含参不等式恒成立问题的解法.

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1 含参不等式恒成立问题的解法

2 一、基础知识点： １、f(x)=ax+b,x [α,β]，则： f(x)>0恒成立＜ ＞ f(x)<0恒成立＜ ＞ o x y

3 ２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
______________________。 a=b=0 C>0 或 a>0 Δ=b2-4ac<0 ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是： ______________________。 a=b=0 C<0 或 a<0 Δ=b2-4ac<0 ａ≥[f (x)] max ａ≤[f (x)] min ３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。

4 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
二、典型例题： 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3> (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ； 当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充 要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 ， 解得: <m<1； 当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充 要条件为： (1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0 解得: <m< 综上可知: 适合条件的m的范围是: <m < 。

5 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m [-2,2]） g(-2)=3x2-3x+3>0 g(2)=-x2+x+3>0 则 g(m)>0恒成立 即 x R < x < ∴ x （ ， ）

6 x<-1或x>3 小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
题，分类讨论。 练习1: 对于一切 |p| ≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p 恒成立，则实数x的取值范围是： ——————————。 x<-1或x>3

7 ②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k 的取值范围是 —————————— 。 ≤a＜1
例2、①若不等式x2 <logax对x （0, ）恒成立，则实数a的 取值范围是 ————————。 ②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k 的取值范围是 —————————— 。 ≤a＜1 1 x y ①解： 设 y1= x2 (x (0, )) y2= logax y=log x 在同一坐标系下作它们 的图象如右图: y=x2 由图易得: ≤a ＜1

8 ②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的 取值范围是 —————————— 。
例2、①若不等式x2 <logax对x （0, ）恒成立，则实数a的取 值范围是 ————————————。 ②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的 取值范围是 —————————— 。 <k<2 x y y=x2+2 ３ -３ 2 11 ②解：原不等式可化为：x2+2>kx y= x 设 y1= x2+2 (x [-3,3]) y2= kx y=kx 在同一坐标系下作它们的图 象如右图: - 由图易得: <k<2 y= x

9 k≥2 小结: 3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。 练习2、
若 ≤ kx-1 对x [1,+ ) 恒成立，则实数k的取值范 围是：_____________。 k≥2

10 例3、若不等式x +2 ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成 立，则实数a的取值范围是 —————————。
恒成立 解: 分离参数得: a ≥ 令 （t > 0） , 则 a ≥ （t > 0） 恒成立 又 令1+2t=m（m > 1），则 f(m)= (当且仅当m= 时等号成立) ∴ a ≥ [f (x)] max= 即a ≥

11 小结： 4、 通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x) （或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使 问题获解。

12 例４、已知a>0，函数f (x)=ax-bx2，
（1）当b>1，证明对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是: b-1≤a≤ ； （2）当0<b≤1，讨论：对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。

13 解:(1) b>1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1 -1≤ax-bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2 bx ≤ a ≤ +bx ∵ x ∈(0,1]， b>1 ∴ bx+ ≥ (x= 时取等号 ) 又 bx 在(0,1]上递增 ∴ ( bx- )max=b (x=1时取得 ) 故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: b-1≤a≤2 又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立 ∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为: b-1≤a≤2

14 (2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
……（*） ( bx- )max ≤a ≤(bx+ )min 此时 ( bx- )max=b (x=1时取得) 而 bx 在(0,1]上递减 故 ( bx+ )min =b+1 (x=1时取得) 故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1 又 a>0 ∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1 又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立 ∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1

15 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
三、课时小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。 3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图 象的关系再处理。 4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒 成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。

16 3、若不等式ax2-2x+2>0 对x (1,4)恒成立，求实数a的取值范围。
四、课后练习： 1、当x (0,1)时，不等式x2< loga(x + 1)恒成立，则实数a的取值范围是_____________。 2、若不等式|x-a|+|x-1|>2 对x R恒成立，则实数a的取值范围是_____________。 3、若不等式ax2-2x+2>0 对x (1,4)恒成立，求实数a的取值范围。 4 、已知f(x)= (x R) 在区间 [-1，1]上是增函数。 （1）求实数 a 的值所组成的集合A； （2）设关于x 的方程f(x)= 的两根为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式 m2 + t m + 1≥| x1 - x2| 对任意a A及t [-1，1] 恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。