第四章 连续系统的s域分析 4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯变换逆变换 4.4 复频域分析

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1 第四章 连续系统的s域分析 4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯变换逆变换 4.4 复频域分析
4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯变换逆变换 4.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型 点击目录 ，进入相关章节

2 4.5 系统微分方程的S域解 4.6 电路的s域求解 连续系统的表示与模拟 系统函数与系统特性

3 频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：
（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。

4 4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。 Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]= 相应的傅里叶逆变换 为 f(t) e-t= 令s =  + j, d =ds/j，有

5 双边拉普拉斯变换对 二、收敛域 Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
4.1 拉普拉斯变换 双边拉普拉斯变换对 Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 拉氏逆变换的物理意义 二、收敛域 只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的

6 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
4.1 拉普拉斯变换 双边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。 例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解 可见，对于因果信号，仅当Re[s]=>时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。 收敛域 收敛边界

7 例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。
4.1 拉普拉斯变换 例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。 解 可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。

8 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
4.1 拉普拉斯变换 例3 双边信号求其拉普拉斯变换。 求其拉普拉斯变换。 解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s) 仅当>时，其收敛域为 <Re[s]<的一个带状区域，如图所示。

9 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t)
4.1 拉普拉斯变换 例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t) 解 Re[s]=  > – 2 Re[s]=  < – 3 – 3 <  < – 2 可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。

10 三、单边拉氏变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为
4.1 拉普拉斯变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为 称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换 简记为F(s)=£[f(t)] f(t)=£ -1[F(s)] 或 f(t)←→ F(s)

11 4.1 拉普拉斯变换 四、常见函数的单边拉普拉斯变换

12 4.1 拉普拉斯变换

13 五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 Re[s]>0 要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况：
4.1 拉普拉斯变换 五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 Re[s]>0 要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况： （1）0<0，即F(s)的收敛域包含j轴，则f(t)的傅里叶变换存在，并且 F(j)=F(s) s=j 如f(t)=e-2t(t) ←→F(s)=1/(s+2) , >-2； 则 F(j)=1/( j+2)

14 （2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴，
4.1 拉普拉斯变换 （2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴， 如f(t)= (t)←→F(s)=1/s = () + 1/j （3）0 >0，F(j)不存在。 例f(t)=e2t(t) ←→F(s)=1/(s –2) ,  >2；其傅里叶变换不存在。

15 4.2 拉普拉斯变换性质 4.2 单边拉普拉斯变换性质 一、线性性质 若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2) 例　f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0

16 二、尺度变换 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ， 则f(at) ←→ Re[s]>a0
4.2 拉普拉斯变换性质 二、尺度变换 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ， 则f(at) ←→ Re[s]>a0 例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = 求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。 解： y(t)= 4f(0.5t) Y(s) = 4×2 F(2s)

17 三、时移（延时）特性 若f(t) <----->F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 ,
4.2 拉普拉斯变换性质 三、时移（延时）特性 若f(t) <----->F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 , 则f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s) , Re[s]>0 与尺度变换相结合 f(at-t0)(at-t0)←→

18 4.2 拉普拉斯变换性质 T 2T 3T …… t

19 四、复频移（s域平移）特性 若f(t) ←→F(s) , Re[s]>0 , 且有复常数sa=a+ja,
则f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]>0+a 例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)= 求e-tf(3t-2)的象函数。 解：e-tf(3t-2) ←→

20 五、时域的微分特性（微分定理） 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则f’(t) ←→ sF(s) – f(0-)
4.2 拉普拉斯变换性质 五、时域的微分特性（微分定理） 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则f’(t) ←→ sF(s) – f(0-) f’’(t) ←→ s2F(s) – sf(0-) –f’(0-) f(n)(t) ←→ snF(s) – 若f(t)为因果信号，则f(n)(t) ←→ snF(s)

21 4.2 拉普拉斯变换性质

22 4.2 拉普拉斯变换性质 六、时域积分特性（积分定理）

23 4.2 拉普拉斯变换性质 例1： 1

24 应用时域积分性质计算f(t)的单边拉氏变换：
4.2 拉普拉斯变换性质 例2：教材P159例4.2—9 应用时域积分性质计算f(t)的单边拉氏变换：

25 七、卷积定理 时域卷积定理 若因果函数 f1(t) ←→ F1(s) , Re[s]>1 ,
4.2 拉普拉斯变换性质 七、卷积定理 时域卷积定理 若因果函数 f1(t) ←→ F1(s) , Re[s]>1 , f2(t) ←→ F2(s) , Re[s]>2 则 f1(t)*f2(t) ←→ F1(s)F2(s) 复频域（s域）卷积定理

