劉仁沛教授 國立台灣大學農藝學研究所生物統計組 國家衛生研究院生物統計與生統資訊組

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1 劉仁沛教授 國立台灣大學農藝學研究所生物統計組 國家衛生研究院生物統計與生統資訊組 jpliu@ntu.edu.tw
三、機率（Probability） 劉仁沛教授 國立台灣大學農藝學研究所生物統計組 國家衛生研究院生物統計與生統資訊組

2 機率概念(Concept of Probability)
樣品空間及事件(Sample Space and Events) 機率運算法則(Elementary Probability Rules) 條件機率及獨立(Conditional Probability)

3 試驗(Experiment) 一個收集不定結果(Outcome)之觀測值的過程， 每一次試驗只有一個結果(Outcome) 例： 擲硬幣一次
二個可能的結果：正面(H)或反面(T) 但每次只有一結果出現 而且在擲硬幣前不知會觀測到哪一個結果 但可計算每一種結果出現的機率

4 機率(Probability) 1.機率是介於0與1之間 2.所有結果之機率和為1 例 擲公平硬幣(fair coin)一次
出現正面的機率為0.5 出現反面的機率為0.5 均在0與1之間 而且只有正、反面二種結果 → ＝1

5 樣品空間(Sample Space) 樣品空間(Sample Space) 試驗所有可能結果的集合 例：擲硬幣一次 ｛H,T｝ 擲骰子一次
｛1,2,3,4,5,6｝ 夫婦二個小孩的性別 ｛男男,女女,男女,女男｝ ＝{BB, GG, BG, GB}

6 事件(Event) 事件為樣品空間的子集合 例子：夫婦二個小孩至少一人為女孩 ｛GG,BG,GB｝ 擲骰子二次其結果大於3 ｛4,5,6｝

7 事件機率(Probability of an Event)
事件機率為事件中所有結果機率之和 若試驗中與一結果發生機率均相同 若以E代表事件 則以P(E)代表事件機率

8 事件機率(Probability of an Event)
例： 夫婦二個小孩的性別 樣品空間＝｛BB,GG,BG,GB｝ 可能結果之總數＝4 至少一人為女孩 E＝｛GG,BG,GB｝ 事件中結果之個數＝3 P(E)＝3/4＝0.75

9 機率運算法則 1.事件E之補集合Ec之機率為 P(Ec)＝1－P(E) P(E) ＋ P(Ec)＝1 例：夫婦二個小孩的性別
｛GG,BG,GB｝ Ec：兩人均為男孩＝ ｛BB｝ P(Ec)＝1/4＝1－P(E)＝1－3/4

10 機率運算法則 2.加法法則 A與B二事件之交集(Intersection)＝A∩B 包括屬於A事件及B事件的結果
A與B二事件之聯集(Union)＝A∪B 包括屬於A事件或B事件的結果

11 Venn Diagram P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(A∩B)

12 例： A：20歲 B：女性 P(A)=P(20歲)=35/50=0.7 P(B)=P(女性)=30/50=0.6
P(A∩B)=P(20歲及女性)=21/50=0.42 P(A∪B)＝P(20歲或女性)= =0.88 年齡 性別 20歲 非20歲 和 男 14 6 20 女 21 9 30 35 15 50

13 互斥事件(Mutually Exclusive Events)
若A事件與B事件均無相同的結果 A∩B＝ψ P(A∩B)=0 P(A∪B)=P(A)+P(B)

14 互斥事件(Mutually Exclusive Events)
例：隨機抽取一張撲克牌 A：結果為J B：結果為Q C：結果為紅牌(紅心或方塊) A∩B=ψ → P(A∩B)=0 P(A∪B)=P(A)+P(B)= P(A∪C)=P(A)+P(C)-P(A∩C)

15 條件機率(Conditional Probability)
學生為20歲中女性之機率 P(B|A)=21/35=0.6 年齡 性別 20歲 非20歲 和 男 14 6 20 女 21 9 30 35 15 50

16 條件機率(Conditional Probability)

17 條件機率(Conditional Probability)
乘法法則 P(A∩B)=P(B|A)‧P(A) =P(A|B)‧P(B) 獨立事件：兩個互不影響的事件 P(B|A)=P(B) =P(B) ‧P(A) =P(A) ‧P(B)

18 條件機率(Conditional Probability)
例：擲硬幣二次 第二次 第一次 H T 和 1 2 4

19 A：第一次為正面 B：第二次為正面 P(A)=P(第一次為正面)=2/4=1/2 P(B)=P(第二次為正面)=2/4=1/2 P(B|A)=P(第二次為正面｜第一次為正面) 第二次為正面或反面與第一次無關 P(A∩B)=1/4=(1/2)(1/2)=P(A)‧P(B)

20 總結(Summary) 機率 機率概念 樣品空間與事件 0≦P(E) ≦1 加法法則 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
條件機率 P(A|B)=P(A∩B)/P(B) 獨立事件：P(A|B)=P(A)； P(B|A)=P(B)； P(A∩B)=P(A)‧P(B)