引理15.5：[G;*]为交换群,aG是其中阶最大元,设其阶为n。则任一xG的阶可整除n。

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1 引理15.5：[G;*]为交换群,aG是其中阶最大元,设其阶为n。则任一xG的阶可整除n。
定理15.16:GF(pm)中非零元全体关于乘法构成循环群。 关键证明存在元素，其阶为pm－1。 找元素，阶最大的。

2 定义15.10:循环群[GF(pm)*;*]之生成元称为有限域GF(pm)的本原元。
GF((pm))={0,0=1,,2,,pm-2} 例:找出GF(32)的所有本原元。 不可约多项式x2+1 +1, +2, 2+1, 2+2都是本原元

3 +1是本原元,则其他元素2,, +2,2, 2+1,2+2怎样表示成+1的幂次?
二、本原多项式 定义15.11:设g(x)Zp[x]是m次不可约多项式,当k=pm-1时g(x)|(xk-1),当k<pm-1时g(x)不能整除(xk-1),称g(x)为Zp上的本原多项式。

4 定理15.17:g(x)Zp[x]是不可约的m次多项式,它是本原多项式,当且仅当g(x)的所有根x都是Zp[x]/(g(x))=GF(pm)的本原元。
(1)g(x)是不可约的m次多项式, 所有根都是Zp[x]/(g(x))=GF(pm)的本原元,则是本原多项式 (g(x))+x是g(x)的根,则阶为pm-1 (2)g(x)是本原多项式 g(x)与xt-1有公共零点 习题15.16:f(x)不可约,f(x)与g(x)有公共零点,则f(x)|g(x)

5 例:GF(22)≌Z2[x]/(x2+x+1),证明x2+x+1是Z2上的本原多项式。
(2+)*(2+1)-1+-2+ 例:GF(24)≌Z2[x]/(x4+x+1),证明x4+x+1是Z2上的本原多项式。

6 已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出GF(pn)上的所有本原元？
GF*(pn)中的每个元素可表示为的幂次形式k。 由习题13.19知，k的阶为pn -1当且仅当(k, pn -1)=1，即k为本原元当且仅当(k, pn -1)=1。因此我们就可在,2,pn-1中找出所有的本原元。

7 已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出Zp上所有的n次本原多项式?
1.费尔马小定理: 设p为素数,a为非零整数,且(a,p)=1,则 ap-11 mod p 证明:对任意与p互素的非零整数a, 有[a]pZp*, 因为元素的阶是群的阶的因子, 所以[a]p-1=1, 即ap-1=1modp,

8 2.(x)=xp是GF(pn)的自同构映射.
证明:满足同态等式 一对一 满射:设为生成元,对任意的GF(pn),有=k,取x=kpn-1 , 则(x)=(kpn-1)p= (kpn)= (pn)k =(pn-1 )k= k

9 3.设为本原多项式f(x)的根,则,p,p2, ,pn-1是本原元,且是f(x)的根.
证明:(1)pi是本原元 先证明(pi,pn-1)=1 然后由习题13.19得:pi的阶是pn-1 所以pi是本原元 (2)pi是f(x)的根

10 结论: 1. 为本原多项式f(x)的根,则有 f(x)=(x-)(x-p)(x-p2)(x-pn-1) 2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),求所有n次本原多项式的方法是: (1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后求出GF(pn)中的所有本原元, (2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其他本原多项式. 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的所有根都是本原元,即,它一定是本原多项式.

11 如何判别一个多项式不可约，并没有一个行之有效的方法
1.在无限数域上的不可约多项式问题 复数域上的任何多项式都是可约的。 实数域上任何多项式，根据复根共轭的性质，知道实数域上只有2次不可约多项式。 有理数域，存在任意次不可约多项式。

12 定理1：若n次整系数多项式f(x)∈Z[x]在有理数域Q上可约，则f(x)在整数环Z上一定可约。
定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)：设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。

13 艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2的多项式，不一定就可约。
如x2+3x+2和x2+1，都不满足定理2条件， 前者在有理数域上可约，后者不可约。

14 2.有限域上的不可约多项式 有限域上的不可约多项式，最直观的就是将域上所有n次多项式按次数列成表， 次数小的在前面，大的在后，次数相等的按某种规定排列先后，排在最前面的多项式就是不可约的，把它圈出来， 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就是不可约的， 重复这一过程即可，但当n适当大时，工作量就很大。

