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4．2 反余弦函数 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．反余弦函数的定义、图象和性质． 2．反余弦函数的三角运算及余弦函数的反余弦运算． (二)能力训练点 1．理解反余弦函数的定义，熟记图象和性质． 2．掌握反余弦函数的三角运算以及余弦函数的反余弦运算，进一步培养学生综合运用知识的能力． (三)德育渗透点 1．反余弦函数概念的建立与反正弦函数一样，同样要解决函数多值对应的问题，为了获得单值对立，仍然采取控制自变量的范围，所以教学过程要注意让学生再次体验“量变到质变”的辩证唯物主义观点． 2．反余弦函数的研究与反正弦函数研究的方法是相似的，为此要注意引导学生通过类比来学习，使学生不断掌握辩证唯物主义科学的认知方法．
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二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：反余弦函数的定义、图象和性质． 2．教学难点：反余弦函数的定义． 3．教学疑点：要正确理解反余弦的概念，应当指出以下几点：1°它是一个角，2°角在[0，π]内，3°它的余弦值为x． 三、课时安排 建议安排2个课时． 四、教与学过程设计 第一课时 (一)复习引入 (师生共同总结反正弦函数的有关知识，学生表述，教师板书．) 1．反正弦函数的定义
![二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：反余弦函数的定义、图象和性质． 2．教学难点：反余弦函数的定义． 3．教学疑点：要正确理解反余弦的概念，应当指出以下几点：1°它是一个角，2°角在[0，π]内，3°它的余弦值为x．](http://slidesplayer.com/slide/16444596/96/images/2/%E4%BA%8C%E3%80%81%E6%95%99%E5%AD%A6%E9%87%8D%E7%82%B9%E3%80%81%E9%9A%BE%E7%82%B9%E3%80%81%E7%96%91%E7%82%B9%E5%8F%8A%E8%A7%A3%E5%86%B3%E6%96%B9%E6%B3%95+1%EF%BC%8E%E6%95%99%E5%AD%A6%E9%87%8D%E7%82%B9%EF%BC%9A%E5%8F%8D%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E3%80%81%E5%9B%BE%E8%B1%A1%E5%92%8C%E6%80%A7%E8%B4%A8%EF%BC%8E+2%EF%BC%8E%E6%95%99%E5%AD%A6%E9%9A%BE%E7%82%B9%EF%BC%9A%E5%8F%8D%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%EF%BC%8E+3%EF%BC%8E%E6%95%99%E5%AD%A6%E7%96%91%E7%82%B9%EF%BC%9A%E8%A6%81%E6%AD%A3%E7%A1%AE%E7%90%86%E8%A7%A3%E5%8F%8D%E4%BD%99%E5%BC%A6%E7%9A%84%E6%A6%82%E5%BF%B5%EF%BC%8C%E5%BA%94%E5%BD%93%E6%8C%87%E5%87%BA%E4%BB%A5%E4%B8%8B%E5%87%A0%E7%82%B9%EF%BC%9A1%C2%B0%E5%AE%83%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E8%A7%92%EF%BC%8C2%C2%B0%E8%A7%92%E5%9C%A8%5B0%EF%BC%8C%CF%80%5D%E5%86%85%EF%BC%8C3%C2%B0%E5%AE%83%E7%9A%84%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%80%BC%E4%B8%BAx%EF%BC%8E.jpg "三、课时安排. 建议安排2个课时． 四、教与学过程设计. 第一课时. (一)复习引入. (师生共同总结反正弦函数的有关知识，学生表述，教师板书．) 1．反正弦函数的定义.")
