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第1章 传感器的特性 1.1 传感器的组成及分类 1.2 传感器的基本特性 思考题与习题
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1.1 传感器的组成及分类 1.1.1 传感器的组成 传感器的作用主要是感受和响应规定的被测量， 并按一定规律将其转换成有用输出， 特别是完成非电量到电量的转换。传感器的组成， 并无严格的规定。一般说来， 可以把传感器看作由敏感元件（有时又称为预变换器）和变换元件（有时又称为变换器）两部分组成， 见图1.1。
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图1.1 传感器的一般组成
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传感器的组成 辅助电源 敏感元件 转换元件 基本转换电路 敏感元件是直接感受被测量，并输出与被测量成确定关系的某一物理量的元件。
非电量 电量 敏感元件是直接感受被测量，并输出与被测量成确定关系的某一物理量的元件。 转换元件：敏感元件的输出就是它的输入，它把输入转换成电路参量。 基本转换电路：上述电路参数接入基本转换电路（简称转换电路），便可转换成电量输出。
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1. 敏感元件 在具体实现非电量到电量间的变换时， 并非所有的非电量都能利用现有的技术手段直接变换为电量， 而必须进行预变换， 即先将待测的非电量变为易于转换成电量的另一种非电量。这种能完成预变换的器件称之为敏感元件。
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2. 变换器 能将感受到的非电量变换为电量的器件称为变换器。例如，可以将位移量直接变换为电容、 电阻及电感的电容变换器、 电阻及电感变换器； 能直接把温度变换为电势的热电偶变换器。显然，变换器是传感器不可缺少的重要组成部分。 在实际情况中,由于有一些敏感元件直接就可以输出变换后的电信号,而一些传感器又不包括敏感元件在内,故常常无法将敏感元件与变换器严格加以区别。
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如果把传感器看作一个二端口网络,则其输入信号主要是被测的物理量（如长度、力）等时,必然还会有一些难以避免的干扰信号（如温度、电磁信号）等混入。严格地说,传感器的输出信号可能为上述各种输入信号的复杂函数。就传感器设计来说,希望尽可能做到输出信号仅仅是（或分别是）某一被测信号的确定性单值函数,且最好呈线性关系。对使用者来说,则要选择合适的传感器及相应的电路,保证整个测量设备的输出信号能惟一、正确地反映某一被测量的大小,而对其它干扰信号能加以抑制或对不良影响能设法加以修正。
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传感器可以做得很简单,也可以做得很复杂；可以是无源的网络,也可以是有源的系统；可以是带反馈的闭环系统,也可以是不带反馈的开环系统；一般情况下只具有变换的功能,但也可能包含变换后信号的处理及传输电路甚至包括微处理器CPU。因此,传感器的组成将随不同情况而异。
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信号调节与转换电路：能把传感元件输出的电信号转换为便于显示、记录、处理、和控制的有用电信号的电路。
常用的电路有电桥、放大器、变阻器、振荡器等。 辅助电路通常包括电源等。
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传感元件 敏感元件 压力传感器示例
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1.1.2 传感器的分类 传感器的分类方法很多,国内外尚无统一的分类方法。一般按如下几种方法进行分类。 1. 按输入被测量分类 这种方法是根据输入物理量的性质进行分类。表1.1给出了传感器输入的基本被测量和由此派生的其它量。
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表1.1 传感器输入被测量
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2. 按工作原理分类 这种分类方法以传感器的工作原理作为分类依据,见表1.2。
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表1.2 传感器按工作原理的分类
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3. 按输出信号形式分类 这种分类方法是根据传感器输出信号的不同来进行分类,见表1.3。
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表1.3 传感器按输出信号形式的分类
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1.2 传感器的基本特性 静态特性指当被测量的各个值处于稳定状态时，传感器的输出值与输入值之间关系的数学表达式、曲线或数表。借助实验的方法确定传感器静态特性的过程称为静态校准。校准得到的静态特性称为校准特性。 动态特性，是指当被测量随时间变化时，传感器的输出值与输入值之间关系的数学表达式、曲线或者数表。
