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概率论与数理统计 2019/5/11 1
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第一章 概率论的基本概念 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性 2
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§1 随机试验 自然界与社会生活中的两类现象 确定性现象 不确定性现象 确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定 3
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例： 向上抛出的物体会掉落到地上（确定） 打靶，击中靶心（不确定） 买了彩票会中奖（不确定） 4
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概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的学科。
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对随机现象的观察、记录、实验统称为随机试验。它具有以下特性：
可以在相同条件下重复进行； 事先知道所有可能出现的结果； 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生。 7
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例： 抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记； 8
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§2 样本空间·随机事件 (一)样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}，
§2 样本空间·随机事件 (一)样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}， 称S中的元素e为样本点，一个元素的单点集称为基本事件． 9
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例： 一枚硬币抛一次 记录一城市一日中发生交通事故次数 记录一批产品的寿命x 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y 10
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S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b } S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 11
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一般我们称S的子集A为E的随机事件A，简称事件A.当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。
(二) 随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件A，简称事件A.当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 12
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事件A是相应的样本空间S的一个子集，其关系可用维恩(Venn)图来表示；
随机事件有如下特征： 事件A是相应的样本空间S的一个子集，其关系可用维恩(Venn)图来表示； 事件A发生当且仅当A中的某一个样本点出现； 事件A的表示可用集合，也可用语言来表示。 13
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例：观察89路公交车浙大站候车人数。 S={0,1,2,…}； A={至少有10人候车}={10,11,12,…} S，A为随机事件，
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由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。 记Φ为空集，不包含任何样本点, 则每次试验Φ都不发生, 称Φ为不可能事件。 15
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(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等） 16
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例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点数奇偶性不同} ，则 17
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事件的运算 A与B的和事件，记为 S B A 18
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事件的运算 A与B的积事件，记为 S A B 19
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当AB= Φ时，称事件A与B是互不相容的，或互斥的.
S B A 20
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S 21
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S A B 22
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“和”、“交”关系式——德摩根定律 23
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{甲、乙至少有一人来} {甲、乙都来} {甲、乙都不来} {甲、乙至少有一人不来}
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听 课 } ，则： {甲、乙至少有一人来} {甲、乙都来} {甲、乙都不来} {甲、乙至少有一人不来} 24
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概率中常有以下定义：由n个元件组成的系统，其中一个损坏，则系统就损坏，此时这一系统称为“串联系统”；若有一个不损坏，则系统不损坏，此时这一系统称为“并联系统”。
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例： 由n个部件组成的系统，记 串联系统： 并联系统： 26
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§3 频率与概率 (一)频率 定义：记 其中 —A发生的次数(频数)； n—总试验次数。称 为A在这n次试验中发生的频率。 27
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例： 中国男子国家足球队，“冲出亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，在这n次试验中“冲出亚洲”这事件发生的频率为 28
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某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
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频率的性质： 30
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例：抛硬币出现的正面的频率 试验 序号 n =5 n =50 n =500 nH fn(H) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.4 0.6 0.2 1.0 0.8 22 25 21 24 18 27 31 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 0.62 251 249 256 253 246 244 258 262 247 0.502 0.498 0.512 0.506 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
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实验者 n nH fn(H) 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲 丰 4040 0.5069 K·皮尔逊 12000 6019
0.5016 24000 12012 0.5005 32
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频率的重要性质： 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p 33
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(二) 概率 定义1： 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义2：将概率视为测度，且满足： 称P(A)为事件A的概率。 34
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性质： 35
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S A B 37
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例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率均为0.4，其中至少有两人参加的概率为0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至少有一人参加的概率。
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解：设A, B, C分别表示甲, 乙, 丙参加，由条件知 P(A) = P(B) =P(C) = 0.4,
P(AB ∪ AC ∪ BC) = 0.3, P(ABC) = 0.05. 43
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由0.3＝P(AB ∪ AC ∪ BC) = P(AB) + P(AC) + P(BC) −2P(ABC),
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= P(A) + P(B) + P(C) -P(AB) - P(AC) - P(BC)+ P(ABC) = 0.85.
因此， P(甲乙丙至少有一人参加） = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) -P(AB) - P(AC) - P(BC)+ P(ABC) = 0.85. 45
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§4 等可能概型（古典概型） 定义：若试验E满足： 称这种试验为等可能概型(或古典概型)。 S中样本点有限(有限性)
出现每一样本点的概率相等(等可能性) 称这种试验为等可能概型(或古典概型)。 46
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例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红球 }，求P(A)． （2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一红一黄}，求P(B)． 47
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解：(1) 48
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例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
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（注：当L>m 或 L<0时，记 ）
解： （注：当L>m 或 L<0时，记 ） 50
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例3：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)．
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应用（生日问题）在一个n（≤365）人的班级里，至少有两人生日相同的概率是多少？
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解： 54
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例4: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。求第k次摸到红球的概率。
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解1： 与k无关 57
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解2：视哪几次摸到红球为一样本点 每点出现的概率相等 58
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解3：将第k次摸到的球号作为一样本点,由对称性，取到各球的概率相等
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例5：（配对问题）一个小班有n个同学，编号为1, 2, …, n号，中秋节前每人准备一件礼物，相应编号为1, 2, … ,n。将所有礼物集中放在一起，然后每个同学随机取一件，求没有人拿到自己礼物的概率。 60
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解：设 表示第i人拿到自己的礼物，i=1,2,…,n， A表示至少有一人拿到自己的礼物。
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人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。
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例6：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?
