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相似三角形的對應關係與作圖 利用相似三角形作簡易測量
自我評量
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在上一節中,我們用AAA、AA、SAS、SSS等性質來判別兩個三角形是否相似。以下則進一步探討,兩相似三角形的對應邊與對應高、對應角平分線、對應中線之間的關係,及對應邊與面積的關係。
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1相似三角形對應邊的比=對應高的比 如圖,△ABC∼△A'B'C' ,且 於D點, 於D 點,試說明 : = : 。
搭配習作P13基礎題 1 1相似三角形對應邊的比=對應高的比 如圖,△ABC∼△A'B'C' ,且 於D點, 於D 點,試說明 : = : 。
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說明 (1)∵△ABC∼△A'B'C', ∴∠B=∠B', : = : (2)∵ 且 , ∴∠ADB=∠A'D'B'=90° 故△ABD∼△A'B'D'(AA 相似) : = : (3)由式、式知: : = :
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1.如圖,△ABC∼△A'B'C', 平分∠BAC,交
於T 點, 平分∠B'A'C',交 於 T' 點,試說明: (1)△ABT∼△A'B'T '。 (2) : = : 。
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∵△ABC∼△B'D'C' ∴∠B=∠B',∠A=∠A', 故∠BAT= ∠A= ∠A'=∠B'A'T ' 則△ABT∼△A'B'T '(AA 相似) : = :
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2.如圖,△ABC∼△A'B'C', 為 中線, 為 中線,試說明: (1) △ABM∼△A'B'M'。 (2) : = : 。
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∵△ABC∼△A'B'C' ∴∠B=∠B', : = : 又 : 為中線 ∴ : = : 故△ABM∼△A'B'M'(SAS 相似) : = :
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由例題1與隨堂練習可得: 兩個相似三角形, 對應邊的比=對應高的比=對應角平分線的比=對應中線的比。
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如圖,△ABC∼△A'B'C', , , 試說明△ABC:△ A'B'C' = : 。 2相似三角形面積的比=對應邊的平方比
搭配習作P13基礎題 1 2相似三角形面積的比=對應邊的平方比 如圖,△ABC∼△A'B'C', , , 試說明△ABC:△ A'B'C' = : 。
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說明 (對應高的比等於對應邊的比) ∴△ABC:△A'B'C'= :
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由例題2可知:△ABC:△A'B'C'= : 。 同理可得△ABC:△A'B'C' = : ; △ABC:△A'B'C'= : , ∴△ABC:△A'B'C'= : = : = : 。 由上可知: 兩個相似三角形,面積的比=對應邊的平方比。
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1.如右圖,平行四邊形ABCD 中, = ,試求△EMD:△CMB 的比值。
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∵ = ,∴ = 又ABCD 為平行四邊形∴ // 故∠1=∠2,∠3=∠4, 則△EMD∼△CMB(AA 相似) △EMD:△CMB= : =( )2: =4:9 故比值=
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2.如右圖,平行四邊形ABCD中,若E為 中 點, 、 交於F 點,回答下列問題: (1)試證△FCE △ADE。 (2)試求△ABF:△ADE 的比值。
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(1)在△FCE 與△ADE中 ∵∠1=∠F,∠2=∠3, = , ∴△FCE △ADE(AAS) (2)∵ // ,∴△FEC∼△FAB 又 = = , ∴ =2 △ABF:△ADE =△ABF:△FCE = : =4:1 故比值=4
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我們利用方格紙簡單的製作放大圖(縮小圖),即可作出相似形。但沒有方格紙的情形下,該如何做出簡單的相似形呢?
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如右圖,已知△ABC 及其內部一點O,回答下列問題: (1)用尺規依下面作法完成作圖。
3相似三角形的尺規作圖 搭配習作 P14 基礎題 2 如右圖,已知△ABC 及其內部一點O,回答下列問題: (1)用尺規依下面作法完成作圖。 作法 連接 ,並在 上取一點P,使 = 。 連接 ,並在 上取一點Q,使 = 。 連接 ,並在 上取一點R,使 = 。 連接 、 、 ,得△PQR。 (2)試證△ABC∼△PQR。
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作圖
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說明 ∵∠AOB=∠POQ, : = : =1:2, ∴△OAB∼△OPQ(SAS相似), 同理,△OBC∼△OQR, , △OAC∼△OPR, 。 由上可知: , ∴△ABC∼△PQR(SSS 相似) =
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如下圖,已知△ABC 及其外部一點O,回答下列問題: (1)用尺規依下面作法完成作圖。
連接 ,並在 上取一點P,使 = 。 連接 ,並在 上取一點Q,使 = 。 連接 ,並在 上取一點R,使 = 。 連接 、 、 ,得△PQR。
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(2)若△ABC 的面積=17,試求△PQR 的面積。
=12:22=1:4 ∴△PQR=17 × 4=68
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如右圖,湖邊有A、B 兩點,志明想知道它們之間的距離。首先他在湖邊的空地找另一點C,並測得