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1.2 传感器的基本特性 1.2.1 静态特性 1. 线性度 人们为了标定和数据处理的方便,总是希望传感器的输出与输入关系呈线性,并能准确无误地反映被测量的真值,但实际上这往往是不可能的。 假设传感器没有迟滞和蠕变效应,其静态特性可用下列多项式来描述： (1.1)
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式中： x——输入量； y——输出量； a0——零位输出； a1——传感器的灵敏度,常用k表示； a2,a3,…,an——非线性项的待定常数。 式(1.1)即为传感器静态特性的数学模型。该多项式可能有四种情况,如图1.2所示。
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图1.2 传感器静态特性曲线
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设ai≥0, a0≥0。 1) 理想线性 这种情况见图1.2(a)。此时 a0=a2=a3=…=an=0 于是y=a1x (1.2) 因为直线上任何点的斜率都相等,所以传感器的灵敏度为a1= =k=常数（1.3）
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2) 输出-输入特性曲线关于原点对称 这种情况见图1.2（b）。此时,在原点附近相当范围内曲线基本成线性,式（1.1）只存在奇次项： y=a1x+a3x3+a5x5+… (1.4) 3) 输出-输入特性曲线不对称，这时,式（1.1）中非线性项只是偶次项,即 y =a1x+a2x2+a4x4+… (1.5) 对应曲线如图1.2（c）所示。
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4） 普遍情况 普遍情况下的表达式就是式（1.1）,对应的曲线如图1.2(d)所示。当传感器特性出现如图1.2中(b)、（c）、（d）所示的非线性情况时,就必须采取线性化补偿措施。 实际运用时,传感器数学模型的建立究竟应取几阶多项式,是一个数据处理问题。建立数学模型的古典方法是分析法。 该法太复杂,有时甚至难以进行。利用校准数据来建立数学模型,是目前普遍采用的一种方法,它很受人们重视,并得到了发展。
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传感器的静态特性就是在静态标准条件下,利用校准数据确立的。静态标准条件是指没有加速度、振动和冲击（除非这些参数本身就是被测物理量）,环境温度一般为室温20±5℃, 相对温度不大于85%,大气压力为0.1 MPa的情况 。在这样的标准工作状态下,利用一定等级的校准设备,对传感器进行往复循环测试,得到的输出-输入数据一般用表格列出或画成曲线。
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通常,测出的输出-输入校准曲线与某一选定拟合直线不吻合的程度,称之为传感器的“非线性误差”,或称为“线性度”。用相对误差表示其大小,即传感器的正、反行程平均校准曲线与拟合直线之间最大偏差绝对值对满量程（F.S.）输出之比（%）—— |（ΔyL）max/yF.S.*100%
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式中： ξL——非线性误差（线性度）； |（ΔyL）max|——输出平均值与拟合直线间的最大偏差绝对值；yF.S.——满量程输出。F.S.是英文full scale（满量程）的缩写。 满量程输出用测量上限标称值yH与测量下限标称值yL之差的绝对值表示,即yF.S.=|yH-yL|
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显而易见,非线性误差的大小是以一定的拟合直线作为基准直线而算出来的。基准直线不同,得出的线性度也不同。传感器在实际校准时所得的校准数据,总包括各种误差在内。所以,一般并不要求拟合直线必须通过所有的测试点,而只要找到一条能反映校准数据的趋势同时又使误差绝对值为最小的直线就行。
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需要注意的是,由于采用的拟合直线即理论直线不同,线性度的结果就有差异。因此,即使在同一条件下对同一传感器作校准实验时,得出的非线性误差ξL也就不一样,因而在给出线性度时,必须说明其所依据的拟合直线。
一般而言,这些拟合直线包括理论直线、端点连线、最小二乘拟合直线、最佳直线等。与之对应的有理论线性度、端点连线线性度、最小二乘线性度、独立线性度等。
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（1）理论直线。如图1.3(a)所示,理论直线以传感器的理论特性直线（图示对角线）作为拟合直线,它与实际测试值无关。其优点是简单、方便,但通常（ΔyL）max很大。
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图1.3 几种不同的拟合直线 （a） 理论直线；(b) 端点连线；
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图1.3 几种不同的拟合直线 (c) 最小二乘拟合直线；(d) “最佳直线”
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（2） 端点连线。如图1.3(b)所示,它是以传感器校准曲线两端点间的连线作为拟合直线。其方程式为y=b+kx