26 八、s域微分和积分 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则 例1：t2e-2t(t) ←→ ?
4.2 拉普拉斯变换性质 八、s域微分和积分 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则 例1：t2e-2t(t) ←→ ? e-2t(t) ←→ 1/(s+2) t2e-2t(t) ←→

27 4.2 拉普拉斯变换性质 例2： 例3：

28 九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t) 初值定理
4.2 拉普拉斯变换性质 九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t) 初值定理 设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式）， 则 终值定理 若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0, 0<0，则

29 4.2 拉普拉斯变换性质 例1： 例2：

30 4.2 拉普拉斯变换性质 初值定理证明：

31 4.3 拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表
4.3 拉普拉斯逆变换 4.3 拉普拉斯逆变换 直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为 若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。

32 由于L-1[1]=(t)， L -1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。
4.3 拉普拉斯逆变换 由于L-1[1]=(t)， L -1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为 式中A(s)称为系统的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。

33 特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2 = –±j)
4.3 拉普拉斯逆变换 （1）F(s)为单极点（单根） 特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2 = –±j) K2 = K1*

34 例1: f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t) 若写为K1,2 = A ± jB
4.3 拉普拉斯逆变换 f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t) 若写为K1,2 = A ± jB f1(t)= 2e-t[Acos(t) –Bsin(t)] (t) 例1:

35 4.3 拉普拉斯逆变换

36 4.3 拉普拉斯逆变换 例2:

37 4.3 拉普拉斯逆变换

38 4.3 拉普拉斯逆变换 例3

39 4.3 拉普拉斯逆变换

40 解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2= –1，s3,4= j1 ，s5,6= – 1j1，故
4.3 拉普拉斯逆变换 例4： 求象函数F(s)的原函数f(t)。 解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2= –1，s3,4= j1 ，s5,6= – 1j1，故 K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= –1 K3= (s – j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej(/2) , K4=K3*=(1/2)e-j(/2) K5= (s+1 – j)F(s)|s=-1+j= K6=K5*

41 4.3 拉普拉斯逆变换 （2）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p1处有r重根，

42 4.3 拉普拉斯逆变换 举例:

43 4.3 拉普拉斯逆变换

44 4.3 拉普拉斯逆变换

45 4.4 连续系统的S域分析 4.4 连续系统的S域分析

46 4.4 连续系统的S域分析 L T I

47 4.4 连续系统的S域分析 连续系统的S域分解步骤：

48 例1 已知当输入f(t)=e-t(t)时，某LTI系统的零状态响应 yf(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)
4.4 复频域分析 例1 已知当输入f(t)=e-t(t)时，某LTI系统的零状态响应 yf(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t) 求该系统的冲激响应。 解 h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)

49 4.4 连续系统的S域分析

50 4.5 微分方程的变换解 描述n阶系统的微分方程的一般形式为 系统的初始条件为y(0-) ,y’(0-),…，y(n-1) (0-)。
4.4 连续系统的S域分析 4.5 微分方程的变换解 描述n阶系统的微分方程的一般形式为 系统的初始条件为y(0-) ,y’(0-),…，y(n-1) (0-)。 取拉普拉斯变换 若f(t)在t=0时接入，则f(j)(t)←→sjF(s)

51 y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t) 已知初始条件y(0-)=1，y’(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)，
4.4 复频域分析 例1 描述某LTI系统的微分方程为 y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t) 已知初始条件y(0-)=1，y’(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)， 求系统的全响应y(t) 解： 取拉氏变换得

52 y(t)=[2e-2t-e-3t-4e-2t+3e-3t+

53 4.5 系统微分方程的S域解

54 4.5 系统微分方程的S域解

55 4.5 系统微分方程的S域解

56 4.5 系统微分方程的S域解

57 ４.６ 电路的s域求解 对时域电路取拉氏变换 1、电阻 u(t)= R i(t) U(s)= R I(s) 2、电感
4.6电路的 ４.６ 电路的s域求解 对时域电路取拉氏变换 1、电阻 u(t)= R i(t) U(s)= R I(s) 2、电感 U(s)= sLIL(s) –LiL(0-)

