A1 C1 D F E G .

16 我要说…… 1．判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角，计算 其为90°)．
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．

17 我要说…… 2．关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆．

18 （2010江苏）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1。 AB=2，AB//DC，∠BCD=900。
考题再现： （2010江苏）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1。 AB=2，AB//DC，∠BCD=900。 (1)求证：PC⊥BC； (2)求点A到平面PBC的距离。(思考) 变式: (1)请列出一对互相垂直的平面; (2)求点D到平面PBC的距离。 H 1 1 E 1 2

19 谢谢指导!