式中b和k分别为截距和斜率。这种方法方便、直观,但（ΔyL）max也很大。
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（3）最小二乘拟合直线。这种方法按最小二乘原理求取拟合直线,该直线能保证传感器校准数据的残差平方和最小。如图1.3(c)所示,若用y=kx+b表示最小二乘拟合直线,式中的系数b和k可根据下述分析求得。 设实际校准测试点有n个,则第i个校准数据yi与拟合直线上相应值之间的残差为Δi=yi-(b+kxi)
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按最小二乘法原理,应使 最小。故由 ,分别对k 和b求一阶偏导数并令其等于零，即可求得k和b：
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式中:
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在获得了k和b之值以后代入y=kx+b,即可得拟合直线,然后按Δi=yi-(kx+b)求出残差的最大值（ΔyL）max,就求出了非线性误差。
最小二乘法的拟合精度很高,但校准曲线相对拟合直线的最大偏差绝对值并不一定最小,最大正、负偏差的绝对值也不一定相等。
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（4） “最佳直线”。这种方法以“最佳直线”作为拟合直线,该直线能保证传感器正、反行程校准曲线对它的正、负偏差相等并且最小,如图1.3(d)所示。由此所得的线性度称为“独立线性度”。显然,这种方法的拟合精度最高。通常情况下,“最佳直线”只能用图解法或通过计算机解算来获得。
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2. 重复性 重复性表示传感器在同一工作条件下,被测输入量按同一方向做全程连续多次重复测量时,所得输出值（所得校准曲线）的一致程度。它是反映传感器精密度的一个指标。 通常用下式计算重复性： 式中,YF.S. 为理论满量程输出值,其计算式为 （1.7）
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式（1.7）中λ称置信系数，通常取2或3。子样标准偏差S可通过贝塞尔公式或极差公式估算，即
式中：x1——对应于测量下限的输入值； xm——对应于测量上限的输入值； k——理论特性直线的斜率。 式（1.7）中λ称置信系数，通常取2或3。子样标准偏差S可通过贝塞尔公式或极差公式估算，即 而
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式中： （m——测量范围内不考虑重复测量的测试点数；
j=1, 2, …, m; n ——重复测量次数； yji的含义是,若输入值x=xj,则在相同条件下进行n次重复试验,获得n个输出值yj1～yjn； i ——重复测量序数； ——算术平均值。 或 (1.9)
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式中： Wn——极差,是指某一测量点校准数据的最大值与最小值之差；
dn——极差系数。 极差系数可根据所用数据的数目n由表1.4查得。理论与实践证明,n不能太大,如n大于12,则计算精度变差,这时要修正dn 。
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表1.4 极差系数与测量次数的对应关系
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3. 迟滞 迟滞表明传感器在正（输入量增大）、反（输入量减小）行程期间,输出-输入曲线不重合的程度。也就是说,对应于同一大小的输入信号,传感器正、反行程的输出信号大小不相等。迟滞是传感器的一个性能指标,它反映了传感器的机械部分和结构材料方面不可避免的弱点,如轴承摩擦、灰尘积塞、间隙不适当,元件磨蚀、碎裂等。迟滞的大小一般由实验确定： 式中：（ΔyH）max——输出值在正、反行程间的最大差值；YF.S.——理论满量程输出值。 (1.10)
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4. 精度（精确度） 精度是反映系统误差和随机误差的综合误差指标。 一般用方和根法或代数和法计算精度。用重复性、线性度、迟滞三项的方和根或简单代数和表示（但方和根用得较多）的精度计算式如下： ξ=ξL+ξR+ξH (1.11a) 或 (1.11b)
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与精确度有关指标：精密度、准确度和精确度(精度)
精密度：说明测量传感器输出值的分散性，即对某一稳定的被测量，由同一个测量者，用同一个传感器，在相当短的时间内连续重复测量多次，其测量结果的分散程度。例如，某测温传感器的精密度为0.5℃。精密度是随机误差大小的标志，精密度高，意味着随机误差小。注意：精密度高不一定准确度高。 准确度：说明传感器输出值与真值的偏离程度。如,某流量传感器的准确度为0.3m3/s，表示该传感器的输出值与真值偏离0.3m3/s。准确度是系统误差大小的标志，准确度高意味着系统误差小。同样，准确度高不一定精密度高。
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精确度：是精密度与准确度两者的总和，精确度高表示精密度和准确度都比较高。在最简单的情况下，可取两者的代数和。传感器的常以测量误差的相对值表示。
