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章末归纳总结
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1．归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；后者是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论有待于去证明它的正确性．
2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确． 3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者是后者的前提，后者证明前者的可靠性．
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[例1] 设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．
![[例1] 设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．](http://slidesplayer.com/slide/16748181/97/images/7/%5B%E4%BE%8B1%5D+%E8%AE%BEf%28n%29%EF%BC%9Dn2%EF%BC%8Bn%EF%BC%8B41%EF%BC%8Cn%E2%88%88N%EF%BC%8B%EF%BC%8C%E8%AE%A1%E7%AE%97f%281%29%EF%BC%8Cf%282%29%EF%BC%8Cf%283%29%EF%BC%8C%E2%80%A6%EF%BC%8Cf%2810%29%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%8C%E5%90%8C%E6%97%B6%E4%BD%9C%E5%87%BA%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%8E%A8%E7%90%86%EF%BC%8C%E5%B9%B6%E7%94%A8n%EF%BC%9D40%E9%AA%8C%E8%AF%81%E7%8C%9C%E6%83%B3%E6%98%AF%E5%90%A6%E6%AD%A3%E7%A1%AE%EF%BC%8E.jpg "[例1] 设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．")
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[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，
由于43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数．于是猜想当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数． 因为当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确．
![[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，](http://slidesplayer.com/slide/16748181/97/images/8/%5B%E8%A7%A3%E6%9E%90%5D+f%281%29%EF%BC%9D12%EF%BC%8B1%EF%BC%8B41%EF%BC%9D43%EF%BC%8Cf%282%29%EF%BC%9D22%EF%BC%8B2%EF%BC%8B41%EF%BC%9D47%EF%BC%8C.jpg "由于43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数．于是猜想当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数． 因为当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确．")
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[例2] 如图①所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
![[例2] 如图①所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．](http://slidesplayer.com/slide/16748181/97/images/9/%5B%E4%BE%8B2%5D+%E5%A6%82%E5%9B%BE%E2%91%A0%E6%89%80%E7%A4%BA%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%8F%AF%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E4%B8%BAa%EF%BC%9Db%C2%B7cosC%EF%BC%8Bc%C2%B7cosB%EF%BC%8C%E5%85%B6%E4%B8%ADa%EF%BC%8Cb%EF%BC%8Cc%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA%E8%A7%92A%EF%BC%8CB%EF%BC%8CC%E7%9A%84%E5%AF%B9%E8%BE%B9%EF%BC%8C%E7%B1%BB%E6%AF%94%E4%B8%8A%E8%BF%B0%E5%AE%9A%E7%90%86%EF%BC%8C%E5%86%99%E5%87%BA%E5%AF%B9%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93%E6%80%A7%E8%B4%A8%E7%9A%84%E7%8C%9C%E6%83%B3%EF%BC%8E.jpg "[例2] 如图①所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．")
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[解析] 如图②所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小，我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.
![[解析] 如图②所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小，我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.](http://slidesplayer.com/slide/16748181/97/images/10/%5B%E8%A7%A3%E6%9E%90%5D+%E5%A6%82%E5%9B%BE%E2%91%A1%E6%89%80%E7%A4%BA%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93P%EF%BC%8DABC%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E8%AE%BES1%EF%BC%8CS2%EF%BC%8CS3%EF%BC%8CS%E5%88%86%E5%88%AB%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E2%96%B3PAB%EF%BC%8C%E2%96%B3PBC%EF%BC%8C%E2%96%B3PCA%EF%BC%8C%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%EF%BC%8C%CE%B1%EF%BC%8C%CE%B2%EF%BC%8C%CE%B3%E4%BE%9D%E6%AC%A1%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E9%9D%A2PAB%EF%BC%8C%E9%9D%A2PBC%EF%BC%8C%E9%9D%A2PCA%E4%B8%8E%E5%BA%95%E9%9D%A2ABC%E6%89%80%E6%88%90%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%EF%BC%8C%E6%88%91%E4%BB%AC%E7%8C%9C%E6%83%B3%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%AE%9A%E7%90%86%E7%B1%BB%E6%AF%94%E6%8E%A8%E7%90%86%E5%88%B0%E4%B8%89%E7%BB%B4%E7%A9%BA%E9%97%B4%EF%BC%8C%E5%85%B6%E8%A1%A8%E7%8E%B0%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E5%BA%94%E4%B8%BAS%EF%BC%9DS1%C2%B7cos%CE%B1%EF%BC%8BS2%C2%B7cos%CE%B2%EF%BC%8BS3%C2%B7cos%CE%B3..jpg "[解析] 如图②所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小，我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.")
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[例3] 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
![[例3] 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．](http://slidesplayer.com/slide/16748181/97/images/11/%5B%E4%BE%8B3%5D+%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%BD%93%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E5%92%8C%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%91%A8%E9%95%BF%E7%9B%B8%E7%AD%89%E6%97%B6%EF%BC%8C%E5%9C%86%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E6%AF%94%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%A4%A7%EF%BC%8E.jpg "[例3] 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．")
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[例4] 已知a、b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b>0， 所以b(c2＋a2)≥2abc. 因为a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
![[例4] 已知a、b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.](http://slidesplayer.com/slide/16748181/97/images/13/%5B%E4%BE%8B4%5D+%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%E3%80%81b%3E0%EF%BC%8C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9Aa%28b2%EF%BC%8Bc2%29%EF%BC%8Bb%28c2%EF%BC%8Ba2%29%E2%89%A54abc..jpg "所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b>0， 所以b(c2＋a2)≥2abc. 因为a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.")
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