搭配習作 P15 基礎題 3 4 測量湖寬 如右圖,湖邊有A、B 兩點,志明想知道它們之間的距離。首先他在湖邊的空地找另一點C,並測得 =75 公尺, =25 公尺, =90公尺, =30公尺, =28公尺,試求A、B兩點的距離。
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在△ABC 與△MNC 中, ∵ : = : =3:1, 且∠ACB=∠MCN, ∴△ABC∼△MNC(SAS 相似), : = :
解 在△ABC 與△MNC 中, ∵ : = : =3:1, 且∠ACB=∠MCN, ∴△ABC∼△MNC(SAS 相似), : = : :28=3:1 =28.3=84 故A、B 兩點的距離為84公尺。
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如右圖,宜君想知道湖邊A 點到湖中小島B 點的距離,她在湖邊找了一點C,並測得 =24 公尺, =8 公尺, =6 公尺, // ,試求A、B兩點的距離。
∵ // ∴ : = : 8:24=6: =18(公尺)
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5 測量樹高 如右圖,心怡想要測量樹高 ,她在樹前7.5公尺的C點立了一根1公尺長的標竿 ,且 的延長線與 的延長線交於E點,又測得 =9公尺,試求樹高 。
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解 ∵ 與 皆垂直於 , ∴ // 。 : = : :1=9:(9-7.5)=9:1.5 =6 故樹高 =6 公尺。
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如圖,志豪想要測量樹高 ,他在樹前5公尺的 D 點豎立了一根長1
如圖,志豪想要測量樹高 ,他在樹前5公尺的 D 點豎立了一根長1.8公尺的木棍,並從木棍後方2公尺的觀測點E,觀察到木棍的頂端與樹梢成一直線,已知E點至地面的高度 為1公尺,試求樹高 。
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∵ // ∴ : = : 2:(2+5)=(1.8-1): =2.8 故 =2.8+1 =3.8(公尺)
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1.兩個相似三角形之間的關係: 兩個相似三角形中, 、 分別為△ABC、△A'B'C'的高, 、 分別為△ABC、△A'B'C'的角平分線,
則 : = : = : = : 。
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圖 1-24
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(2)面積的比=對應邊的平方比。 如圖 1-25,△ABC∼△A'B'C', 則△ABC面積:△A'B'C'面積= : 。 圖 1-25 2.現實生活中,無法直接求得的距離或長度,常利用相似三角形作簡易測量。
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1. 如圖,△ABC∼△DEF,已知△ABC的周長為 20,△DEF的周長為60,則: (1) : =______:_______
1-3 自我評量 1. 如圖,△ABC∼△DEF,已知△ABC的周長為 20,△DEF的周長為60,則: (1) : =______:_______ (2)( + ):( + ) =_______:_______ (3) △ABC 的面積:△DEF 的面積 1 3 1 3 1 9
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2.如右圖,△ABC 中,D、E分別為 、 的中點,若△ABC 的面積為16平方公分,試求△ADE 的面積。
∵D、E 分別為 AB、AC 的中點 ∴ // , = 且△ADE∼△ABC 故△ADE:△ABC = : =( )2 : = :1 ∴△ADE= △ABC=4(平方公分)
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3.如下圖,請在 、 、 上取 A'、B'、C' ,使△A'B'C'∼△ABC,且 = 。(只要作圖,不必寫出作法)
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7. 如圖,忠明在地上放了一面鏡子(C 點),透過鏡子的反射,他可以看見樹梢(即∠1=∠2)。已知忠明與鏡子的距離 =1
7.如圖,忠明在地上放了一面鏡子(C 點),透過鏡子的反射,他可以看見樹梢(即∠1=∠2)。已知忠明與鏡子的距離 =1.2公尺,鏡子與樹的距離 =6公尺,且忠明眼睛(E點)離地面的高度 =150公分,試求樹高 。
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∵∠EDC=90°=∠ABC,∠1=∠2, ∴△EDC∼△ABC(AA 相似) : = : 120:600=150: =750(公分)
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確實的高度。於是命令祭司們去丈量,但是祭司們卻束手無策,國王只好以巨額懸賞徵求能人高手前來揭開這個難題。
推理的妙用 相傳兩千六百多年前, 法老王阿美西斯(Amasis) 很想知道金字塔(如圖1-19) 確實的高度。於是命令祭司們去丈量,但是祭司們卻束手無策,國王只好以巨額懸賞徵求能人高手前來揭開這個難題。 圖1-26
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這時希臘數學家泰勒斯(Thales of Miletus,西元前六、七世紀)正好看到了國王的告示,便燃起挑戰的壯志。他試了幾種方法,還是行不通;然而他並不氣餒。有一天,他走在路上苦思對策,炙熱的太陽照著他孤獨的身體,正當他低下頭時,注意到影子一直跟著自己,而且影子隨著太陽升起愈來愈短,終於觸動了他的靈感,喃喃自語:「在一天之中,一定有一個
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時間,身高與影子的長度相等,這時候金字塔的高度與它的影子也會相等。」泰勒斯終於利用推理的方法解決了金字塔高度的問題。
泰勒斯如何解決這個問題呢?如圖1-27,藍線表示太陽光線,人與金字塔分別垂直於地面,因為可視太陽光線為平行,所以△ABC∼△DEF(AA 相似),
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,即金字塔的高度與金字塔的影子長度相等。
因此當人的身高與影子的長度相等時( = ),由 : = : 可知 = ,即金字塔的高度與金字塔的影子長度相等。 圖1-27
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