测验： 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 H={x|xG,并且xe} 对任意的xH， xe, xee=xx-1 对任意的x,yH， xe, ye, eye, x-1xyx-1x.

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1 测验： 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 H={x|xG,并且xe} 对任意的xH， xe, xee=xx-1 对任意的x,yH， xe, ye, eye, x-1xyx-1x

2 定理13.19：群[G;*]同态于它的任一商群[G/H;]。
2.群同态基本定理 定理13.19：群[G;*]同态于它的任一商群[G/H;]。 证明:构造映射f:GG/H, f(g)=Hg 然后证明f是满同态映射. 自然同态

3 定理13.20：设为群[G;*]到群[G';]的同态映射,K为同态核, (G)G'为G在下的象集,则:[G/K;][(G);]
证明：对任意的KaG/K，定义 f(Ka)=(a) (1)f是G/K(G)的映射。 关键是对于Ka=Kb,是否有(a)=(b) (2)f是同态映射。 对任意的Ka,KbG/K,是否有 f(KaKb)=f(Ka)f(Kb)

4 (3) f是一一对应映射。 一对一 :即证若有f(Ka)=f(Kb),必有Ka=Kb. 就是要证明a*b-1K, 也就是(a*b-1)=eG' 满射: 推论：若为群[G;*]到群[G';]的满同态映射,则: [G/K;][G';]

5 例:[R;+]是实数加法群,[Z;+]是整数加法群,并且是[R;+]的正规子群。W={ei|R},
例:[R;+]是实数加法群,[Z;+]是整数加法群,并且是[R;+]的正规子群。W={ei|R},*为普通乘法群，则[R/Z;][W;*]。 分析:应先构造RW的满同态映射 然后证明Ker=Z 定义(x)=e2ix Ker={x|(x)=1}=Z

6 [S;*]是一个代数系统,*为定义在S上的二元运算,若满足:
(1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合律); (2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元); (3)对任意的aS,存在a-1S,使得 a*a-1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群。 带2个二元运算

7 [S;*]是一个代数系统,*为定义在S上的二元运算,若满足:
(1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合律); (2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元); (3)对任意的aS,存在a-1S,使得 a*a-1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群。

8 第十四章 环 环的英文为Ring，用Ring的起始字母R表示环,即今后出现的R表示环,除非特别说明，R不再表示实数集。

9 §1 环的定义与性质 一、环的定义 代数系统[R;+,*],其中+和*为定义在R上的二元运算,满足下述条件, (1)[R;+]为Abel群
(3)*满足分配律: a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a) 则称[R;+,*]为环。

10 (1)[R;+]中的运算+是一般的运算记号，而不是普通的加法运算。
(3) [R;+]中a逆元通常用-a表示，同样也是记号。 (4) 0是+的单位元 (5) -a是a关于+的逆元。 (6)a关于+运算n次a+a++a通常记为na

11 例：S,[P(S);,∩] 满足结合律 的单位元是, 对任意AS, 关于的逆元就是A. 满足交换律 ∩满足结合律 ∩满足分配律 并且∩满足交换律. 关于环的第二个运算满足交换律, 称为交换环。

12 定义：[R;+,*]为环,当第二个运算*满足交换律时, 称为交换环。
对于[M;+,],因为一般ABBA,故不是交换环 而[P(S);,∩], [Z;+, ]则是交换环. 定义：[R;+,*]为环,当第二个运算*有单位元时(一般表示为1)时称该环为有单位元环 关于环的修饰都是对第二个运算而言

13 二、环的性质 1.环的单位元与零元 关于第1个运算的单位元通常用0表示 如果环是有单位元的环，通常将关于第2个运算的单位元用1表示。
0和1都是记号,并不是数字

14 定理14.1：[R;+,*]为环,则对任a,bR,有:
(1)a*0=0*a=0 (2)a*(-b)=(-a)*b=-(a*b) (3)(-a)*(-b)=a*b (4)如果环有单位元，则(-1)*a=-a, (5)如果环有单位元，则(-1)*(-1)=1

15 关于第1个运算的单位元0在第2个运算*下，对任意aR,有a*0=0*a=0。即0为*的零元。
称关于第1个运算的单位元为环的零元。 如果环是有单位元的环，则将关于第2个运算的单位元称为环的单位元。 说明：关于环的修饰都是对第二个运算而言。

16 作业:P173 41(1),(3),(5) 补充 2.设是群G到G'的同态映射,证明: (1)若H是G的子群,则(H)也是G'的子群.