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第2课时 导数的运算法则
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cos x -sin x 基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)=c(c为常数),则f′(x)= ;
(2)若f(x)=xa(a∈Q*),则f′(x)= ; (3)若f(x)=sin x,则f′(x)= ; (4)若f(x)=cos x,则f′(x)= ________; axa-1 cos x -sin x
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(5)若f(x)=ax,则f′(x)= ; (6)若f(x)=ex,则f′(x)= ; (7)若f(x)=logax,则f′(x)= ; (8)若f(x)=ln x,则f′(x)= . axln a ex
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观察下图你能作出判断吗? h(x) = f(x) g(x) 求导 求导 + ? = 本节课我们就主要解决这一问题
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1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.(重点)
2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导 问题. (难点) 3.运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导. (难点)
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探究点1 导数的运算法则: 法则1: 两个函数和(差)的导数,等于这两个函数导数的和(差),即 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:
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由法则2: 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:
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例1 求函数y=x3-2x+3的导数. 解:y=(x3-2x+3)=(x3)-(2x)+(3)=3x2-2 所以,所求函数的导数是y=3x2-2
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【变式训练】 求下列函数的导数: 答案:
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【总结提升】 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附 近变化的快慢.由上述计算可知 它 表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯 净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明,水 的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用 增加的速度也越快.
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探究点2 复合函数的求导法则 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变
探究点2 复合函数的求导法则 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变 量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y= f(u)和u=g(x)的___________,记作y=f(g(x)). 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导 数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于 ____________与_____________的乘积. 复合函数 y对u的导数 u对x的导数
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例3 求下列函数的导数:
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【总结提升】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤: 1. 分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量; 2
【总结提升】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤: 1.分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量; 2.求每一层基本初等函数的导数; 3.每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
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B 1.若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数, 且f(x),g(x)满足f (x)=g (x),则f(x)与g(x)
满足( ) A.f(x)=g(x) B.f(x)-g(x)为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数 B
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2.函数 y=sinx(cosx+1)的导数为______________.
y=cos2x+cosx 3.曲线y=x3+x2+l在点P(-1,1)处的切线方程 为 y=x+2
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4.求下列函数的导数: 答案:
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6.已知抛物线y=x2+bx+c在点(1,2)处与直线y=x+1相切,求b,c的值.
解:令f(x)= x2+bx+c,则f´(x)=2x+b 又因为点(1,2)在抛物线上 所以
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7.如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程.
当 x0=1 时, y0=-8;当 x0=-1 时, y0=-12. 所以 切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
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8.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=
-4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即 t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解 得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
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1.求导法则 注意:
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2.复合函数的导数
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3.函数求导的基本步骤: (1)分析函数的结构和特征; (2)选择恰当的求导法则和导数公式; (3)整理得到结果.
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书山有路勤为径,学海无涯苦作舟.
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