第一讲 物体的平衡 一、力学中物体的平衡概念 二、应用平衡条件解题注意 三、静平衡的稳定性 四、质点组（或刚体) 的质心与重心

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1 第一讲 物体的平衡 一、力学中物体的平衡概念 二、应用平衡条件解题注意 三、静平衡的稳定性 四、质点组（或刚体) 的质心与重心
第一讲 物体的平衡 一、力学中物体的平衡概念 二、应用平衡条件解题注意 三、静平衡的稳定性 四、质点组（或刚体) 的质心与重心 五、摩擦力与摩擦角 目录

2 第一讲 物体的平衡 一、力学中物体的平衡概念 （一）、物体的力学平衡状态 静止 静平衡 1、恒定平衡 匀速直线运动 动平衡
第一讲 物体的平衡 一、力学中物体的平衡概念 1 （一）、物体的力学平衡状态 静止 静平衡 1、恒定平衡 匀速直线运动 动平衡 匀速转动（绕定轴） 2 2、瞬间的平衡 备注1、在生物学中使用了平衡的概念（如生态平衡），在化学中使用了平衡的概念（化学反应的平衡），在物理学的力学、电学、热学都用了平衡的概念（力的平衡、力矩的平衡、热平衡、静电平衡）。 备注2、绕定轴的匀速转动也是一种平衡态。物体由于平动惯性而保持静止或匀速直线运动状态，物体由于转动惯性而保持静止或匀速转动状态。力的作用是改变物体的平动状态——产生平动加速度，力矩的作用则是改变物体的转动状态——产生转动加速度，而不维持物体的转动。（例如用手推动门匀速转动时，并不是手的推力的力矩在维持门的匀速转动，这是推力的力矩和门轴的摩擦力的力矩平衡的结果。） （在木棒从竖直倒下的瞬间） （在振子运动至Δl =0处的瞬间） 物体的力学平衡状态

3 以保证质点不产生加速度 刚体的平衡充要条件： 以保证质心不产生加速度
（二）物体平衡的本质 a=0 β=0 （三）物体的平衡条件 质点的平衡充要条件： 以保证质点不产生加速度 刚体的平衡充要条件： （对任意轴） 以保证质心不产生加速度 以保证刚体不产生转动加速度 二、应用平衡条件解题注意： C G A B O 1.5m （一）、质点的受力必为共点力，可利用共点力的合力为零解质点平衡问题 例题1、如图，在水平天花板与竖直墙壁之间通过不计质 量的软绳和光滑的轻小滑轮悬挂重物G。绳长2.5m，OA=1.5m， G=40N。求绳中张力T的大小。 讨论：（1）当B固定，A缓慢左移时，T如何变化？ （2）当A固定，B缓慢上移时，T如何变化？ 应用平衡条件解题注意（一)

4 选什么作为研究对象质点？ A O B α C α 如何求α？ G 由 得 所以
解： 1.5m 选什么作为研究对象质点？ A O B 将图中虚线圆中的物体视为质 点作为研究对象. α 其受力如图所示. T 由平衡条件有： C α 如何求α？ G 如图， 由 得 备注1： 先判断确定AC、CB两绳中的张力相等。 再进而判断确定AC、CB两绳和竖直方向的夹角相等。 所以 应用平衡条件解题注意（一）

5 题后思考 讨论： 1.5m A O B （1）当 B 固定，A缓慢移动左时，T如何变 化 ？ α
A左移时，由于ACB’的长度已定， OB′必减 少，α变大， T 则T 变大。 C α （2）当 A 固定，B 缓慢上移时，T 如何变化？ G B上移时，由于ACB′的长度一定，所以 B′位置 不动，故α不变， 因此T 不变。 题后思考 在（1）、（2）情况下，滑轮如何移动？ 应用平衡条件解题注意（一）

6 （二）刚体转动轴的选定是任意的但必须合理，应使尽量多的未知力（特别是不需 求的）的力矩为零
例题2、 证明如图所示的三个人抬一匀质三角形木板时所用的力相等。 证明： F1 F2 F3 G O O2 O1 O3 木板受力如图所示。 如何选转动轴较合理？ C 有平衡条件有： 以BC为转动轴， α A B 所以 分别以AC、AB边为轴则可得到 所以有 应用平衡条件解题注意（二）

