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第十章 比例問題的推論 陳順宇 教授 成功大學統計系
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一組樣本比例的推論 (小樣本情形)
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例10.4、 小華以擲此銅板實驗的數據作決策， 他擲此枚銅板10次，結果出現8次正面 是否就表示我們所懷疑 〝此枚銅板出現正面的機率偏高〞
成立呢？ 也就是判定此枚銅板出現正面的機率 確實偏高呢？
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令n次中投中次數為X，即
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X是二項分配
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單尾檢定
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我們懷疑〝此枚銅板不公正〞是不能成立
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(1)例10.2，投10球進3球， 則P值
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(2)例10.3，投10球只中1球
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例10.5、(例10.2續) 譽仁告訴他爸爸說他的3分球 命中率是50%， 如果他爸爸懷疑譽仁是吹牛，
(即認為譽仁3分球命中率不到0.5)， 要譽仁投10球，結果10球命中3球， 是否有證據說明譽仁是吹牛的？
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左尾檢定
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P值
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因P值> 0.05， 所以沒有證據說譽仁的3分球 命中率不到5成
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10.2 一組樣本比例的推論 (大樣本情形)
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例10.6、 如果譽仁在3分球線外投100球中30球 求譽仁3分球命中率p的95%信賴區間
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虛無假設
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(1)左尾檢定
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左尾檢定的棄卻域
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(2)右尾檢定
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(3)雙尾檢定
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例10.7、(例1.9續) 試檢定台南市成年市民中教育程度大專(及以上)所佔比例高於4成?
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檢定
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沒有證據說台南市成年市民 大專(及以上)的教育程度 所佔比例高於4成
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例10.8、 假設小華擲100次此枚銅板， 結果擲出80次正面， 請問： 是否有證據說此銅板出現正面的 機率高於0.5？
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註1：
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註2： 如果擲的是一個出現正面的機率為0.6的銅板100次， 它會出現80次(或以上)正面的機率是多少？
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機率值
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以常態分配校正公式 求二項分配之近似值
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例10.9、有人懷疑某銅板 是不公正的 ?
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假如他擲此銅板10次， 結果出現正面9次 試問H0是否顯著？ 又P值是多少？
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有證據說銅板是不公正的
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註1：如以大樣本計算z值
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註2：如以大樣本計算P 值
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例10.10、 大華公司產品不良率高達10％， 公司提出改善計畫後 (1)由生產線隨機抽樣400個產品， 得樣本不良率為8%，
試檢定此改善策略是否有效?
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(2)若抽樣400個產品， 試問樣本不良率要多少以下 才能有證據說改善策略有效?
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(1)檢定此改善策略是否有效? 即檢定
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(a) 檢定
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沒有證據說改善策略有效
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(b) P 值
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即沒有證據說改善策略有效
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(2) 若抽樣400個產品，則 檢定的z值
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也就是抽樣400個產品， 樣本不良率要在0.075以下， 才能有證據說改善策略有效
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例10.11、 再以投籃為例， 如譽仁投100球進30球， 試檢定譽仁3分球命中率是否等於0.5？
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有足夠證據說譽仁3分球 命中率不等於0.5
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例10.12、(例10.11續) 再以譽仁投籃為例， 譽仁說3分球命中率至少5成， 但爸爸懷疑他的命中率不到5成，
要譽仁投球，結果投100球進30球， 試問是否已有證據說譽仁吹牛？
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檢定譽仁吹牛，即檢定
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可下譽仁3分球 命中率不到5成的結論
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例10.13、 兄弟、統一兩隊在職棒元年比賽20場 試問兄弟在這20場中至少要贏幾場以上 才能顯示該年兄弟對統一比賽時 勝率超過5成？
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例10.14、 某次選舉有甲、乙兩位候選人， 民意調查有效樣本為1000， 支持甲有550人， 支持乙有450人，
是否有證據說甲的得票率高於乙？
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檢定甲的得票率是否高於乙，即檢定
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例10.15、(例1.9續) 試檢定台南市成年市民 高中職與大專(及以上)這兩種教育程度 所佔比例是否相等?
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檢定
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因 故不顯著， 即無證據說台南市成年市民中 高中(職)與大專此兩種的教育程度 所佔比例有顯著差異。
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樣本數 如果在民意調查中， 我們想使某候選人的樣本得票率與 真正開票後的得票率p 誤差在e=0.03之內的機會有95%，
試問我們應調查多少個樣本數n？
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樣本數的決定
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如事先未知，則由下式 因此以最壞的情形， p=0.5 代入(10.12)式
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樣本數
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註1： 若誤差界限要 由 e=0.03 降為 0.01 則樣本數增加8倍，變為9604
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註2： 若要求誤差界限仍為 e=0.03， 但信賴度提高至99%， 則樣本數最多需要
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註3： 如果已知候選人甲的得票率不會超過3成 在95%信賴度與3%誤差界限下 抽樣樣本數為
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10.4 二組獨立樣本比例之推論 (大樣本情況) 某公司產品過去不良率過高， 經理要求研發單位研究提出改善對策，吾人關心的問題是
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檢定
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經標準化
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例10.16、 浩仁、譽仁兩兄弟比賽3分球， 浩仁投150球中36球， 譽仁投100球中30球， 試求浩仁與譽仁3分球命中率相差的
95%信賴區間？
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兩人樣本命中率的相差
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誤差界限
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( , ) 即信賴區間為 ( , )
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2. 檢定
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標準誤
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綜合樣本比例
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檢定統計量
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例10.17、(例10.16續) 檢定浩仁、譽仁兩兄弟3分球 命中率是否有顯著差異？
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雙尾檢定
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綜合樣本比例
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z值
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我們下兩兄弟的3分球命中率 沒有顯著差異的結論
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例10.18、 張三、李四分別對候選人甲 做民調，各抽1000人， 張三調查結果有550人支持候選人甲，
李四調查結果有450人支持候選人甲， 請問兩人調查結果支持候選人甲的比例是否有顯著差異？
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z值
100
例10.19、 若由甲、乙兩生產線分別 隨機抽樣100個、200個產品， 結果分別有5個與20個不良品， 請問
(1) 是否乙生產線的不良率顯著高於5％？ (2) 甲、乙兩生產線的不良率 是否有顯著差異？
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檢定
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有足夠證據說乙生產線的 不良率顯著高於5％
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(2)即檢定
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甲、乙兩生產線的不良率
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綜合樣本比例
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z值
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甲、乙兩生產線的 不良率沒有顯著差異
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第十章 摘要
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1. 社會科學的問卷調查與工業品管產品的不良率是常遇到的比例問題， 基本上處理比例的統計推論原理 與前兩章連續型資料 平均數統計推論相似。
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2. 想知道男女生對某法案贊成比例 是否一致？ 或是想知道某種品管改善方案 是否可以降低不良率？ 這些問題都是比例檢定問題。
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3.有關比例的檢定 在大樣本情況下， 則利用中央極限定理求值做決策。
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4. 做民意調查時樣本數的決定 與誤差及信賴區間有關， 例如估計得票率，若想估計誤差 控制在3%以內， 信賴度95%，
需要有效樣本數是1068。
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5. 注意兩組樣本 比例檢定問題與 兩組比例相差的信賴區間 標準差算法不同處。
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