测量范围内允许的最大绝对误差 （a）准确度高而精密度低 （b）准确度低而精密度高（c）精确度高
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当一个传感器或传感器测量系统设计完成,并进行实际定标以后,人们有时又以工业上仪表精度的定义给出其精度。它是以测量范围中最大的绝对误差（测量值与真实值的差和该仪表的测量范围之比）来测量,这种比值称为相对（于满量程的）百分误差。例如,某温度传感器的刻度为0～100℃,即其测量范围为100℃。若在这个测量范围内,最大测量误差不超过0.5℃,则其相对百分误差为δ=0.5/100=0.5%
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去掉上式中相对百分误差的“%”,称为仪表的精确度。它划分成若干等级,如0. 1级,0. 2级,0. 5级,1
去掉上式中相对百分误差的“%”,称为仪表的精确度。它划分成若干等级,如0.1级,0.2级,0.5级,1.0级,等等。例中的温度传感器的精度即为0.5级。
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灵敏度是传感器输出量增量与被测输入量增量之比,用k来表示。 线性传感器的灵敏度就是拟合直线的斜率,即 k= (Δy/Δx)
5. 灵敏度 灵敏度是传感器输出量增量与被测输入量增量之比,用k来表示。 线性传感器的灵敏度就是拟合直线的斜率,即 k= (Δy/Δx) 非线性传感器的灵敏度不是常数,其表示式为 非线性传感器灵敏度是一个变量，只能表示传感器在某一工作点的灵敏度。 (a) 线性传感器 (b) 非线性传感器
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灵敏度用输出、输入量之比表示。例如,某位移传感器在位移变化1mm时,输出电压变化有300mV,则其灵敏度为300 mV／mm。
有些情况下,灵敏度有另一种含义,因为有许多传感器的输出电压与其电源电压有关,在同样输入量情况下,输出电压是不同的,这时,灵敏度计算中还要考虑单位电源的作用。如若电源电压为10 V,上例位移传感器的灵敏度应为30 mV／(mm·V)。
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6. 阈值、分辨力 当一个传感器的输入从零开始极缓慢地增加时,只有在达到了某一最小值后才测得出输出变化,这个最小值就称为传感器的阈值。在规定阈值时,最先可测得的那个输出变化往往难以确定。因此,为了改进阈值数据测定的重复性,最好给输出变化规定一个确定的数值,在该输出变化值下的相应输入就称为阈值。
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分辨力是指当一个传感器的输入从非零的任意值缓慢地增加时,只有在超过某一输入增量后输出才显示有变化,这个输入增量称为传感器的分辨力。有时用该值相对满量程输入值百分数表示,则称为分辨率。
阈值说明了传感器的最小可测出的输入量。 分辨力说明了传感器的最小可测出的输入变量。
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图1.4 零点与灵敏度漂移
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国内外对漂移指标尚无统一规定,一般常用的计算公式如下。 时间漂移：
7. 时间漂移、零点和灵敏度温度漂移 漂移量的大小是表征传感器稳定性的重要性能指标。传感器的漂移有时会致使整个测量或控制系统处于瘫痪。图1.4示出了零点和灵敏度两种漂移的叠加。时间漂移通常是指传感器零位随时间变化的大小。 国内外对漂移指标尚无统一规定,一般常用的计算公式如下。 时间漂移： (1.12)
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式中：y0″——稳定Δt小时后的传感器的零位输出值（注意,稳定时间可规定为大于Δt小时的任意值）；
yF.S.——满量程输出值。 零点温度漂移： 灵敏度温度漂移： （1.13） （1.14）
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1.2.2 动态特性 1. 时域性能指标 某传感器的幅频特性曲线如图1.5所示,当被测信号变化的频率小于ω1时，该传感器的输出不受被测信号ω的影响,能正确地反映被测信号。
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图1.5 幅频特性曲线
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1.2.2 动态特性 1. 时域性能指标 通常在阶跃函数作用下测定传感器动态性能的时域指标。一般认为,阶跃输入对一个传感器来说是最严峻的工作状态。如果在阶跃函数的作用下,传感器能满足动态性能指标,那么,在其它函数作用下,其动态性能指标也必定会令人满意。在理想情况下,阶跃输入信号的大小对过渡过程的曲线形状是没有影响的。但在实际做过渡过程实验时,应保持阶跃输入信号在传感器特性曲线的线性范围内。图1.6所示即为单位阶跃作用下传感器的动态特性。
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图1.6 单位阶跃作用下传感器的动态特性
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一个正式的传感器产品在出厂时要标定它的指标。在标定压力传感器的时域性能指标时,常用激波管与瞬态示波器（或记录仪）作动态压力标定设备。