58 4.4 复频域分析 3、电容 I(s)=s C UC(s) – CuC(0-)

59 4.4 复频域分析 例 如图所示电路，已知uS(t) = ε(t) V，iS(t) =δ(t)，起始状态uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求电压u(t)。

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64 应用方程法/ 等效法建立S域 时域模型 S域模型 S域分析： 电路方程（代数方程） 求S域解 由反变换得到时 域解 1. S域元件模型
R：

65 4.6 电路响应的S域分析 L：

66 4.6 电路响应的S域分析 C：

67 2. S域电路模型 4.6 电路响应的S域分析 用S域元件代替时域元件 S域电路模型 运算电流I（s）、电压u(s);运算阻抗、导纳。

68 Step1: 确定电容初始电压、电感初始电流； Step2：画出S域电路模型；
Step3：用方程法/等效法建立S域电路方程，并求出S域响应； Step4：取拉氏反变换，求得时域响应。 注意： （1）S域电路模型中内电源的参考方向。 （2）可直接求出完全响应。求 时应分别 令激励和内电源为零

69 二、系统函数 系统函数H(s)定义为 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。 h(t)<--> H(s)
4.4 复频域分析 二、系统函数 系统函数H(s)定义为 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。 h(t)<--> H(s)

70 4.4 复频域分析 三、系统的s域框图 S-1X(s) S-2X(s) X(s) 求H(s)

71 例1 描述某LTI系统的微分方程为 y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t) 已知初始状态y(0-)=1，y’(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)， 求系统的全响应y(t)

72 y(t)=[2e-2t-e-3t-4e-2t+3e-3t+
4.4 连续系统的S域分析 解： 取拉氏变换得 y(t)=[2e-2t-e-3t-4e-2t+3e-3t+

73 连续系统的表示与模拟 一.方框图表示 ： 1. 基本运算单元： (a) 数乘器； (b) 加法器；(c) 积分器

74 2.S域方框图表示： *由微分方程画出方框图： 设零状态系统微分方程： 传输算子： 系统函数： S域系统方程： 引入辅助变量，将 式（2）等效写成：

75 画出S域方框图： *由S域方框图写出微分方程： （1）设右端积分器输出为X（s），则左端加法器输出为： （2）右端加法器输出：

76 （3）： 3.复合系统（子系统互联）： （1）. 子系统串联： t域： s域：

77 （2）. 子系统并联： 二.信号流图表示: 1. 什么是信流图： t域： 信号流图（SFG）简称信流图，由美国MIT学院S.J.Mason教授于1953年提出。 信流图是一种由点、有向线段组成的有向加权线图，用以表示线性代数方程组变量间的关系。为方程组求解提供一种直观、简便的解法。 LTI系统t域微分方程、s域代数方程、应用SFG表示系统输入输出关系，计算系统函数H(s)。 s域：

78 常用术语： 1.节点：代表信号变量的点。 2.支路：连接两个节点的有向线段。其方向为信号传输方 向 ，权值表示支路传输函数。 3. 源点/汇点：仅含输出/输入支路的节点; 4. 通路：沿支路传输方向，从一个节点到另一个节点之间 的路径。 5. 开路（开通路）：一条通路与它经过的任一节点只相遇 一次。 6. 环（闭通路、回路）：一条通路的起始和终止节点为同 一节点，且与经过的其余节点只相遇一次。 信流图规则： 支路：信号沿支路方向传输；信号在支路中得到加工、处理:

79 节点：代表信号变量。 任一节点信号等于所有输入该节点的支路信号相加。 且与其输出支路无关。 例： 2. 系统的信流图表示： （1）信流图、方框图对应关系：（见下页) 信流图是方框图的简化表示。 （2）由方框图画出信流图： 方法：a.由方框图写出诸运算单元（或个子系统）和整个 系统输出信号的表达式。 b.由节点代表系统输入、输出及内部信号变量。

80 图：信号流图与方框图的对应关系

81 c.用支路表示各节点信号之间的关系 例：某线性连续系统的方框图表示如下图，画出信流图。 解：设左边加法器的输出为X1(s)，左边第一和第二个积分器的输出分别为X2(s)和X3(s)，则有

82 三.用 Mason公式计算 H(s)：

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84 例：求系统函数。 解：三阶系统、含三个环、三条开路。