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作：y=arcsinx，其中x∈[-1，1]．
2．反正弦的意义 3° sin(arcsinx)=x． 3．基本关系式 1° sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1]． (教师强调式子成立的条件．) 4．反正弦函数的图象4-3：
![作：y=arcsinx，其中x∈[-1，1]．](http://slidesplayer.com/slide/16444596/96/images/3/%E4%BD%9C%EF%BC%9Ay%3Darcsinx%EF%BC%8C%E5%85%B6%E4%B8%ADx%E2%88%88%5B-1%EF%BC%8C1%5D%EF%BC%8E.jpg "2．反正弦的意义. 3° sin(arcsinx)=x． 3．基本关系式. 1° sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1]． (教师强调式子成立的条件．) 4．反正弦函数的图象4-3：")
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5．性质 1°是增函数，2°是奇函数，而arcsin(-x)=-arcsinx． 师：以上是有关反正弦函数的知识总结．今天我们将要学习反余弦函数的有关知识，方法与反正弦相似，请同学们注意比较两个函数特点． (二)新课 师：请同学们注意观察函数y=cosx的图象(用投影机打在屏幕上)，然后思考以下问题： 问题1．函数y=cosx有没有反函数？为什么？ 生：没有，因为一个y的值会对应无数个x的值． 问题2．通过什么办法可使y的值与x的值对应变为1对1？ 生：控制自变量x的取值范围． 问题3．选取哪一区间来研究反余弦函数比较方便又合理． 生：[0，π]． 师：很好，函数y=cosx在[0，π]上是单调递减的，所以有反函数，下面请一位同学来叙述反余弦函数的定义(教师板书)．
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生：函数y=cosx(x∈[0，π])的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx．
生：1°arccosx是一个角，2°这个角在区间[0， π]内，3°这角的余弦值是x． 师：根据反余弦函数的定义，我们可以得到基本关系式：cos(arccosx)=x，其中x∈[-1，1]，arccosx∈[0，π]．若x∈[-1，1]， 例1 求下列各式的值：
![生：函数y=cosx(x∈[0，π])的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx．](http://slidesplayer.com/slide/16444596/96/images/5/%E7%94%9F%EF%BC%9A%E5%87%BD%E6%95%B0y%3Dcosx%28x%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%CF%80%5D%29%E7%9A%84%E5%8F%8D%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%8F%AB%E5%81%9A%E5%8F%8D%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E4%BD%9Cy%3Darccosx%EF%BC%8E.jpg "生：1°arccosx是一个角，2°这个角在区间[0， π]内，3°这角的余弦值是x． 师：根据反余弦函数的定义，我们可以得到基本关系式：cos(arccosx)=x，其中x∈[-1，1]，arccosx∈[0，π]．若x∈[-1，1]， 例1 求下列各式的值：")
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例2 求下列各式的值：
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师：从本题的解答我们得到，arccos(cosx)不一定等于x，只有当x∈[0，π]时，才有arccos(cosx)=x，于是我们又得基本关系式：arccos(cosx)=x，x∈[0，π]．请同学们考虑arccos[cos(-2)]=？ 生：等于2，因为cos(-2)=cos2，而2∈[0，π]．所以，arccos[cos(-2)]=arccos(cos2)=2． 解：∵ -π≤A≤0，∴π-π≤π+A≤π． 即 0≤π+A≤π．
![师：从本题的解答我们得到，arccos(cosx)不一定等于x，只有当x∈[0，π]时，才有arccos(cosx)=x，于是我们又得基本关系式：arccos(cosx)=x，x∈[0，π]．请同学们考虑arccos[cos(-2)]=？](http://slidesplayer.com/slide/16444596/96/images/7/%E5%B8%88%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E6%9C%AC%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%E7%AD%94%E6%88%91%E4%BB%AC%E5%BE%97%E5%88%B0%EF%BC%8Carccos%28cosx%29%E4%B8%8D%E4%B8%80%E5%AE%9A%E7%AD%89%E4%BA%8Ex%EF%BC%8C%E5%8F%AA%E6%9C%89%E5%BD%93x%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%CF%80%5D%E6%97%B6%EF%BC%8C%E6%89%8D%E6%9C%89arccos%28cosx%29%3Dx%EF%BC%8C%E4%BA%8E%E6%98%AF%E6%88%91%E4%BB%AC%E5%8F%88%E5%BE%97%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%85%B3%E7%B3%BB%E5%BC%8F%EF%BC%9Aarccos%28cosx%29%3Dx%EF%BC%8Cx%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%CF%80%5D%EF%BC%8E%E8%AF%B7%E5%90%8C%E5%AD%A6%E4%BB%AC%E8%80%83%E8%99%91arccos%5Bcos%28-2%29%5D%3D%EF%BC%9F.jpg "生：等于2，因为cos(-2)=cos2，而2∈[0，π]．所以，arccos[cos(-2)]=arccos(cos2)=2． 解：∵ -π≤A≤0，∴π-π≤π+A≤π． 即 0≤π+A≤π．")