通常用下述四个指标来表示传感器的动态性能： ① 时间常数T： 输出值上升到稳定值y(∞)的63%所需的时间。 ② 上升时间tr： 输出值从稳态值y(∞)的10%上升到90%所需的时间。 ③ 响应时间t5、t2： 输出值达到稳态值的95%或98%所需的时间。
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④ 超调量σ：在过渡过程中,若输出量的最大值y(tp)＜y(∞),则响应无超调；若y(tp)＞y(∞),则有超调,且
输出量y(t)跟随输入量的时间快慢,是标定传感器动态性能的重要指标。
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2. 频域性能指标 通常在正弦函数作用下测定传感器动态性能的频域指标。在标定压力传感器的频域性能指标时,常采用正弦波压力信号发生器。如图1.7中所示,频域常有如下指标： ① 通频带ωb： 对数幅频特性曲线上幅值衰减3 dB时所对应的频率范围。 ② 工作频带ωg1或ωg2：幅值误差为±5%或±10%时所对应的频率范围。 ③ 相位误差： 在工作频带范围内相角应小于5°或10°,即为相位误差的大小。
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图1.7 正弦压力作用于传感器的频域特性
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传感器动态特性 由于传感器的惯性和滞后，当被测量随时间变化时，传感器的输出往往来不及达到平衡状态，处于动态过渡过程之中，所以传感器的输出量也是时间的函数，其间的关系要用动态特性来表示。 一个动态特性好的传感器，其输出将再现输入量的变化规律，即具有相同的时间函数。实际的传感器，输出信号将不会与输入信号具有相同的时间函数, 这种输出与输入间的差异就是所谓的动态误差。
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为了说明传感器的动态特性，下面简要介绍动态测温的问题。当被测温度随时间变化或传感器突然插入被测介质中，以及传感器以扫描方式测量某温度场的温度分布等情况时，都存在动态测温问题。如把一支热电偶从温度为t0℃环境中迅速插入一个温度为t1℃的恒温水槽中（插入时间忽略不计），这时热电偶测量的介质温度从t0突然上升到t1，而热电偶反映出来的温度从t0℃变化到t1℃需要经历一段时间，即有一段过渡过程，如图所示。热电偶反映出来的温度与其介质温度的差值就称为动态误差。
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造成热电偶输出波形失真和产生动态误差的原因，是温度传感器有热惯性（由传感器的比热容和质量大小决定）和传热热阻，使得在动态测温时传感器输出总是滞后于被测介质的温度变化。如带有套管热电偶其热惯性要比裸热电偶大得多。 这种热惯性是热电偶固有的，它决定了热电偶测量快速变化的温度时会产生动态误差。影响动态特性的“固有因素”任何传感器都有，只不过它们的表现形式和作用程度不同而已。
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传感器的种类和形式很多，但它们的动态特性一般都可以用下述的微分方程来描述：
1. 传感器的基本动态特性方程 传感器的种类和形式很多，但它们的动态特性一般都可以用下述的微分方程来描述： 式中，a0、a1、…, an, b0、b1、…., bm是与传感器的结构特性有关的常系数。
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1） 零阶系统 在方程式中的系数除了a0、b0之外，其它的系数均为零，则微分方程就变成简单的代数方程， 即 a0y(t)=b0x(t) 通常将该代数方程写成 y(t)=kx(t) 式中，k=b0/a0为传感器的静态灵敏度或放大系数。传感器的动态特性用方程式来描述的就称为零阶系统。
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零阶系统具有理想的动态特性，无论被测量x(t)如何随时间变化，零阶系统的输出都不会失真，其输出在时间上也无任何滞后， 所以零阶系统又称为比例系统。
在工程应用中，电位器式的电阻传感器、变面积式的电容传感器及利用静态式压力传感器测量液位均可看作零阶系统。
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2） 一阶系统 若在标准微分方程的方程式中系数除了a0、a1与b0之外，其它的系数均为零，则微分方程为 上式通常改写成为
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式中：τ——传感器的时间常数，τ=a1/a0；
k——传感器的静态灵敏度或放大系数，k=b0/a0。 时间常数τ具有时间的量纲，它反映传感器的惯性的大小， 静态灵敏度则说明其静态特性。用方程式描述其动态特性的传感器就称为一阶系统，一阶系统又称为惯性系统。 如前面提到的不带套管热电偶测温系统、电路中常用的阻容滤波器等均可看作为一阶系统。
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3） 二阶系统 二阶系统的微分方程为 二阶系统的微分方程通常改写为 式中：k——传感器的静态灵敏度或放大系数，k=b0/a0； ξ——传感器的阻尼系数， ωn——传感器的固有频率，
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根据二阶微分方程特征方程根的性质不同， 二阶系统又可分为：
