第三模块 函数的微分学 第一节 导数的概念 一、瞬时速度 曲线的切线斜率 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、导数的物理意义 五、导函数

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1 第三模块 函数的微分学 第一节 导数的概念 一、瞬时速度 曲线的切线斜率 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、导数的物理意义 五、导函数
第三模块　函数的微分学 第一节　导数的概念 一、瞬时速度 曲线的切线斜率 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、导数的物理意义 五、导函数 六、可导与连续的关系

2 一、瞬时速度 曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 如果物体作直线运动， 在直线上选取坐标系，
一、瞬时速度 曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 如果物体作直线运动， 在直线上选取坐标系， 该物体所处的位置坐标 s 是时间 t 的函数，记为 s = s(t)， 则从时刻 t0 到 t0 + t 的时间间隔内它的平均速度为

3 但在变速运动中，它不仅与 t0 有关， 这个比值是常量， 在匀速运动中， 而且与 t 也有关， 当 t 与在 t0 时刻的速度相近似. 很小时， 平均速度 的极限存在， 如果当 t 趋于 0 时， 叫做物体在 t0 时刻的瞬时速度，简称速度， 则将这个极限值记作 v (t0)， 即

4 2.曲线切线的斜率 点 P 是曲线 L 上的动点， 定义 设点 P0 是曲线 L 上的一个定点， 当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P0 时，
如果割线 PP0 的极限位置 P0 T 存在， 则称直线 P0 T 为曲线 L 在点 P0 处的切线. y O x L 设曲线方程为 y = f (x). y = f (x) 在点 P0(x0, y0) 处的附近取一点 P(x0 + x , y0 + y ) . T P y P0 N x 那么割线 P0 P 的斜率为   x0 x0+x

5 如果当点 P 沿曲线趋向于点 P0 时，割线 P0P 的极限位置存在，
此刻 x  0，  ， 割线斜率 tan  趋向切线 P0 T 的斜率 tan ， 即 T P0 P x0 x0+x y O x  N  L x y y = f (x) 切线定义

6 二、导数的定义 定义 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域内有定义.
　　　　在 x0 处给 x 以增量 x (x0 + x 仍在上述邻域内)， 函数 y 相应地有增量 y = f (x0 + x ) - f (x0) ，

7 　　则称此极限值为函数y = f (x)在点 x0 处的导数.
即 此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导.

8 例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数，即 f (1).
解 第一步求 y ： 　 y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12 = 2x +(x)2 . 第二步求 ： 第三步求极限： 所以， f (1) = 2.

9 三、导数的几何意义 函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义
就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0)) 处的切线的斜率, 即 tan  = f (x0). y O x y = f (x) P  x0

10 由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为
y - y0 = f ( x0)(x - x0) . 法线方程为 其中 y0 = f ( x0).

11 　　例 2　求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和法线方程.
　　解　从例 1 知 (x2) |x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的切线斜率为 2 ， 所以, 切线方程为 y – 1 = 2(x - 1). y = 2 x - 1. 即 法线方程为 即

12 四、导数的物理意义 对于不同的物理量有着不同的物理意义.
　　对于不同的物理量有着不同的物理意义. 例如变速直线运动路程 s = s(t) 的导数，就是速度，即 s(t0) = v(t0). 我们也常说路程函数 s(t) 对时间的导数就是速度.

13 五、导函数 例 3 求函数 y = x2 在任意点 x0  ( ,  )处的导数. 解 求法与例 1 一样. 第一步求 y：
y = f (x0 + x) - f (x0) = (x0 + x)2 - x02 = 2x0x + (x) 2. 第二步求 ：

14 第三步取极限： 即 　　有了上式，求具体某一点，如 x0 = 1 处导数，就很容易了，只要将 x0 = 1 代入即得

15 　　例 3 表明，给定了 x0 就对应有函数 f (x) = x2的导数值,
这样就形成了一个新的函数， 叫做函数 f (x) = x2 的导函数，它的表达式就是 (x2) = 2x . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　它的计算公式是： 一般地，函数 f (x) 的导函数记作 f (x)，

16 类似例 3，我们可以得 xn (n为整数) 的导函数，
(xn)= nxn-1 . 当 n 为任意实数  时，上式仍成立，即 (x ) = x -1 .

17 例 4　求 f (x) = sin x 的导函数 ( x  ( ， )).
解 即 (sin x) = cos x. 类似可得 (cos x) = - sin x.

18 例 5　求 f (x) = ln x (x (0,  ) ) 的导函数.
解 即 类似可得

19 例 6　求 f (x) = ex (x (-  ,  ) ) 的导函数 .
解 即 (ex) = ex. 类似可得 (ax) = ax lna .

20 　　例 7　问曲线 y = ln x 上何处的切线平行直线 y = x + 1？
解 设点 ( x0 , y0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1， 根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知 所以曲线在点 (1, 0 ) 处的切线平行直线 y = x + 1. 即 x0 = 1，代入 y = lnx 中，得 y0 = 0，

21 存在，则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数，记作
定义 如果 同样， 则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数，记作 f +(x0) . 　　显然，f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 f -(x0) 及 f  +(x0) 存在且相等 . 　　定义　如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a, b]，则端点处可导是指 f +(a)、 f -(b) 存在 .

22 六、可导与连续的关系 定理 如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导, 则 f (x) 在点 x0 处连续，其逆不真.
证 其中 y = f (x0 + x) - f (x0)， 所以 即函数 f (x) 在点 x0 处连续. 但其逆不真，即函数 f ( x ) 在点 x0 处连续， 而函数 f ( x ) 在点 x0 处不一定可导.

23 　　例 8 讨论函数 y = | x | 在点 x0 = 0 处的连续性与可导性.
解　 y = f (0 + x ) - f (0) = | 0 + x | - | 0 | = | x |，

24 即 f ( x ) = | x | 在 x0 = 0 处连续， 存在， 因为 在 x0 = 0 处左、右导数不相等，所以在 x = 0 处函数 y = | x | 不可导.

25 例 9 讨论函数 在 x = 1 处的连续性与可导性. 解 先求在 x = 1 时的 y . 当 x < 0 时，
例 9　讨论函数 ≤ 在 x = 1 处的连续性与可导性. 解　先求在 x = 1 时的 y . 当 x < 0 时， y = f (1 + x) - f (1) = (1 + x)2 + (1 + x) - 2 = 3x + (x)2，

26 当 x > 0 时， y = f (1+ x) - f (1) = 2(1+ x)3 - 2 = 6x + 6(x)2 + 2(x)3 ， = 6 + 6x + 2(x)2 .

27 容易算出 从而知 又 因此 所以函数在 x = 1 处连续，但不可导.

28 七、偏导数的概念 １．偏导数的定义 定义 则增量 称为函数 z 对 x 的偏增量， 记为 xz ， 即 比值 的极限存在， 如果当 时，

29 为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 对 x 的偏导数， 则称此极限值 记作 即

30 同样， z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处对 y 的偏导数定义为
记作 或 其中 称为函数 z 对 y 的偏增量.

31 如果 f (x , y) 在区域 D 内每一点 (x , y) 处对 x 的偏导数都存在，
此函 数称为函数 z = f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数， 那么这个偏导数是 x , y 的函数， 记作 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导 函数， 类似地， 记作 在不致混淆的情况下， 偏导函数也称偏导数.