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学生练习：已知x是第三象限角且cosx=a，试用反余弦函数来表示x，(x=2kπ+π+arccos(-a)，K∈Z)．
师：在考虑用反余弦函数表示一个角时，大家要注意角所在的范围，如果角不在[0，π]内，应先转化为[0，π]内，然后再用反余弦来表示． 例4 求下列各式的值： ②由学生完成．
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师：由于arccosx∈[0，π]，使得sin(arccosx)≥0，这给我们解题带来很大的便利．
(三)练习 课本P． 中练习1、2、4、5、6． (四)小结 1．反余弦函数的定义． 1°arccosx表示一个角，2°arccosx∈[0，π]，3°cos(arccosx)=x． 2．两个基本关系式． 1°cos(arccosx)=x，x∈[-1，1]． 2°arccos(cosx)=x，x∈[0，π]．
![师：由于arccosx∈[0，π]，使得sin(arccosx)≥0，这给我们解题带来很大的便利．](http://slidesplayer.com/slide/16444596/96/images/9/%E5%B8%88%EF%BC%9A%E7%94%B1%E4%BA%8Earccosx%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%CF%80%5D%EF%BC%8C%E4%BD%BF%E5%BE%97sin%28arccosx%29%E2%89%A50%EF%BC%8C%E8%BF%99%E7%BB%99%E6%88%91%E4%BB%AC%E8%A7%A3%E9%A2%98%E5%B8%A6%E6%9D%A5%E5%BE%88%E5%A4%A7%E7%9A%84%E4%BE%BF%E5%88%A9%EF%BC%8E.jpg "(三)练习. 课本P． 中练习1、2、4、5、6． (四)小结. 1．反余弦函数的定义． 1°arccosx表示一个角，2°arccosx∈[0，π]，3°cos(arccosx)=x． 2．两个基本关系式． 1°cos(arccosx)=x，x∈[-1，1]． 2°arccos(cosx)=x，x∈[0，π]．")
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五、作业 课本P．285中习题十九5、6、7． 六、板书设计
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第二课时 一、教与学过程设计 (一)复习引入 师：上一节课我们学过反余弦函数的定义及其运算，那么反余弦函数的意义是什么呢？ 生：1°arccosx表示一个角，2°这个角在[0，π]内，3°这个角的余弦值是x． 师：关于反余弦函数有两个重要的基本关系式，是什么样的？(请一位同学到上面板演．) 生：1°cos(arccosx)=x，x∈[-1，1]． 师：对这两个基本关系式，大家要特别注意它成立的条件，使用时一定要先判别条件是否满足，然后再用． 今天我们继续学习反余弦函数的图象和性质．
![第二课时 一、教与学过程设计. (一)复习引入. 师：上一节课我们学过反余弦函数的定义及其运算，那么反余弦函数的意义是什么呢？ 生：1°arccosx表示一个角，2°这个角在[0，π]内，3°这个角的余弦值是x．](http://slidesplayer.com/slide/16444596/96/images/11/%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E8%AF%BE%E6%97%B6+%E4%B8%80%E3%80%81%E6%95%99%E4%B8%8E%E5%AD%A6%E8%BF%87%E7%A8%8B%E8%AE%BE%E8%AE%A1.+%28%E4%B8%80%29%E5%A4%8D%E4%B9%A0%E5%BC%95%E5%85%A5.+%E5%B8%88%EF%BC%9A%E4%B8%8A%E4%B8%80%E8%8A%82%E8%AF%BE%E6%88%91%E4%BB%AC%E5%AD%A6%E8%BF%87%E5%8F%8D%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%8F%8A%E5%85%B6%E8%BF%90%E7%AE%97%EF%BC%8C%E9%82%A3%E4%B9%88%E5%8F%8D%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%84%8F%E4%B9%89%E6%98%AF%E4%BB%80%E4%B9%88%E5%91%A2%EF%BC%9F+%E7%94%9F%EF%BC%9A1%C2%B0arccosx%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E8%A7%92%EF%BC%8C2%C2%B0%E8%BF%99%E4%B8%AA%E8%A7%92%E5%9C%A8%5B0%EF%BC%8C%CF%80%5D%E5%86%85%EF%BC%8C3%C2%B0%E8%BF%99%E4%B8%AA%E8%A7%92%E7%9A%84%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%80%BC%E6%98%AFx%EF%BC%8E.jpg "师：关于反余弦函数有两个重要的基本关系式，是什么样的？(请一位同学到上面板演．) 生：1°cos(arccosx)=x，x∈[-1，1]． 师：对这两个基本关系式，大家要特别注意它成立的条件，使用时一定要先判别条件是否满足，然后再用． 今天我们继续学习反余弦函数的图象和性质．")
