第四章 立体的截切与相贯 基本体的截切 两基本体相交.

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1 第四章 立体的截切与相贯 基本体的截切 两基本体相交

2 立体的截切与相贯 截切的基本概念 §4.1 平面体的截切 §4.2 曲面体的截切 §4.3 平面体与平面体相贯 §4.4 平面体与曲面体相贯
§4.5 曲面体与曲面体相贯

3 截切的基本概念 截平面 截平面 截交面 截交面 截面 截面 (1) 封闭性 (2) 共有性

4 §4.1 平面体的截切 一、单一平面截切平面体 二、多个平面截切平面体 三、例题—棱锥的截交线

5 一、单一平面截切平面体 1. 截交线的形状分析 2. 求截交线的方法 3. 求截交线的步骤

6 1. 截交线的形状分析 (1) 若干段直线段组成封闭的平面多边形; 平面多边形的每一个顶点是平面立体的棱线（边线)与截平面的交点;
一般为封闭的平面多边形 是截平面与立体表面的共有线 A (1) 若干段直线段组成封闭的平面多边形; 平面多边形的每一个顶点是平面立体的棱线（边线)与截平面的交点; 平面多边形的每一条边

7 2. 求截交线的方法 （1）交点法 （2）交线法

8 3. 求截交线的步骤 截平面和立体及他们与投影面的相对位置，确定截交线的形状，找出截交线的积聚投影。 2. 求棱线与截平面的交点
3. 连接各交点，并判别截交线的可见性

9 棱柱的截交线

10 二、多个平面截切平面体 1. 截平面数量—截平面之间的交线 2. 截平面的位置—截交线的性质 3. 求截交线

11 例题—棱锥的截交线

12 [例题1] 求截顶四棱锥的投影 c' c" d" b" b' (d') a' a" b a c d

13 [例题2] 求四棱锥截切后的投影 g' g" h'(f') h" f" a' b'(e') c'(d') b" e" a" c" d" b

14 [例题3] 求四棱锥截切后的投影 1' 2' 1"(2") 1 2

15 [例题4] 求四棱锥截切后的投影 1" 1' 2' 3' 3" 2" 3 2 1

16 §4.2 曲面体的截切 一、基本概念 二、圆柱体的截交线 三、圆锥体的截交线 四、圆球体的截交线

17 一、基本概念 1. 截交线形状分析 2. 求截交线的方法 3. 求截交线的一般步骤

18 1. 截交线形状分析 封闭的平面曲线（直线、直线和曲线） 截交线是截平面与曲面立体的共有线 共有点----表面定点

19 2. 求截交线的方法 共有点----曲面体表面的某条线（素线和纬圆）与截平面的交点。 特殊点 一般点

20 3. 求截交线的一般步骤 （1）分析截平面与曲面体的相对位置及投影特点，截交线形状，截交线有无积聚投影。 （2）求截交线上的特殊点和一般点
（3）顺次光滑连接各点并判别可见性

21 二、圆柱体的截交线 1. 平面与圆柱相交所得截交线形状 2. 求圆柱截交线上点的方法 3. 例题

22 1. 平面与圆柱相交所得截交线形状

23 2. 求圆柱截交线上点的方法 表面取点法 在圆柱表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；
当圆柱的轴线处于特殊位置时，可利用圆柱的积聚性投影直接求得截交线上点的投影。

24 3. 例题

25 [例题1] 求圆柱截交线 解题步骤 （1）分析: 截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆； 1' 1" 2'3' 2" 3" 1 3 2 （2）求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ； 4'5' 5" 4" 5 4 （3）求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ； 6'7' 6" 7" （4）光滑且顺次地连接各点，完成截交线的投影，并且判别可见性； （5）整理轮廓线。 7 6 8' 8" 8

26 [例题2] 求圆柱截交线

27 [例题3] 求圆柱截交线

28 三、圆锥体的截交线 1. 平面与圆锥相交所得截交线形状 2. 求圆锥截交线上点的方法 3. 例题

29 1. 平面与圆锥相交所得截交线形状

30 2. 求圆锥截交线上点的方法 求圆锥截交线上点的方法为： (1) 素线法 在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；
(1) 素线法 在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点； (2) 纬圆法 在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。

31 [例题] 求截顶圆锥的投影 a'' a' (2')1' (d')c' d'' 1'' 2'' c'' (f')e' (e'') (f'')
[例题] 求截顶圆锥的投影 解题步骤 （1）分析 截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的正面投影为直线，水平投影和侧面投影均为椭圆； a'' a' (2')1' （2）求出截交线上的特殊点A、B、C、D、E、F ； (d')c' d'' 1'' 2'' c'' (f')e' (e'') (f'') (4')3' (4'') (3'') （3）求出一般点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； b' (b'') （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线的投影，并且判别可见性； （5）整理轮廓线。 4 3 c d e f 2 1 a b

32 [例题] 求截顶圆锥的投影

33 四、圆球体的截交线 1. 平面与圆球相交所得截交线形状 2. 求圆球截交线上点的方法 3. 例题

34 1. 平面与圆球相交所得截交线形状

35 2. 求圆球截交线上点的方法 纬圆法 在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点.