7 （1）当刚体受三个非平行力处于平衡时，若其中的两个力的方向已知，则可准确确定第三个力的方向
（三）正确判断受力方向 1、准确确定力的方向 （1）当刚体受三个非平行力处于平衡时，若其中的两个力的方向已知，则可准确确定第三个力的方向 P F1 F2 F3 依据：刚体受三个非平行力作用而处于平衡时，该三力必 共面共点。 用“反证法”证明依据的正确性 若F3 不在 F1 和F2所决定的平面内，则F1 与 F2 的合力F12 就不可能与 F3 反向； 若F3 不过F1 与F2 的交点 P，则对过P 点的不 与F3 平行的转动轴来说，合力矩必定不为零。 G T R 如图所示， 墙壁对横杆AB 的作用力R 的方向由此得以确定。 应用平衡条件解题注意（三）

8 （2）若n个力平衡，其中的（n-1）个力交于一点且交点已知，则可准确确定第n个力的 方向。
P 用反证法证明依据 若第n个力不过此点，则该力对过此点的转 轴的力矩不为零，而其它（n-1）个力对此 转轴的力矩为零，所以该n个力对此转轴的 合力矩不为零。这与平衡条件矛盾。 应用平衡条件解题注意（三）

9 你也能大致判断天花板作用于杆的力N 的方向吗？
2、大致确定力的方向：（当物体受力不止三个或者受到三个力但不知道其两个力的方向时） A B C 900 G1 G2 例题3、 如图所示，已知等长匀质杆AB、BC 的重量为G1、G2。A处、B处为无摩擦的铰链连接。求为使系统平衡加在C 点的力F 大小和方向。 θ F 解： 先大致确定F 的方向. F 能否指向AC 的左边？ F 能否指向BC 的右边？ 备注1：若F指向AC的左边，则必有ΣMA≠0；若F指向BC的右边，则必有ΣMB≠0. 1 F的方向只能夹在∠ACB之间。 你也能大致判断天花板作用于杆的力N 的方向吗？ 应用平衡条件解题注意（三）

10 在右上图中，假如杆BC 还另外受到一个已知力F ’ ，你还能对F 的方向作出判断吗？
对AB杆和BC杆组成的系统， N ① A 对BC杆， G1 B ② 900 F θ F ’ G2 据几何关系有 ③ C 由①、②、③式解出 在右上图中，假如杆BC 还另外受到一个已知力F ’ ，你还能对F 的方向作出判断吗？ 应用平衡条件解题注意（三）

11 3、先假定力的方向，最后由计算结果判定假定的方向是否为 真实的方向 N
A θ 在上例中，即可先任意假定F 的方向（如图）来求得F： G1 B 对AB杆和BC杆组成的系统， F 900 ① G2 对BC杆， C ② 又据几何关系有 ③ 由①、②、③式解出 所以，F 的实际方向为偏向AC 右方θ角。 应用平衡条件解题注意（三）

12 2、有时可只用隔离法或只用整体法就能解决问题
（四）合理运用整体分析法与隔离体分析法 F L A 1、有时需同时运用两种方法才能解决问题 N ’ 如上例。 N0 2、有时可只用隔离法或只用整体法就能解决问题 G N 例题4、如图所示，A为无摩擦铰链，AB为长为L的 轻木板. 所有接触均光滑. 球的半径为r，重为G. 问θ多大 时拉力F最小？ 先设法找出F和θ的关系。 用隔离法解： 对木板: 其受力如图， G N0 N ’ x y ① 对小球： 其受力如图， ② ③ 而由牛顿第三定律有 ④ 应用平衡条件解题注意（四）

13 由① 、②、 ④解得 F N ’ N0 N L G 此时， A 用（整体法+隔离法）解： F 对（木板+小球）： 其受力如图， N ’ ①
O G N0 B 其受力如图， 则 对小球： ② L ②代入①得 A 应用平衡条件解题注意（四）

14 题后思考 由此得到前面相同的结论。 能否仅用整体法解本题？试一试，若不能，想想原因。 3、有时必须用隔离法才能解决问题
F G N0 N ’ L N A 所以 由此得到前面相同的结论。 题后思考 能否仅用整体法解本题？试一试，若不能，想想原因。 3、有时必须用隔离法才能解决问题 若要求系统的内力时，则必须将两个物体隔离， 从而将内力转换为外力来研究。 在上例中如要求小球与木板的相互作用力N、N′ 时，则必须用隔离法。 应用平衡条件解题注意（四）

