12. 1 转动惯量 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体定轴转动微分方程 12

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2 12. 1 转动惯量 12. 2 质点和质点系的动量矩 12. 3 动量矩定理 12. 4 刚体定轴转动微分方程 12
12.1 转动惯量 质点和质点系的动量矩 12.3 动量矩定理 12.4 刚体定轴转动微分方程 12.5 相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程

3 质点系的运动，不仅与作用在质点系上的力有关，还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心和转动惯量都是描述质点系质量分布的特征量。
转动惯量 质点系的运动，不仅与作用在质点系上的力有关，还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心和转动惯量都是描述质点系质量分布的特征量。 刚体对轴 z 的转动惯量 Jz y z x O Mi 若刚体的质量是连续分布，用积分表示： ri xi yi zi 单位：千克·米2（kg·m2）

4 注意： 转动惯量恒为正值 转动惯量由刚体的质量，质量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的 转动惯量与刚体的运动状态无关。 回转半径 ：

5 12.1.2 简单形状均质刚体的转动惯量 （1）均质细直杆： 建立坐标系 则 OA 杆对 z 轴、y 轴的转动惯量： 建立坐标系
简单形状均质刚体的转动惯量 （1）均质细直杆： 建立坐标系 x y O A x l dx 则 OA 杆对 z 轴、y 轴的转动惯量： x y O 建立坐标系 （2）均质矩形薄板： b h y dy 均质矩形薄板对 x 轴的转动惯量： 同理：

6 （3）均质等厚圆盘： x y 建立坐标系 O R r dr 圆盘对 z 轴的转动惯量为： 圆盘质量：

7 定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即：
平行轴定理 定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即： y z x O x z O （y ） 证明： d C 刚体对于 轴的转动惯量为： ri xi yi zi ri Mi

8 质心坐标公式 ： y z x O x z O （y ） d C ri xi yi zi ri Mi

9 例1 复摆由均质细杆及均质圆球刚连而成。细杆质量 m1，圆球质量 m 2 ，半径 r 。试求摆对 O 轴的转动惯量
A l O r 用平行轴公式求均质圆球对 O 轴转动惯量： 摆对 O 轴的转动惯量为两者之和，即：

10 12.2.1 质点的动量矩 质点对固定点 O 的动量矩 记为 ： 单位：牛·米·秒 ( N · m · s )。 对各直角坐标轴之矩为： z
质点的动量矩 质点对固定点 O 的动量矩 记为 ： O x y z M mv MO( mv ) 单位：牛·米·秒 ( N · m · s )。 x y z r 对各直角坐标轴之矩为：

11 质点系的动量矩 质点系对点 O 的动量矩：质点系内各质点对固定点 O 的动量矩的矢量和，用 LO 表示 质点系对各坐标轴动量矩： 质点系对 O 点的动量矩在通过 O 点的任意轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。即：

12 定轴转动刚体对其转轴的动量矩，等于刚体对其转轴的转动惯量与角速度之乘积。
定轴转动刚体的动量矩 z Mi O w ri vi mivi 刚体对 z 轴的动量矩： 定轴转动刚体对其转轴的动量矩，等于刚体对其转轴的转动惯量与角速度之乘积。 Lz 正负号与 w 正负号相同。

13 质点系的动量矩等于各物体动量矩的代数和。
例2 物块 A 、B 的质量分别为 m 1 、m 2 ，均质圆轮( 视为圆盘) 半径 r，质量 m 。绳与轮间无相对滑动，不计绳的质量。图示瞬时 A 块的速度为 v ，试求系统对轴 O 的动量矩。 解：物块 A 、B 与轮组成一质点系 质点系的动量矩等于各物体动量矩的代数和。 w O r A B v 运动学分析： 动量矩计算： = vA vB 系统的动量矩 ：

14 质点的动量矩定理 动量矩定义： ——质点的动量矩定理 投影式：

15 质点系的动量矩定理 质点动量矩定理： ——质点系的动量矩定理 投影式：

16 质点系动量矩守恒定理 质点系的内力不改变质点系的动量矩，只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。 当外力对于某定点 ( 或某定轴 ) 的主矩 ( 或力矩的代数和 ) 等于零时，质点系对于该点 ( 或该轴 ) 的动量矩保持不变，统称为质点系动量矩守恒定理 。

