因數的世界 因數、公因數與最大公因數 朱曉萍編製.

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1 因數的世界 因數、公因數與最大公因數 朱曉萍編製

2 因數 1 2 3 6 ∴6的因數有 意義：乙數整除甲數時，則乙數是甲數的因數。 範例：甲數÷乙數＝丙數……0（甲乙丙數皆為整數）
6÷1＝6…0 1是6的因數 ∴6的因數有 6÷2＝3…0 2是6的因數 ＊找因數的方式：a.由小到大 b.可「成對」尋找（∴過整數的ㄧ半後，即可省略後面的程序）。 ＊甲數÷乙數＝丙數 甲數÷丙數＝乙數（甲數＝乙數×丙數） ∴乙數＆丙數皆為甲數的因數（以上甲乙丙數皆為整數） ＊配合作業單ㄧ 6÷3＝2…0 3是6的因數 1 2 3 6 6÷4＝1…2 4不是6的因數 6÷5＝1…1 5不是6的因數 6÷6＝1…0 6是6的因數 作業單一

3 質數 意義：一個整數，除了 1 和 外，不再含有其他的因數， 像這一類的整數我們就稱為質數。 範例： → 1 的因數有： 1 不是 質數 →
它本身 外，不再含有其他的因數， 像這一類的整數我們就稱為質數。 範例： → 1 的因數有： 1 不是 質數 → 是 質數 2 的因數有： 1、 2 ＊一個整數，除了1和它本身以外，還含有其他的因數，我們就稱這一類的整數為合數。 ＊配合作業單ㄧ → 是 質數 3 的因數有： 1、 3 → 不是 質數 是合數 4 的因數有： 1、 2、 4 → 是 質數 5 的因數有： 1、 5 作業單一

4 質數 動動腦 7、 11、 13、 17、 19 2 除了 2、 3、 5 外，20以內還有哪些質數呢？ 想好答案了嗎？ 還有 你答對了嗎？
＊配合作業單ㄧ 你答對了嗎？ 要記起來喔！ 2 ps.在所有質數中唯一的偶數是 作業單一

5 質因數 意義：如果一個整數的因數是一個質數，我們就稱這個因數是這 個整數的質因數。 範例： 12的因數有：1、2、3、4、6、12
＊配合作業單ㄧ 其中為質數的有 2、 3 ∵2、3既是12的因數， 又是質數， ∴2、3就是12的 質因數 作業單一

6 質因數 動動腦 請問30的質因數有哪些？ 第ㄧ步驟： 列 出30的所有因數 30的因數有：1、2、3、5、6、10、15、30 第二步驟：
＊配合作業單ㄧ 第二步驟： 從30的因數中找出屬於質數的數 30的因數中的質數有：2、3、5 ∴30的質因數有： 2、 3、 5 作業單一 發現了嗎？ 2 × 3 × 5 ＝？

7 質因數分解 84 4 21 2 2 3 7 84＝2 × 2 × 3 × 7 意義：將ㄧ個整數表成兩個或兩個以上質數的連乘積時，就稱
將此整數 質因數分解。 例ㄧ：（方法一） 84 4、21不是質數，繼續分解 ＊配合作業單ㄧ 4 21 2、3、7是質數，停止分解 2 2 3 7 84＝2 × 2 × 3 × 7 作業單一

8 質因數分解 2 84 2 42 2 3 21 2 7 3 7 84＝2 × 2 × 3 × 7 84 42 21 例ㄧ：（方法二：短除法）
＊配合作業單ㄧ 3 21 21 2 7 3 7 84＝2 × 2 × 3 × 7 作業單一

9 質因數分解 例二： 請完成下列各數的「質因數分解」： 6＝ 2 × 3 12＝ 2 × 2 × 3 ＊配合作業單ㄧ 15＝ 3 × 5 60＝ 2 × 2 × 3 × 5 72＝ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 作業單一

10 標準分解式 2 ×3 ×5 2 ×3 意義：ㄧ個數經質因數分解後，將較小的質因數寫在前面，較大
的質因數寫在後面，遇有相同的質因數連乘時，就以指數 記法來表示，此稱為 標準分解式。　 範例： 2 2 ×3 ×5 60＝ 2×2×3×5＝ ＊配合作業單二 3 2 2 ×3 72＝ 2×2×2×3×3＝ 質因數分解 標準分解式 作業單二