15 4、在不需求系统内力时，往往整体法比较简单
m2g m1g F 4、在不需求系统内力时，往往整体法比较简单 L O 例题5、 如图所示，两小球m1、m2用绝缘等长 的细线悬挂于同一点，使两球带上+q1、+q2的电量， 两球因排斥使两细线偏离竖直方向α1和α2的角度。 试证明：若m1＜m2 , 则α1＞α2. 证明： 因为不需求（小球m1+小球m2+两绳）系统的内 力，故可用用整体法. 系统受力如图. m2g m1g T1 T2 f L O 用隔离法也可证明本题： 分别以(小球m1+右连接绳）和（小球m2+左连接 绳）为研究对象， 受力如图。 应用平衡条件解题注意（四）

16 ① T2 T1 ② O L 由①、②得 L 由此知在m1＜m2时， m1g m2g 总结 凡是用整体法能解的题目，用隔离法
或者“隔离加整体”法必定能解。但不一 定简单。 凡是用“隔离加整体”法能解的题目用 隔离法必定能解。但不一定简单。 比较两种方法，显然此处用整体法较简单。 应用平衡条件解题注意（四）

17 下列处于平衡的物体，在遭遇扰动时有不同表现：
三、静平衡的稳定性 下列处于平衡的物体，在遭遇扰动时有不同表现： 反映的是处于静平衡的物体克服 所遭遇的（破坏平衡的）微小扰动 的性能。 （一）概念： 静平衡按稳定性分类： （二） 1、稳定平衡 1 2、非稳定平衡 1、稳定平衡：由于扰动使物体稍稍偏离平衡位置，在扰动停止后，物体能自发地因力或力矩的作用而回到平衡位置。处于稳定平衡的物体偏离平衡位置时其势能会增大或者重心会升高。 2、非稳定平衡：由于扰动使物体偏离平衡位置，在扰动停止后，物体不仅不能自发地回到平衡位置，而是因为力或者力矩地作用而自发地、永不复返地进一步远离平衡位置。处于非稳定平衡的物体偏离平衡位置时其势能必会减小或者重心会升高。 物体的非稳定平衡状态在自然界实际上是难以找到的。 3、随遇平衡：由于扰动使物体偏离平衡位置时，物体所受的力或者力矩仍为零，故能在新的位置处于平衡。处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时势能不变或者重心高度不变。 2 3、随遇平衡 3 平衡的稳定性

18 1、受力分析：看物体偏离平衡位置后，所受力是否总是使物体移向平衡位置。
1、稳定平衡 2、非稳定平衡 3、随遇平衡 （三）物体平衡的稳定性的判定 1、受力分析：看物体偏离平衡位置后，所受力是否总是使物体移向平衡位置。 2、受力矩分析：看物体偏离平衡位置后，所受力矩是否总是使物体转向平衡位置。 3、重心升降（如果有重心变化）分析：看物体偏离平衡位置后，其重心高度如何变 化。 4、势能分析：看物体偏离平衡位置后，其势能如何变化。 平衡的稳定性

19 木棍为什么不竖直漂浮在水中而会发生倾斜？而且在浸入一定深度时才倾斜？
例题6、 将悬挂的均匀细木棍慢慢放入水中，当木棍浸入水中多 深时，木棍开始倾斜？ (设水的密度为ρ’、木棍的密度为ρ，木棍长为l，横截面积为S.) 解： 木棍为什么不竖直漂浮在水中而会发生倾斜？而且在浸入一定深度时才倾斜？ 1 木棍在水中时时会受到扰动，当木棍插入水中较浅时，木棍对扰动是稳定平衡的。当木棍插入水中较深时，木棍对扰动是非稳定平衡的。所以，木棍插入水中到一定的深度时，就会发生倾斜。 平衡的稳定性

20 在木棍的稳定平衡与非稳定平衡的转折位置处，
T 在木棍的稳定平衡与非稳定平衡的转折位置处， 即 ① o F 而 ② C ③ B 将②、③代入①得 扰动 G 解出 木棍浸入水中后，受拉力、重力、浮力三个力的作用。重力G作用在棍的中部C点，浮力F作用在棍浸入水中部分的中部B点。在木棍逐渐进入水中的过程中，B点逐渐向棍的上端移动，F的大小也逐渐由小变大。 由于扰动时时存在，使棍总是不断地进行左右微晃动，因此，F、G不会总是在一条铅锤线上，对悬挂点来说，此两力便会形成力矩的作用。 在开始插入时，F很小，G的力矩大于F的力矩，合力矩的作用是克服扰动。故插入不深时，木棍处于稳定平衡，能时时克服扰动而保持为竖直方向。而随着插入深度逐渐增大，F的力矩因力和力臂的增大而逐渐增大，但重力的力矩是不变的。因此，当插入至重力的力矩小于浮力的力矩时，木棍便处于非稳定平衡状态，便不能克服扰动。此时，一旦有扰动发生，木棍便会偏离平衡位置并永不复返地远离平衡位置——所谓倾斜也。 平衡的稳定性