① 二阶惯性系统：其特点是特征方程的根为两个负实根， 它相当于两个一阶系统串联。 ② 二阶振荡系统：其特点是特征方程的根为一对带负实部的共轭复根。 带有套管的热电偶、 电磁式的动圈仪表及RLC振荡电路等均可看作为二阶系统。
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2. 传感器的动态响应特性 传感器的动态特性不仅与传感器的“固有因素”有关，还与传感器输入量的变化形式有关。也就是说，同一个传感器在不同形式的输入信号作用下， 输出量的变化是不同的，通常选用几种典型的输入信号作为标准输入信号， 研究传感器的响应特性。 1） 瞬态响应特性 传感器的瞬态响应是时间响应。在研究传感器的动态特性时，有时需要从时域中对传感器的响应和过渡过程进行分析，这种分析方法称为时域分析法。传感器在进行时域分析时，用得比较多的标准输入信号有阶跃信号和脉冲信号，传感器的输出瞬态响应分别称为阶跃响应和脉冲响应。
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(1) 一阶传感器的单位阶跃响应 一阶传感器的微分方程为
设传感器的静态灵敏度k=1， 写出它的传递函数为 对初始状态为零的传感器，若输入一个单位阶跃信号，即 t≤0 t>0
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输入信号x(t)的拉氏变换为 一阶传感器的单位阶跃响应拉氏变换式为 进行拉氏反变换， 可得一阶传感器的单位阶跃响应信号为
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相应的响应曲线如图所示。由图可见，传感器存在惯性， 它的输出不能立即复现输入信号，而是从零开始，按指数规律上升， 最终达到稳态值。理论上传感器的响应只在t趋于无穷大时才达到稳态值，但通常认为t=（3～4）τ时，如当t=4τ时其输出就可达到稳态值的98.2%，可以认为已达到稳态。所以， 一阶传感器的时间常数τ越小，响应越快，响应曲线越接近于输入阶跃曲线，即动态误差小。因此，τ值是一阶传感器重要的性能参数。
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(2） 二阶传感器的单位阶跃响应 二阶传感器的微分方程为
设传感器的静态灵敏度k=1，其二阶传感器的传递函数为 传感器输出的拉氏变换为
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二阶传感器单位阶跃响应
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上图二阶传感器的单位阶跃响应曲线，二阶传感器对阶跃信号的响应在很大程度上取决于阻尼比ξ和固有角频率ωn。
ξ=0时，特征根为一对虚根，阶跃响应是一个等幅振荡过程， 这种等幅振荡状态又称为无阻尼状态； ξ>1时， 特征根为两个不同的负实根， 阶跃响应是一个不振荡的衰减过程， 这种状态又称为过阻尼状态； ξ=1 时，特征根为两个相同的负实根，阶跃响应也是一个不振荡的衰减过程，但是它是一个由不振荡衰减到振荡衰减的临界过程，故又称为临界阻尼状态； 0<ξ<1时， 特征根为一对共轭复根，阶跃响应是一个衰减振荡过程，在这一过程中ξ值不同，衰减快慢也不同，这种衰减振荡状态又称为欠阻尼状态。
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阻尼比ξ直接影响超调量和振荡次数，为了获得满意的瞬态响应特性，实际使用中常按稍欠阻尼调整，对于二阶传感器取ξ=0. 6～0
阻尼比ξ直接影响超调量和振荡次数，为了获得满意的瞬态响应特性，实际使用中常按稍欠阻尼调整，对于二阶传感器取ξ=0.6～0.7之间，则最大超调量不超过10%，趋于稳态的调整时间也最短，约为（3～4）/(ξω)。固有频率ωn由传感器的结构参数决定，固有频率ωn也即等幅振荡的频率，ωn越高，传感器的响应也越快。
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(3） 传感器的时域动态性能指标 时域动态性能指标叙述如下：
① 时间常数τ：一阶传感器输出上升到稳态值的63.2%所需的时间,称为时间常数。 ② 延迟时间td：传感器输出达到稳态值的50%所需的时间。 ③ 上升时间tr：传感器输出达到稳态值的90%所需的时间。 ④ 峰值时间tp： 二阶传感器输出响应曲线达到第一个峰值所需的时间。 ⑤ 超调量σ： 二阶传感器输出超过稳态值的最大值。 ⑥ 衰减比d：衰减振荡的二阶传感器输出响应曲线第一个峰值与第二个峰值之比。
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图2-10 一阶传感器的时域动态性能指标
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图2-11 二阶传感器的时域动态性能指标
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2） 频率响应特性 传感器对不同频率成分的正弦输入信号的响应特性，称为频率响应特性。一个传感器输入端有正弦信号作用时，其输出响应仍然是同频率的正弦信号， 只是与输入端正弦信号的幅值和相位不同。频率响应法是从传感器的频率特性出发研究传感器的输出与输入的幅值比和两者相位差的变化。 (1） 一阶传感器的频率响应 将一阶传感器传递函数式中的s用jω代替后，即可得如下的频率特性表达式：
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幅频特性: 相频特性：