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解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为
212/712 = 66
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现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此，有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。
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§5 条件概率 例：一个家庭中有两个小孩，已知至少一个是女孩，问两个都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的）
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解： 由题意，样本空间为 表示事件“ 至少有一个是女孩”， 69
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由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一种， 所以有
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这里 在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那么事件发生的概率为
其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原来的 缩减为 ，而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的
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记A={取到一件合格品}， B={取到一件优质品}。 则 P(A)=90% 而P(B)=85.5%
例：有一批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为优质品，从中任取一件， 记A={取到一件合格品}， B={取到一件优质品}。 则 P(A)=90% 而P(B)=85.5%
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由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S常常省略而已，P(A)也可视为条件概率。
P(A)=0.90 是将整批产品记作1时A的测度 P(B|A)=0.95 是将合格品记作1时B的测度 由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S常常省略而已，P(A)也可视为条件概率。 73
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分析： 若记 ，则应有 解得： B A S 74
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一、条件概率 75
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一、P(B|A)应具有概率的所有性质。 例如： 76
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二、乘法公式 当下面的条件概率都有意义时： 77
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例：一盒中有5个红球，4个白球，采用不放回抽样，每次取一个，取4次，（1）已知前两次中有一次取到红球，求前两次中恰有一次取到红球的概率；（2）已知第4次取到红球，求第1，2次也取到红球的概率。
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解：Ai表示第i次取到红球，i=1,2,3,4，B表示前两次中有一次取到红球，C表示前两次中恰有一次取到红球的概率。
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例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产品的报废率。
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解：设 A={生产的产品要报废} B={生产的产品要调试} 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2， 84
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例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人. 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如
例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。 85
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解：设 Ai={ 这人第i次通过考核 }， i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }， 86
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亦可： 88
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三、全概率公式与Bayes公式 定义：称B1,B2,…,Bn为S的一个划分若： B1 B2 Bn S 89
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定理： 设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n；则称： 为全概率公式 A B1 B2 Bn
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证明 注：在运用全概率公式时，一个关键是构造一组合适的划分。 91
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定理：接上面全概率公式的条件，且P(A)>0,则
称此式为Bayes公式。 93
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例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为70%，若甲出差，则乙出差的概率为10%；若甲不出差，则乙出差的概率为60%。
(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 94
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解：设A={甲出差}，B={乙出差} 95
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例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：
若设A={试验反应是阳性}， C={被诊断患有癌症} 则有： 已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？ 96
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若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。
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§6 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件次品。从中取2次,每次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2 不放回抽样时，
§6 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件次品。从中取2次,每次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2 不放回抽样时， 放回抽样时， 99
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即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响。同样，A2的发生对A1的发生概率不影响。
100
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定义：设A，B为两随机事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称A，B 相互独立. 若 ，
P(AB)=P(A)P(B)等价于P(B|A)=P(B)， P(AB)=P(A)P(B)也等价于P(A|B)=P(A). 101
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定义： 103
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2°实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，而是由实际情形来判断其独立性。
注意： 2°实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，而是由实际情形来判断其独立性。 107
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n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： , p(A)=p, 0<p<1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。
在相同条件下 重复进行 即每次试验结果 互不影响 108
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例：有5个独立元件构成的系统(如图1)，设每个元件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的概率。
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例：一袋中有编号为1,2,3,4共4个球，采用放回抽样，每次取一球，共取2次，记录号码之和，这样独立重复进行试验，求“和等于3”出现在“和等于5”之前的概率。
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解：设A表示“和等于3”出现在“和等于5”之前，
B表示第一次号码之和为3， C表示第一次号码之和为5， D表示第一次号码之和既不为3也不为5。 118
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在第一次和不等于3或5的情况下求A的条件概率，相当于重新考虑A的概率。
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例：某技术工人长期进行某项技术操作，他经验丰富，因嫌按规定操作太过烦琐，就按照自己的方法进行，但这样做有可能发生事故。设他每次操作发生事故的概率为p，p>0，但很小很小，他独立重复进行了n次操作， 求(1) n次都不发生事故的概率；(2) 至少有一次发生事故的概率。 120
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解：设A={n次都不发生事故},B={至少有一次发生事故},Ci={第i次不发生事故},i=1,2,…,n
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上式的意义为：“小概率事件”在大量独立重复试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。
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课件待续! 2019/5/11
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