36 3. 圆球截交线例题

37 [例题1] 切割平面为水平面时,圆球的截交线

38 [例题2] 求圆球的截交线 2' 解题步骤 1．分析 截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ； 3．求出若干个一般点A、B、C、D； 4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。 c'd' 2 2" c" d" 7' 8' 7" 8" 3'4' 3" 4" 5'6' 3 4 5" 6" 5 6 a'b' a" b" 1' b a 1 1" 7 8 c d

39 [例题3] 求圆球的截交线 b' a' a"(b") c" (c') c a b

40 §4.3 平面体与平面体相贯 一、相贯线的特点 二、求相贯线的方法 三、求相贯线的步骤 四、例题 五、同坡屋面

41 一、相贯线的特点 相贯后的两立体为一整体。 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
两平面立体的相贯线由封闭的空间折线或平面折线组成。 折线的每一段都是甲形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。

42 二、求相贯线的方法 一种是求各侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体同一侧面上的两点，依次连接起来。
另一种是求一形体各侧面与另一形体各侧面的交线。

43 三、求相贯线的步骤 (2) 一平面体的棱线与另一平面体侧棱面交点。 (3)连线 同时位于两立体同一棱面的相邻两点可连线
(1) 分析两立体表面特征及与投影面的相对位置，确定相贯线的形状和特点，相贯线的投影有无积聚性； (2) 一平面体的棱线与另一平面体侧棱面交点。 (3)连线 同时位于两立体同一棱面的相邻两点可连线 一立体位于另一立体内部的部分不必画出 可见性判断 将相贯线的各棱线延长至相贯点

44 四、例题

45 [例题1] 求气窗与坡屋面的交线 c' a' b' d' e' a"(e") b"(d") c" c b d e a

46 [例题2] 求两立体表面的交线 1' 1" 2' 2" 3' 3" 1 2 3

47 五、同坡屋面

48 同坡屋面 (1)屋檐平行的两屋面必交成水平的屋脊线，称平脊，它的H投影必平行于屋檐的H投影，且与两屋檐的H投影等距。

49 同坡屋面 (2)屋檐相交的两屋面，必相交成倾斜的屋脊线或天沟线，称斜脊或天沟，其H投影为两屋檐H投影夹角的平分线。

50 已知同坡屋面四周屋檐的H面投影，各屋面坡度为45o，求作屋面的水平和正面投影。

51 同坡屋面—水平投影 2 3 Ⅱ 12 23 28 Ⅰ Ⅲ m n 38 p 18 4 5 Ⅷ q Ⅳ s t Ⅴ 1 8 Ⅶ Ⅵ 7 6

52 同坡屋面—水平投影和正立投影 m´ n´ q´(p´) r´ s´

53 §4.4 平面体与曲面体相贯 一、平面体与曲面体相贯线的特点及求作方法 二、例题

54 一、平面体与曲面体相贯线的特点及求作方法
相贯线的形状 平面立体与曲面立体相交时，相贯线是由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成。 各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割曲面体所得的截交线。 每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的侧棱与曲面体表面的交点。

55 平面体与曲面体相贯线的特点及求作方法 求相贯线的方法 求平面立体与曲面立体的相贯线，就是求平面与曲面体的截交线和直线与曲面回转体表面的交点。
作图时，先求出这些转折点，再根据求曲面体上截交线的方法，求出每段曲线或直线。

56 二、例题

57 [例题1] 求四棱柱与圆柱的相贯线 (a) a'(b') d'(c') b(c) f(g) a(d) e(h) b'(f') c'(g')
[例题1] 求四棱柱与圆柱的相贯线 a'(b') d'(c') b(c) f(g) a(d) e(h) b'(f') c'(g') a'(e') d'(h') e'(f') h'(g') A D C B F E H G (a)

58 [例题1] 求四棱柱与圆柱的相贯线

59 [例题2] 求四棱柱与圆柱的相贯线 e' f' c' d" c" d' d i" h" a'(g') b' g" a" (b") a b g
[例题2] 求四棱柱与圆柱的相贯线 e' f' c' d" c" d' d i" h" a'(g') b' g" a" (b") a b g e f h i c

60 [例题2] 求四棱柱与圆柱的相贯线

61 §4.5 曲面体与曲面体相贯 1．两曲面体相贯线的特点及求作方法 2．例题 3．两曲面体相贯线的特殊情况

62 一、两曲面体相贯线的特点 1．相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。
2．不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面曲线或直线。

63 二、例题

64 [例题1] 求两柱形屋面的相贯线 a' a" d' e' d"(e") b' c' b"(c') a d e b c

65 [例题2] 求直立圆柱和直立圆锥的相贯线 1' 1" 2' 2" 10' 10" 3' 3" 9' 9" 8' 4' 4" 8" 5" 5' 7' 6' 7 6" 9 10 1 6 8 2 3 7 4 5

66 [例题2] 求直立圆柱和直立圆锥的相贯线

67 [例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线
[例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线

68 [例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线
[例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线 1 1' 1" 2' 2" 2 PW PV 4" 4' QV QW 3" y RV RW 5" 3' 5' 3 5 y 4

69 [例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线
[例题3] 用辅助平面法求圆柱与圆锥的相贯线

70 [例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线
[例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线

71 [例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线
[例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线 PV 解题步骤 1．分析 相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点； QW2 QV 1" 1 2' 1' 2" 2 4' y 4" 3' RW RV 3" 5' 5" 2．求出相贯线上特殊点Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ； 3．求出若干个一般点Ⅳ 、Ⅴ； 3 5 4 y 4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性； 5．整理轮廓素线。

72 [例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线
[例题4] 用辅助平面法求圆球与圆锥的相贯线 解题步骤 1．分析 相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点； 2．求出相贯线上特殊点Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ； 4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性； 5．整理轮廓素线。 3．求出若干个一般点Ⅳ 、Ⅴ；

73 三、两曲面体相贯线的特殊情况 1. 外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆。
当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此两椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线。 2. 两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆，并且该圆垂直于公共轴线。 当公共轴线处于投影面垂直位置时，相贯线有一个投影反映圆的实形，其余投影积聚为直线。

74 1. 外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆。

75 2. 当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆

76 本章结束