11 公因數 意義：一個整數同時是某幾個整數（2個或2個以上）的因數，則 此整數稱為這某幾個整數的 公因數。 例ㄧ： 8和20的公因數有哪些？
8的因數有： 1、 2、 4、 8 ＊配合作業單二 20的因數有： 1、 2、 4、 5、 10、 20 8和20的公因數有： 1、 2、 4 作業單二

12 公因數 例二： 14和35的公因數有哪些？ 14的因數有： 1、 2、 7、 14 35的因數有： 1、 5、 7、 35
14和35的公因數有： 1、 7 ＊配合作業單二 例三： 24和36的公因數有哪些？ 24的因數有： 1、 2、 3、 4、 6、 8、 12、 24 36的因數有： 1、 2、 3、 4、 6、 9、 12、 18、 36 24和36的公因數有： 1、 2、 3、 4、 6、 12 作業單二

13 最大公因數-表列法 4、 4、 4 4 意義：兩個整數（或兩個以上）的公因數中，其中最大者即為 最大公因數。 例ㄧ：
12和16的最大公因數為何？ 4、 12的因數有： 1、 2、 3、 6、 12、 ＊a與b的最大公因數可用（a,b）＝c表示之（a、b、c皆為整數） ＊配合作業單二 4、 16的因數有： 1、 2、 8、 16、 4 12和16的公因數有： 1、 2、 4 12和16的最大公因數為： 作業單二

14 最大公因數-表列法 1 互質 例二： 8和15的最大公因數為何？ 8的因數有： 1、 2、 4、 8 15的因數有： 1、 3、 5、 15
8和15的公因數有： 1 ＊配合作業單二 1 12和16的最大公因數為： 互質 ps.當兩數的最大公因數等於1時，我們稱這兩數 作業單二

15 最大公因數-質因數分解法 動動腦 作業單二 60的質因數分解為： 60＝2×2×3×5 60＝2 × 2 × 3 × 5＝ 1 × 60
對對看： 60的因數有：1、2、3、4、5、6、10、 12、15、20、30、60、 60＝2 × 2 × 3 × 5＝ 2 × 30 ＊「由小至大」依序組合，較不會有疏漏。 ＊「6」之後的7、8、9皆不是60的因數，「10」則是60的因數，但已有重覆，所以不須再繼續組合。 ＊配合作業單二 60＝3 × 2 × 2 × 5＝ 3 × 20 60＝2 × 2 × 3 × 5＝ 4 × 15 ps.ㄧ個數分解為質因數連乘積時 ，其中任何質因數（包含相同 的質因數）的乘積也是這個數 的因數。 60＝5 × 2 × 2 × 3＝ 5 × 12 60＝2 × 3 × 2 × 5＝ 6 × 10

16 最大公因數-質因數分解法 12 × 2 12 × 3 （2 × 2 × 3）× 2 ＝ （2 × 2 × 3）× 3 ＝ 例ㄧ：
請以「質因數分解法」求24和36的最大公因數？ 12 × 2 24＝2 × 2 × 2 × 3＝ （2 × 2 × 3）× 2 ＝ 12 × 3 36＝2 × 2 × 3 × 3＝ （2 × 2 × 3）× 3 ＝ ∵（2 × 2 × 3）是24的因數， 也是36的因數 ＊配合作業單二 ∴（2 × 2 × 3）是24和36的公因數，且剩下的因數2與3是互質的 ∴（2 × 2 × 3）是24和36的最大公因數 ∴（24 ,36）＝2 × 2 × 3＝12 作業單二

17 最大公因數-質因數分解法 15 × 2 15 × 5 （3 × 5）× 2 ＝ （3 × 5）× 5 ＝ 例二：
請以「質因數分解」法求30和75的最大公因數？ 30＝2 × 3 × 5＝ （3 × 5）× 2 ＝ 15 × 2 75＝3 × 5 × 5＝ （3 × 5）× 5 ＝ 15 × 5 ∵（2 , 5）＝1 ＊配合作業單二 ∴（30 ,75）＝3 × 5＝15 學會了嗎？是不是比「表列法」簡單呢？ 繼續加油吧！ 作業單二