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(二)新课 师：我们知道函数y=cosx(x∈[0，π])与函数y=arccosx(x∈[-1，1])是互为反函数，那么请同学们考虑这两个函数有什么关系？ 生：函数y=cosx(x∈[0，π])的值域[-1，1]是函数y=arccosx(x∈[-1，1])的定义域，函数y=cosx(x∈[0，π])的定义域[0，π]是函数y=arccosx(x∈[-1，1])的值域，同时它们的图象关于直线y=x成对称． 师：根据刚才这位同学的回答，我们知道函数y=arccosx的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]并且易得反余弦函数的图象4-4，请同学们看屏幕．(把事先画好的图象投影到屏幕上，从图象易得反余弦函数是减函数，那么它是否是奇式偶函数？为什么？)
![(二)新课 师：我们知道函数y=cosx(x∈[0，π])与函数y=arccosx(x∈[-1，1])是互为反函数，那么请同学们考虑这两个函数有什么关系？](http://slidesplayer.com/slide/16444596/96/images/12/%28%E4%BA%8C%29%E6%96%B0%E8%AF%BE+%E5%B8%88%EF%BC%9A%E6%88%91%E4%BB%AC%E7%9F%A5%E9%81%93%E5%87%BD%E6%95%B0y%3Dcosx%28x%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%CF%80%5D%29%E4%B8%8E%E5%87%BD%E6%95%B0y%3Darccosx%28x%E2%88%88%5B-1%EF%BC%8C1%5D%29%E6%98%AF%E4%BA%92%E4%B8%BA%E5%8F%8D%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%8C%E9%82%A3%E4%B9%88%E8%AF%B7%E5%90%8C%E5%AD%A6%E4%BB%AC%E8%80%83%E8%99%91%E8%BF%99%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%9C%89%E4%BB%80%E4%B9%88%E5%85%B3%E7%B3%BB%EF%BC%9F.jpg "生：函数y=cosx(x∈[0，π])的值域[-1，1]是函数y=arccosx(x∈[-1，1])的定义域，函数y=cosx(x∈[0，π])的定义域[0，π]是函数y=arccosx(x∈[-1，1])的值域，同时它们的图象关于直线y=x成对称． 师：根据刚才这位同学的回答，我们知道函数y=arccosx的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]并且易得反余弦函数的图象4-4，请同学们看屏幕．(把事先画好的图象投影到屏幕上，从图象易得反余弦函数是减函数，那么它是否是奇式偶函数？为什么？)")
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生：即非奇函数也非偶函数，因为它的图象既不关于y轴对称也不关于原点对称．
师：虽然反余弦函数不具有奇偶性，但对于任意x∈[-1，1]，有arccos(-x)=π-arccosx，下面我们就来证明这个命题． 证明：由于-1≤x≤1，得-1≤-x≤1，即-x∈[-1，1] 根据诱导公式得： cos(π-arccosx)=-cos(arccosx)=-x ∵ cos[arccos(-x)]=-x， ∴ cos[arccos(-x)]=cos(π-arccosx)． 又∵ arccos(-x)∈[0，π]，arccosx∈[0，π]， 即 0≤arccosx≤π 得 0≤π-arccosx≤π． ∴ arccos(-x)与-arccosx同属于[0，π]，且函数y=cosx在[0，π]上是单调递减的． 故 arccos(-x)=π-arccosx．
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师：这个命题的证明过程可分为三步：(1)证明两个角的三多函数值相等，(2)证明两个角同在三角函数的某个单调区间内，(3)根据函数的单调性，得到两个角相等．这种证明方法希望大家能很好地掌握．根据以上讨论我们得到反余弦函数的两条性质(教师板书)． 1° 反余弦函数y=arccosx在区间[-1，1]上是减函数． 2° 对于任意的x∈[-1，1]有arccos(-x)=π-arccosx (三)应用举例 例1 解不等式arccos(1-x)＜arccosx． 解：要使不等式有意义，必须且只须 -1≤1-x≤1 且 -1≤x≤1． 又根据反余弦函数的单调性可得 1-x＞x． 建立以上不等式得
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小结：这道题主要利用了反余弦函数的定义域和单调性．而定义域是大家最容易遗漏掉的，希望大家能充分地重视它．
例2 求函数y=arccos(x+x2)的定义域，值域单调区间． 解：1° 求定义域． 要使函数有意义，必须且只须 -1≤x+x2≤1．
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根据反余弦函数的单调性可得 3° 求函数的单调区间． 原函数y=arccos(x+x2)是由函数y=arccosu与u=x2+x复合而成
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(四)练习 1．课本P．279中练习3． 2．比较下列各组数的大小 (五)总结 1．反余弦函数的图象． 2．反余弦函数的性质． 1°减函数，2°arccos(-x)=π-arccosx x∈[-1，1]．
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二、作业 1．课本P．285中．习题十九8． 三、板书设计
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