数学物理中的偏微分⽅程 Partial Differential Equations (PDE) 第1章 基本概念和通解法

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1 数学物理中的偏微分⽅程 Partial Differential Equations (PDE) 第1章 基本概念和通解法
Wei Huang 2018 USTC, Hefei

2 Q & A 分析 明确问题* 分析求解 综合* 解释* 学科 物理意义 适用?* 应用* 数学 严格?* 原问题的解 分解 抽象
具体学科分析问题的 思想/约定/技巧/套路 数学问题 分析求解 原问题的解 各类数学问题 的各种解法 综合* 学科 适用?* 数学 严格?* 解释* 物理意义 应用*

3 基本概念 本课程仅关注： 二阶、线性、齐次和非齐次、常系数的、2到4个自变量的偏微分方程
常微分方程 Ordinary Differential Equation 偏微分方程 Partial Differential Equation 阶 线性 非线性 齐次(无源) 非齐次(有源) 常系数 变系数 本课程仅关注： 二阶、线性、齐次和非齐次、常系数的、2到4个自变量的偏微分方程 根据对自变量(例如时间)依赖的规律不同，可分为三类型…

4 弦的横振动 牛二 Hooke定律 弦振动方程 Wave equation *双曲型

5 热传导 能量守恒 传导定律 热传导方程 Heat equation *抛物型

6 静电场电势 高斯定律 静电场无旋 场位方程 Poisson equation *椭圆型 无源时, 即 调和方程 (Laplace) Δφ=0

7 对于具体问题，只知服从的规律太宽泛，还无法区分各种可能情况：
弦

8 热

9 基本概念 泛定方程，配上定解条件，组成定解问题

10 无界弦振动方程的行波解 (初位移的影响) (* Mathematica code *)
Manipulate[Plot[{1/2 Piecewise[{{4 (x + a t - 1) (2 - x - a t), 1 < x + a t < 2}}] + 1/2 Piecewise[{{4 (x - a t - 1) (2 - x + a t), 1 < x - a t < 2} } ] },{x, -5, 8.1}, PlotRange -> {{-5.1, 8.1}, {-1.1, 1.1}},AspectRatio -> 1/3, PlotStyle -> {{ Thickness[0.003], Black}}], {{t, 0, "t"}, 0, 10, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, {{a, 0.5, "a"}, 0, 1, 0.01, Appearance -> "Labeled"}] weihuangATmail.ustc.. spring 2018 §1.4 行波、达朗贝尔公式

11 右行波

12 Plot3D[Evaluate[Cos[k (x - a t)] + Cos[k (x + a t)] /
Plot3D[Evaluate[Cos[k (x - a t)] + Cos[k (x + a t)] /. {k -> 2 \[Pi], a -> 1}], {x, 0, 2}, {t, 0, 2}, Axes -> False, Boxed -> False, Mesh -> None]; Show[%, ViewPoint -> {0, -2 (Sqrt[5.]/ ), (Sqrt[5.]/ )}]

13 *半无界 奇延拓 偶延拓 端点r=0处自由

14