21 为什么放在斜面上“不倒翁”还能处于平衡呢？
例题7 、 儿童玩具“不倒翁”高h=21cm,质量M=300g，相对中心轴KD对称分布，不倒 翁”的下部是半径为R=6cm的球面的一部分。如果将“不倒翁”放在倾角为α=30°的粗糙 斜面上，当它的轴KD与竖直方向偏角为β=450时，刚好还能处于平衡状态。为了使它在 水平桌面上失去稳定平衡，可在其头顶上K处固定塑泥。试问最少需加多少塑泥？ K K O C A C f N A O β h N D O R G C G D α 备注1、先分析“不倒翁”的受力，进一步说明： 从力矩的角度看，“不倒翁”受到扰动时，重力产生一回复力矩，使其转回到原来位置。从重心的变化来看，“不倒翁”受到扰动时，重心将升高，即重力势能增大。 “不倒翁”就是一个处于稳定平衡的物体。显然，重心C在球心O下方是关键所在。如果C在O的上方，这“不倒翁”就处于非稳定平衡。如果C与O重合，则“不倒翁”处于随遇平衡。 备注2、先分析“不倒翁”的受力，进一步说明：“不倒翁”放在斜面上时仍能处于平衡，是因为此时其重力的作用线过“不倒翁”和斜面的接触点。从而必然有：N、G、f 的合力为零，合力矩也为零。据此可求出重心C的位置。 解： 你知道 “不倒翁”为什么不倒吗？ 为什么放在斜面上“不倒翁”还能处于平衡呢？ 1 2 平衡的稳定性

22 若在K点加上塑泥m后，使“不倒翁”的重心上升至O点，则“不倒翁”失去稳定性。 α 此时
在△OCA中， 由正弦定理有 K N f O C β D 所以 A G 若在K点加上塑泥m后，使“不倒翁”的重心上升至O点，则“不倒翁”失去稳定性。 α 此时 m K 所以至少需加塑泥 h O R C D 平衡的稳定性

23 若初始时重心C在浮心B下方，则平衡是稳定的
（三）浮体平衡的稳定性 1、浮体平衡的稳定性因扰动方式不同而不同 （1）竖直扰动： 稳定平衡 （2）水平扰动： 随遇稳定平衡 视具体情况而定 （3）旋转扰动： 若初始时重心C在浮心B下方，则平衡是稳定的 G C F B F C B G B和F的力偶距使船体复位 平衡的稳定性

24 若初始时重心C在浮心B上，则平衡可能稳定也可能不稳定。这既取决于重心高出浮心多少也取决于浮体的形状。
F和G的力偶距使船 体倾斜增大。 B’ F F B’’ F B G C C B F和G的力偶距使船 体复位。 G 判定的方法： Ⅰ、让浮体绕重心转过一个小角度，看转动后的浮力作用线与直线BC的交点是位 于B、C之间还是在B、C之外。若在B、C之外则为稳定平衡，否则即非稳定平衡。 Ⅱ、让浮体绕重心转过一个小角度，看转动后的浮心位于转动后的重力作用线何 方。若越过重力作用线则为稳定平衡，否则即非稳定平衡。 平衡的稳定性

25 今后在动力学中将证明由以下公式计算所得的C点就是符合上述条件的点！！！
F1 F2 Fi Fi-1 ac 四、质点组（或刚体) 的质心与重心 (一）质心 m1 mi 1、质心的概念 C m2 （1）相对质点组（或刚体）位置固定 （2）集中了质点组 (或刚体）的全部质量，其加速 度等 于质点组（或刚体）所受的全部 外力作用于 该点 时所 产生的加速度 质心是一个质点： （常用C表示） 1、这样的C点是否存在？ 2、如果存在又位于何处？ 今后在动力学中将证明由以下公式计算所得的C点就是符合上述条件的点！！！ 质点组的质心与重心