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可看出，时间常数τ越小， 频率响应特性越好。当ωτ<<1时， A（ω）≈1，Φ（ω）≈0， 表明传感器输出与输入成线性关系，且相位差也很小， 输出y(t)比较真实地反映了输入x(t)的变化规律。因此减小τ可改善传感器的频率特性。除了用时间常数τ表示一阶传感器的动态特性外， 在频率响应中也用截止频率来描述传感器的动态特性。所谓截止频率，是指幅值比下降到零频率幅值比的 倍时所对应的频率，截止频率反映传感器的响应速度，截止频率越高，传感器的响应越快。 对一阶传感器, 其截止频率为1/τ。 后图为一阶传感器的频率响应特性曲线。
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一阶传感器频率响应特性 (a) 幅频特性； (b) 相频特性
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(2） 二阶传感器的频率响应 由二阶传感器的传递函数式可写出二阶传感器的频率特性表达式， 即 其幅频特性、 相频特性分别为
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相位角负值表示相位滞后。可画出二阶传感器的幅频特性曲线和相频特性曲线，如图所示。
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图2-13 二阶传感器频率响应特性曲线 (a) 幅频特性； (b) 相频特性
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可见，传感器的频率响应特性好坏主要取决于传感器的固有频率ωn和阻尼比ξ。当ξ<1， ωn>>ω时，A（ω）≈1，Φ（ω）很小， 此时，传感器的输出y(t)再现了输入x(t)的波形，通常固有频率ωn至少应为被测信号频率ω的（3～5）倍， 即ωn≥（3～5）ω。 为了减小动态误差和扩大频率响应范围，一般是提高传感器固有频率ωn， 而固有频率ωn与传感器运动部件质量m和弹性敏感元件的刚度k有关， 即ωn =（k/m）1/2。 增大刚度k和减小质量m都可提高固有频率，但刚度k增加，会使传感器灵敏度降低。 所以在实际中，应综合各种因素来确定传感器的各个特征参数。
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② 工作频带ω0.95（或ω0.90）：当传感器的幅值误差为±5%（或±10%）时其增益保持在一定值内的频率范围。
(3） 频率响应特性指标 频率响应特性指标叙述如下： ① 通频带ω0.707： 传感器在对数幅频特性曲线上幅值衰减3 dB时所对应的频率范围。 ② 工作频带ω0.95（或ω0.90）：当传感器的幅值误差为±5%（或±10%）时其增益保持在一定值内的频率范围。 ③ 时间常数τ： 用时间常数τ来表征一阶传感器的动态特性。τ越小，频带越宽。 ④ 固有频率ωn： 二阶传感器的固有频率ωn表征其动态特性。 ⑤ 相位误差：在工作频带范围内，传感器的实际输出与所希望的无失真输出间的相位差值，即为相位误差。 ⑥ 跟随角Φ0.707: 当ω=ω0.707时，对应于相频特性上的相角， 即为跟随角。
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图 传感器的频域动态性能指标
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对于高阶传感器，在写出运动方程后， 可根据式具体情况写出传递函数、频率特性等。在求出特征方程共轭复根和实根后，可将它们分解为若干个二阶模型和一阶模型研究其过渡函数。有些传感器可能难于写出运动方程，这时可采用实验方法，即通过输入不同频率的周期信号与阶跃信号，以获得该传感器系统的幅频特性、相频特性与过渡函数等。
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例1-1：由弹簧阻尼器构成的压力传感器，系统输入量 为F(t) = Kx (t)，输出量为位移y(t )，分析系统的频率响应特性。
一阶传感器 C K K x(t) =F(t) y(t) 解：根据牛顿第二定律： fC+fK=F(t) 或
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τ为时间常数
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令H(S )中的S =jω,即σ= 0，则系统的频率响应函数H（jω）为
由Ｈ(jω)可以分析该系统的幅频特性A(jω）和相频特性φ（jω） ：
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例1-2：一阶测温传感器系统中，已知敏感部分的质量为m，比热为c，表面积为s，传热系数为h（w/ m2k）。给出输入量T0与输出量T之间的微分方程，并推导其幅频特性、相频特性及阶跃响应特性。
解：
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频率响应特性 幅频特性 相频特性 阶跃响应特性
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标定：利用标准器具对传感器进行标度的过程。
3. 传感器的标定与校准 传感器的标定 压电式压力传感器 电荷信号 压力信号 精度已知检测设备测量 活塞式压力计：已知标准力 输入-输出关系 标定：利用标准器具对传感器进行标度的过程。 校准：传感器在使用中或存储后进行的性能复测。—— 再次的标定。