15 设f(x)是F(q=pk)上的n次多项式，
如果f(0)=0,则f(x)有因子x,故f(x)可约. 如果f(0)0，若f(x)可约，则f(x)必有次数n/2的不可约因式g(x)。 设g(x)次数为m,因为g(x)是有限域F上的m次不可约多项式，则根据有限域上不可约多项式根域的结论知，g(x)|xqm-1-1,即f(x)与xqm-1-1有次数大于1的公因子。 检验f(x)是否可约，只要考察下列最大公因子： （f(x)，xqi-1-1）,对i=1,2,┅,[n/2],如果这些最大公因子都是1，则f(x)不可约。

16 常用的判断Z2上一个n次多项式是可约的方法有：
1）如果f(x)的常数项为0，除非f(x)=x，否则一定可约。 2）如果f(x)中系数为1的项个数为偶数，则一定可约。 3）如果(f(x),f’(x))1,则一定可约。 4）如果f(x+1)可约，则f(x)一定可约。 5）如果xnf(1/x)可约，则f(x)一定可约。

17 一、基本概念 1.代数系统 运算， SnS的映射称为S上的n元运算 代数系统：一个非空集合S,与一个或若干个定义在S上的运算Q1,…,Qk(k1),就构成了一个代数系统, 表示为 [S;Q1,…,Qk]。 单位元，结合律，交换律，逆元，零元，分配律 同态，同构

18 2.相容 设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b，c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与运算 是相容的，称~为代数系统[S;]的相容等价关系。 3.半群，拟群，群 有关定理 4.元素的阶和群的阶 定义,结论

19 5.子群与陪集 概念,定理,陪集的实质 6.商群与群同态基本定理 7.环的基本概念 环的零元,环的单位元,交换环 在环中讨论元素可逆 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1) 8.特征数 整环的特征数9.子环，理想，商环 9.主理想,主理想环 10.多项式环

20 11.扩域与单扩域 线性空间与域的关系 素域 12.代数元与代数扩域 极小多项式 13.根域 根域的存在性与唯一性(同构意义下) 14.有限域，形式微商 15.本原元与本原多项式

21 二、证明及判别、计算 1.群 元素阶与群的阶 陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的一些结论。 子群，正规子群的验证和证明 设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 H={xG|xe} 对任意的xH，xe=xe=xx-1，因此有 ex-1，所以x-1H， 对任意的x,yH，有xe，ye， 即x-1xy=eye=x-1x，因此有xyxe， 所以xyH 用群同态基本定理证明群同构

22 设环R存在唯一一个右单位元，证明该环一定存在单位元。
2.环 理想,子环的判别 设环R存在唯一一个右单位元，证明该环一定存在单位元。 er为右单位元，对任意的a∈R， (era-a+er)，设法证明(era-a+er)也是右单位元 设A是环R的理想，B是R的子集， B={b|对任意aA, ba=0}，证明：B是环R的理想。 商环中的元素表示 零因子 用环同态基本定理证明环同构 求多项式的逆

23 3.域 扩域,代数元 求 在有理数域上的极小多项式. 4.根域 确定根域,及扩张次数 有限域的根域存在性,唯一性证明方法 重根与形式微商 Zp上n次不可约多项式根域 定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是GF(pn)=Zp()

24 5.本原元与本原多项式 有关定理和结论的证明 GF(pn)的表述,化简 求出所有本原元,本原多项式 已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出GF(pn)上的所有本原元？ GF*(pn)中的每个元素可表示为的幂次形式k。由习题14.19知，k的阶为pn -1当且仅当(k, pn -1)=1，即k为本原元当且仅当(k, pn -1)=1。因此我们就可在,2,pn-1中找出所有的本原元。

25 已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出所有的n次本原多项式?
f(x)=(x-)(x-p)(x-p2)(x-pn-1) 2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),求所有n次本原多项式的方法是: (1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后求出GF(pn)中的所有本原元, (2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其他本原多项式. 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的所有根都是本原元,即,它一定是本原多项式.

26 已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的幂次形式表示
已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项式。 与15互质：1，2，4，7，8，11，13，14 ，2， 4， 7， 8， 11， 13， 14， (x-)(x- 2)(x- 4)(x- 8) (x-7)(x- (7)2)(x- (7)22)(x-(7)23) =(x-7)(x- 14)(x- 13)(x-11)

27 定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)：设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得
(1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约多项式。 p=3

28 基本概念要清楚 熟知的数集上性质 注意按照定义和规则，不能想当然 要有一定的灵活，善于思考

29 考题类型： 判断说明理由； 证明，说明，计算 考试时间：5月8日9:50—11:35 地点：Z2108 占总分40%

30 作业: P 1.已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项式。 2.已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元，并用的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项式。 3.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约多项式。 4.求出Z2上所有5次不可约多项式和本原多项式