85 例：求系统函数。 解：四阶系统 含五个一阶环 三个不接触二阶环 一条开路。

86 四.系统模拟 ： 1.系统模拟概念 2.常用模拟组件：数乘器、加法器、积分器。 3.模拟形式 （1）直接形式：二阶系统 三条开路传输函数 之和，且 两不接触环传输 函数之和 直接形式1 直接形式2

87 （2）串联形式：三阶系统 模拟信号流图：

88 （2）并联形式：三阶系统 模拟信号流图： 4.7节到此结束！

89 4.8 系统函数与系统特性 本节主要研究H(s)零、极点分布与系统时域响应、频率特性和稳定性之间的关系。 一. H(s)的零点和极点：
4.8 系统函数与系统特性 本节主要研究H(s)零、极点分布与系统时域响应、频率特性和稳定性之间的关系。 m<n， a i、b i为实常数 一. H(s)的零点和极点： LTI连续系统H(s)一般可表示为：

90 二.H(s) 与时域特性 h(t)表征系统的时域特性。 因h(t)等于H(s)的拉普拉斯逆变换，故h(t)与H(t)零、极 点密切相关，具体有 (1)H(s)的零点影响h(t)的幅度和相位。 (2)H(s)的极点影响h(t)的函数形式。 1.左半开平面极点

91 i =0,1,…r-1 结论1.H(s)在左半平面的极点，无论一阶或高阶极点，对应 的h(t)均按指数规律衰减，当t趋于无穷大时，h(t)趋 于零。 2. 虚轴上极点

92 i =0,1,…r-1 结论2.H(s)在虚轴上的一阶极点，对应的h(t)是幅度一定的 阶跃函数或正弦函数；H(s)在虚轴上的高阶极点，对 应的h(t)幅度随t的增长而增大，当t趋于无穷大时， h(t)值趋于无穷大。 3.右半开平面极点

93 H(s)的极点分布与时域函数的对应关系图 见下页
i =0,1,…r-1 结论3. H(s)在右半开平面极点，无论是一阶或高阶极点，对 应的h(t)幅度均随t的增长而增大，当t趋于无穷大 时，h(t)也趋于无穷大。 H(s)的极点分布与时域函数的对应关系图 见下页

94 图：H(s)的极点分布与时域函数的对应关系

95 三. H(s)的系统频率特性 H(jω)表征系统的频域特性 设H(s)极点均位于s平面的左半开平面，其收敛坐标σ0 <0， 即H(s)收敛域包括jω轴，则有 令 则有

96 幅频特性 其中 相频特性 图 H(s)零、极点的矢量表示及差矢量表示

97 结论：系统在任一ω处的幅频、相频特性值均可利用s平面
上H(s)零、极点矢量的模值和幅角值计算确定。 例：已知二阶系统函数 试粗略画出系统的幅频和相频曲线。 解：（1）H(s)有一个零点s1=α; 有两个极点，分别为 式中 于是H(s)又可表示为

98 （2）写出系统函数（由于p1和p2都在左半开平面）
令 可见：幅频特性和相频特性分别为 由此画出相应幅频特性、相频特性曲线: (见下页）

99 （a）H(s)零、极点的矢量和差矢量表示
（b）系统的幅频特性和相频特性

100 三. H(s)与系统稳定性 1.稳定系统：

101 （1）连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激 响应h(t)绝对可积。即：
2.判定方法 （1）连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激 响应h(t)绝对可积。即： 因果系统 （2）当且仅当系统函数H(s)的收敛域包含jω轴时，系 统是稳定的。 当且仅当系统函数H(s)的全部极点均在s平面的左 半开平面时，因果系统才是稳定的。 （3）R-H 准则： （见下页）

102 y 不稳定 N N 不稳定 y N 不稳定 y 稳定 R-H 准则 A(s)有缺项否？ A(s)各项系数均同号否？ 排R-H阵列
元素均大于0否？ N 不稳定 y 稳定 R-H 准则

103 R-H 阵列 其中

104 例：已知三个线性连续系统的系统函数分别为
判断三个系统是否 为稳定系统。 例：欲使下图为稳定系统，试确定k 值。

105 解：（1）由Mason公 式，得系统函数： （2） R | H 排 列 根据R-H准则 求得：0<k<2 4.8节到此结束！