18 最大公因數-短除法 3 30 , 75 5 10 25 2 5 例ㄧ： 請以「短除法」求30和75的最大公因數？ 30＝3 × 5 × 2
75＝3 × 5 × 5 5 10 25 ＊配合作業單二 2 5 ∵（2 , 5）＝1 ∴（30 , 75）＝3 × 5＝15 作業單二

19 最大公因數-短除法 2 28 , 70 7 14 35 2 5 例二： 請以「短除法」求28和70的最大公因數？ 28＝2 × 7 × 2
70＝2 × 7 × 5 7 14 35 ＊配合作業單二 2 5 ∵（2 , 5）＝1 ∴（28 , 70）＝2 × 7＝14 作業單二

20 最大公因數-短除法 例三： 請以「短除法」求120和200的最大公因數？ 2 120 ,200 ∵（3 , 5）＝1 ∴（120 , 200） ＝2 × 2 × 2 × 5 2 60 100 2 30 50 ＊加入「標準分解式」的概念 ＊配合作業單二 3 ＝2 5 × 15 25 5 ＝8 × 5 3 5 ＝40 作業單二

21 最大公因數-應用篇 例ㄧ： 若紅玫瑰花有30朵，白玫瑰花有42朵，請問最多可以分成幾束花束？使每束的白玫瑰及紅玫瑰花朵數目是ㄧ樣的。又每束花束共有幾朵玫瑰花？ 2 30 , 42 ∴最多可分成6束花束， 3 15 21 每束花束共有12朵玫瑰花 （5＋7＝12） ＊配合作業三 5 7 ∵（5 , 7）＝1 ∴（30 , 42）＝2 × 3＝6 作業單三

22 最大公因數-應用篇 例二： 若5元硬幣有72個，10元硬幣有120個，請問最多可以分給幾個人？使每個人得到的5元硬幣及10元硬幣數目是ㄧ樣的。又每個人共得到多少元？ 2 72 ,120 ∵（3 , 5）＝1 3 ∴（72 , 120）＝2 × 3 ＝24 2 36 60 ＊加入「標準分解式」的概念 ＊配合作業三 2 18 30 ∴最多可分給24個人， 每個人可得到65元 （5×3＋10×5＝65） 3 9 15 3 5 作業單三

23 進階-求2個整數以上的最大公因數 表列法 10、 10、 10、 10 10 範例：求最大公因數（20、30、50）＝？ 20的因數有：
1、 2、 4、 5、 20 ＊配合作業三 10、 30的因數有： 1、 2、 3、 5、 6、 15、 30 10、 50的因數有： 1、 2、 5、 25、 50 10 20、30和50的公因數有： 1、 2、 5、 10 作業單三 20、30和50的最大公因數為：

24 進階-求2個整數以上的最大公因數 質因數分解法 10 × 2 10 × 3 10 × 5 （2 × 5）× 2 ＝ （2 × 5）× 3 ＝
20＝2 × 2 × 5＝ （2 × 5）× 2 ＝ 30＝2 × 3 × 5＝ （2 × 5）× 3 ＝ 10 × 3 ＊配合作業三 50＝2 × 5 × 5＝ （2 × 5）× 5 ＝ 10 × 5 ∵（2 ,3 ,5）＝1 ∴（20 ,30 ,50）＝2 × 5＝10 作業單三

25 進階-求2個整數以上的最大公因數 短除法 2 20 ,30 ,50 5 10 15 25 ＊配合作業三 2 3 5 ∵（2 ,3 ,5）＝1 ∴（20 ,30 ,50）＝2 × 5＝10 作業單三

26 重點回顧 想一想，說ㄧ說 表列法 質因數分解法 短除法 ＊「最大公因數」的求法？ ＊何謂「因數」？ ＊何謂「質數」？ ＊何謂「質因數」？
＊何謂「質因數分解」？ 短除法 ＊何謂「標準分解式」？ ＊「公因數」＆「最大公因數」？