26 3、常见质点组（或刚体）的质心位置计算(即确定质心 相对于质点组或刚体的位置）
z 2、质心位置的计算公式 m1 mi C 公式的分量式 m2 O y x 3、常见质点组（或刚体）的质心位置计算(即确定质心 相对于质点组或刚体的位置） l m1 m2 lc C （1）单个质点的质心位置 x O （2）两个质点组成的质点组位置 到m1距离 到m2距离 直接由公式计算 （3）多个质点组成的质点组（或刚体）的质心位置 有时可结合质心组合律确定 质点组的质心与重心

27 将质点组分成若干质点小组，各小组质心构成的新质点组 可以断定，质心C必在衍架所在的平面内！！
质心组合律 将质点组分成若干质点小组，各小组质心构成的新质点组 的质心即为原质点组的质心 Ⅰ、匀质细杆的质心： 位于杆的中心 Ⅱ、匀质圆板或圆盘或圆环的质心： 位于圆心 Ⅲ、匀质球体或球壳的质心： 位于球心 例题7、 如图所示，由七根粗细相同的匀质杆构成的衍架，求其质心C的位置。 解： x y 可以断定，质心C必在衍架所在的平面内！！ A O D E H 2.5m 3.0m 2.0m 1.5m C(x、y) 为简便计，建立如图所示的坐标系. 设杆的线密度为ρ. 质点组的质心与重心

28 例题8 如图，有一挖了一圆孔的匀质薄圆板，求其质心。
例题8 如图，有一挖了一圆孔的匀质薄圆板，求其质心。 解： 由对称性分析可知，所求的质心必在O、O1的连线上。 R 建立如图所示的坐标系. r x O1 O O2 设想将挖去的部分填补上，将有孔的圆板还原为完整的圆板。 则（质心在O1 的小圆板+质心在O2的有孔的圆板）系 统的质心在O点。质心O的坐标为 即 解得 题后总结 此种求质心的方法称为填补法：将不规则的形状填补为规则的形状,从而便于求得形状不规则物体的质心。这种处理问题的思想在物理学其他方面也有应用。 质点组的质心与重心

29 质点组（或刚体）各部分的重力的合力的作用点C。
(二）重心 1、重心的概念 G C 质点组（或刚体）各部分的重力的合力的作用点C。 G1 G2 G3 G4 G5 2、重心的计算 一般而言，质点组（或刚体）各部分的重力是平行 力，所以求重心就是求同向平行力的合力的作用点。 （1）各部分重力作用点在一条支线上 各部分重力的合力 F 设想在该直线上另加一力F使质点组（或刚体）处于平衡。 建立一维坐标系， x2 xc x O x1 x3 xi GC C G1 G2 G3 Gi 所以 （2）一般情况下重心的计算（推导过程略） 质点组的质心与重心

30 在各部分重力为平行力的一般情况下，重心与质心位置是重合的。 研究地球上一对超级大哑铃的重心与质心位置！？
总结 在各部分重力为平行力的一般情况下，重心与质心位置是重合的。 想一想 在引力为零的地方，物体的重心在何处？？质心在何处？？ 3、重心和质心的区别 （1）是两个完全不同的概念 （2）在各部分重力非平行时， 二者的位置并不重合。 m 已经不算 大的地球 已经不算小的物体 想一想 研究地球上一对超级大哑铃的重心与质心位置！？ 质点组的质心与重心

31 注意 五、摩擦力 （一）摩擦力的方向判定 应以物体间相互接触的部位为研究对象，研究其相对运动情况。这在物体各部位运动情况不同时尤应如此。 v
f f 1、用力蹬自行车时前、 后车轮受的摩擦（滑动 或静摩擦） 2、将未转动的轮子向前抛向 粗糙的地面时轮子受的摩擦 （滑动或静摩擦） 3、将转动着的轮子放在粗 糙地面上时轮子受的摩擦 （滑动摩擦） 摩擦力

32 例题9、A、B为两个半径均为r的圆柱形滚筒，两筒的轴线相互平行且在同一水平
面上，两筒轴线的间距为a，两筒各自以角速度ω反向匀速转动。半径为R、质量为m 的圆柱体C置于两圆柱滚筒上。设滚筒与圆柱间的摩擦系数为μ，问需要多大的力F 才 能推着圆柱体以速度v0匀速向内移动？ 解： 研究滚筒对圆柱C的摩擦作用。 α N 知需加外力大小为 据圆柱水平轴向受力平衡， f⊥ C ω ω 而 A B mg 所以 ① f∥ f⊥ v∥=v0 由圆柱体在竖直方向受力平衡有 f θ v v⊥=rω F 摩擦力