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标定的基本方法 电量 已知非电量 标准设备 待标定传感器 输入量 输出量 输入标准量：由标准传感器检测得到 输入量 发生器 标准传感器 输出2 待标定传感器 输出1 实质：待标定传感器与标准传感器之间的比较。
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标定系统的组成 （1）被测非电量的标准发生器 （2）被测非电量的标准测试系统 （3）待标定传感器配接的信号检测设备 测量 产生 活塞式压力计
标准压力 传感器 产生 测力机 测量 标准力 标准力传感器 产生 恒温源 测量 标准温度 标准温度计 （3）待标定传感器配接的信号检测设备
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为保证精度和可靠性，使用中注意问题： （1）标定等级：只能用上一级精度的标准装置标定下一级精度的传感器 （2）环境条件 （3）标定测试系统 （4）安装条件
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传感器的静态标定及设备 力：测力砝码、拉（压）式测力计 压力：活塞式压力计、水银压力计、麦氏真空计 位移：深度尺、千分尺、块规 温度：铂电阻温度计、热电偶、基准光电高温比色仪
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低频-激振器：电磁振动台、低频回转台、机械振动台、液压振动台
传感器的动态标定及设备 周期函数：正弦波 标准激励信号 瞬变函数：阶跃波 低频-激振器：电磁振动台、低频回转台、机械振动台、液压振动台 高频-瞬变函数激励信号：激波管
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提高传感器性能的方法 提高传感器性能的方法主要有 非线性校正 温度补偿 零位法 微差法 闭环技术 平均技术 差动技术 采用屏蔽、隔离与抑制干扰措施等
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4.传感器基本特性的讨论意义 掌握传感器的基本测量精度。 ⑵ 动态特性 ① 频率响应特性(了解传感器的幅频特性和相频特性目的 )
⑴ 静态特性 掌握传感器的基本测量精度。 ⑵ 动态特性 ① 频率响应特性(了解传感器的幅频特性和相频特性目的 ) 在动态量测量时使其频率处于传感器的通带之内，且输出信号的相移尽可能的小； 设计传感器时，即要保证传感器的通带（与ωn有关），又要控制阻尼即可能达到临界阻尼。 ② 阶跃响应特性 传感器的阶跃响应时间，对数据的采集十分重要(防止采错), 设计传感器时，即要减小输出的过冲，又要尽量减小阶跃响应时间。
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一、与测量条件有关的因素 5 .传感器的选用原则 (1)测量的目的； (2)被测试量的选择； (3)测量范围；
(4)输入信号的幅值，频带宽度； (5)精度要求； (6)测量所需要的时间。
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二、与传感器有关的技术指标 (1)精度； (2)稳定度； (3)响应特性； (4)模拟量与数字量； (5)输出幅值；
(6)对被测物体产生的负载效应； (7)校正周期； (8)超标准过大的输入信号保护。
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四、与购买和维修有关的因素 三、与使用环境条件有关的因素 (1)安装现场条件及情况； (2)环境条件(湿度、温度、振动等)；
(3)信号传输距离； (4)所需现场提供的功率容量。 四、与购买和维修有关的因素 (1)价格； (2)零配件的储备； (3)服务与维修制度，保修时间； (4)交货日期。
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基本参数指标 环境参数指标 可靠性指标 其他指标
量程指标： 量程范围、过载能力等 灵敏度指标： 灵敏度、分辨力、满量程输出等 精度有关指标： 精度、误差、线性、滞后、重复性、灵敏度误差、稳定性 动态性能指标： 固定频率、阻尼比、时间常数、频率响应范围、频率特性、临界频率、临界速度、稳定时间等 温度指标： 工作温度范围、温度误差、温度漂移、温度系数、热滞后等 抗冲振指标： 允许各向抗冲振的频率、振幅及加速度、冲振所引入的误差 其他环境参数： 抗潮湿、抗介质腐蚀等能力、抗电磁场干扰能力等 工作寿命、平均无故障时间、保险期、疲劳性能、绝缘电阻、耐压及抗飞弧等 使用有关指标： 供电方式（直流、交流、频率及波形等）、功率、各项分布参数值、电压范围与稳定度等 外形尺寸、重量、壳体材质、结构特点等 安装方式、馈线电缆等
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例题：有一压力传感器校准数据如下。要求根据这些数据求最小二乘法线性度的拟合直线方程。并求其线性度
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思考题与习题 1. 传感器的输出-输入校准曲线是在什么条件下得到和建立的?
2. 传感器的静态、动态特性区别何在？衡量传感器的静态、动态特性的主要指标有哪些？简述其含义。
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