17 例3 高炉运送矿石卷场机，鼓轮半径 R ，质量 m1 ，绕 O 轴转动。小车和矿石总质量 m2 ，力偶矩 M ，鼓轮对转轴的转动惯量 JO ，轨道倾角q。绳的质量和各处摩擦均不计，求小车的加速度 a 。 FOy FOx m1g FN M q O v 解：取小车与鼓轮组成质点系。 以顺时针为正，质点系对 O 轴的动量矩： 外力对 O 轴的矩： 动量矩定理： 沿斜坡向上

18 解：系统所受重力和轴承支反力对 z 轴的矩都等于零
例4 小球 A ，B 以细绳相连，质量均为 m ，其余构件质量不计，忽略摩擦 。系统绕 z 轴转动，初始角速度w0，细绳拉断后，求各杆与铅垂线成q 角时系统的角速度 w。 a z w0 l A B 解：系统所受重力和轴承支反力对 z 轴的矩都等于零 系统对 z 轴的动量矩守恒 A w q B q = 0 时，动量矩为： q ≠ 0时，动量矩为： Lz1 = Lz2 ，得：

19 刚体对转轴 z 的动量矩 ： 由动量矩定理得： ——刚体的定轴转动微分方程 z B FBy FBx a F2 F1 Fn w FAy A
FAx FAz FAy ——刚体的定轴转动微分方程

20 作用于刚体的主动力对轴的矩使刚体的转动状态发生变化
作用于刚体的主动力对轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀速转动； 作用于刚体的主动力对轴的矩的代数和为恒量，则刚体作匀变速转动。 转动惯量越大，转动状态变化越小；转动惯量越小，转动状态变化越大。转动惯量是刚体转动时惯性的度量。 形式相似，求解问题的方法与步骤也相似。应用刚体转动微分方程可以求解有关转动刚体的动力学两类问题。

21 例5 单摆由均质细杆和均质圆盘组成，其质量 m ，质心 C，对转轴 O 的转动惯量为 JO 。求微小摆动的周期。
解：取单摆为研究对象 j 角逆时针转向为正。j 角为正时，重力对点 O 之矩为负。 摆的转动微分方程为 ： FOx FOy C a O j mg j 0 为角振幅，q 为初相位，由运动初始条件确定。 通解为： 周期为：

22 12.5.1 质点系相对质心的动量矩 质点系相对 O 的动量矩： 质点系相对 质心 C 的动量矩： mv z z Mi ri ri y C
质点系相对质心的动量矩 质点系相对 O 的动量矩： mv O x y z C x y z Mi ri ri rC 质点系相对 质心 C 的动量矩：

23 rC O x y z C Mi ri mv 质点系相对固定点 O 的动量矩：

24 质点系相对质心的动量矩 ——质点系对质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。

25 刚体平面运动微分方程 平面运动可以分解为随质心的平动和绕质心轴 的转动。 随质心 C 的平动由质心运动定理确定；绕质心轴 C z 相对转动由相对于质心的动量矩定理确定。 前一式投影到 x ，y 轴上，后一式投影到 C z 轴上： —— 刚体平面运动微分方程

26 例6 均质圆柱体重量 G ，半径 r 。无初速地放在倾角q 的斜面上。试确定当圆柱体在斜面上作纯滚时的摩擦因数的范围，并求出作纯滚动时质心 C 的加速度。
x y j C q 解：（1）取圆柱体为研究对象 受力分析。 aC G FN FS D （2）运动分析： 设角加速度 ，质心 C 的加速度 （3）刚体平面运动微分方程：

27 纯滚动的条件是： 讨论：当 时，圆柱体既滚又滑，且 由 FS = fS FN = ，再与原方程组联解。 y j C aC D G FS x
q aC G FN FS D 纯滚动的条件是： 讨论：当 时，圆柱体既滚又滑，且 由 FS = fS FN = ，再与原方程组联解。

28 例7 均质圆轮半径 r ，质量 m ，受到轻微扰动后，在半径为 R 的圆弧上往复滚动。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心 C 的运动规律。
解：（1）取圆轮为研究对象 受力分析 O （＋） q （2）列平面运动微分方程 设 q 逆时针为正 mg FN FS 圆轮纯滚动，角加速度： 取质心的弧坐标，O 为弧坐标原点

29 R C r O （＋） q 自然轴系上投影： mg FN FS 令：

30 R C r O （＋） q 通解： 初始条件： t = 0 时：S = 0，初速度为 v 0 mg FN FS 质心沿轨迹的运动方程

31 R C r 圆轮滚动时对地面的压力 FN ： O （＋） q mg FN FS 第一项为附加动压力，其中：

32 The End