33 ① N N f⊥ C f⊥ α ω ω 有几何关系 mg A B a 所以有 f⊥ v∥=v0 f θ v f∥ v⊥=rω ② F
摩擦力

34 最大静摩擦力fm和正压力N 的合力与正压力N 夹角。
（二）静摩擦角 全反力 1、静摩擦角的概念 N f R （1）定义： （2）几何意义： 最大静摩擦力fm和正压力N 的合力与正压力N 夹角。 fm ( φ0是全反力R与N 的最大夹角。) 注意：φ0的大小仅由两接触面的材料性质所决定 物体静平衡时： （3）静摩擦角概念的应用 Ⅰ、分析自锁现象 θ F θ F θ F 现象：当θ角在一定范围时，无论F多大，物体都能静止。 自锁现象的原因：在这些机械系统中，R与N 的夹角始终小于φ0。 摩擦力

35 Ⅱ、利用静摩擦角解题有时会很方便（但并非总是）
例题10、 如图所示，有一长为l，重为W0匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上， 杆端与墙壁的静摩擦系数为μ。B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端 固定在墙壁的C点。木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ。 （1）求杆能保持平衡时μ与θ应满足的条件; （2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在P点与A点之间的任一点悬挂一重物， 则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏;而在P点与B点之间的任一点悬挂任意 重量的重物，都不能使平衡破坏。求出这一点P与A点的距离。 解： θ A B C W0 （1）杆未挂重物时受力如图 f φ R 你能否确定R的方向？ T 由力的平衡条件及几何关系知 N 既然杆能保持平衡， 所以应有 即 摩擦力

36 重物挂在何处能使 1、R和N的夹角φ＞φ0 2、 R和N的夹角φ≤φ0 如何计算AP = ?
（2）杆挂上重物W时 C D2 W2 重物挂在何处能使 1、R和N的夹角φ＞φ0 2、 R和N的夹角φ≤φ0 D W1 D1 W R W P R T B θ A W W0 作出墙壁和杆间的静摩擦角φ0 =∠BAD。 又作DP⊥ AB， 所得交点P 即为所求。 若重物W挂在P、B之间： 无论W多大，均有φ≤φ0 若重物W挂在P、A之间： 当W足够大时，就能使φ＞φ0 如何计算AP = ? 由几何关系得 由此解得 摩擦力

37 用常规分析法解： 挂上重物W（W可以为零）后，杆受力如图 ① ② ③ 由于杆未滑动，故 ④ ⑤ 由 ①、 ②消去T 得：
C 挂上重物W（W可以为零）后，杆受力如图 T f W N P d ① B θ A ② W0 ③ 由于杆未滑动，故 ④ 由 ①、 ②消去T 得： ⑤ 由 ③、 ⑤消去f 得： ⑥ 将③、⑥代入④得： 按W、W0整理后得： ⑦ 摩擦力

38 按W、W0整理后得： C ⑦ 通过讨论W 和 d 对此式的影响来回答问题： （1）若不挂重物（W=0）： f T B N P θ 则有 A
所以 ⑧ d W0 W （2）在⑧成立时挂重物（W＞0)： 此时⑦式左端 Ⅰ、此时只要⑦式右端的 则无论W多大，⑦式均成立。 于是得 Ⅱ、此时如果⑦式右端的 则当W足够大时，可使⑦不成立。 于是得 综上可知： 摩擦力

39 例题11、人对均匀细杆的一端施力，力的方向垂直于杆。要将杆从地面慢慢地无滑 动地抬到竖直为止，试求杆与地面之间的最小静摩擦系数。
解： 在抬起过程中，杆的受力如图。 只要任何时候 ① 则杆就不会滑动。 F 因为杆被慢慢抬起， 所以在抬起过程中满足 一般的平衡条件。 取过 F 和 G 的作用线的交点0 的垂直屏幕的 直线为轴， 则有 ② 由① 、②消去 f、N 即得： 因为 所以当 有最小值。 摩擦力

40 由 代入 得 用摩擦角方法解： 作出全反力R，如图所示。 要杆不滑动， 即 于是有 题后思考 本例中杆在什么方位最容易滑动？？
F 得 用摩擦角方法解： 作出全反力R，如图所示。 需 要杆不滑动， 即 于是有 题后思考 本例中杆在什么方位最容易滑动？？ 根据以上两例总结用摩擦角解题的思路。 摩擦力