第三节 定积分在物理学上的应用 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 第六章

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1 第三节 定积分在物理学上的应用 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 第六章
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2 一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 . 解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 故作用在活塞上的 力为 功元素为 所求功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5 例3. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 (KN) 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 比重现在不用了 过去: 1) 单位体积所受的重力 ; 2) 与水比的相对重量 设水的密度为 ( KJ ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6 二、液体侧压力 设液体密度为  深为 h 处的压强: • 当平板与水面平行时, 平板一侧所受的压力为 面积为 A 的平板 •
当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为
例4. 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为  的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 方程为 利用对称性 , 侧压力元素 端面所受侧压力为 小窄条上各点的压强 机动 目录 上页 下页 返回 结束

8 说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

9 三、 引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

10 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算
例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

11 棒对质点的引力的垂直分力为 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

12 移到 b (a < b) 处时克服引力作的功,
说明: 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处 移到 b (a < b) 处时克服引力作的功, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

13 3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 注意正负号 引力大小为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

14 四、转动惯量 质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为 的质点系 关于轴 l 的转动惯量为 若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 .
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15 ⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ;
例6. 设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , ⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; ⑵ 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 . 解: ⑴ 建立坐标系如图. 设圆盘面密度为 . 对应于 的小圆环对轴 l 的转动惯量为 故圆盘对轴 l 的转动惯量为 小圆环质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

16 ⑵ 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图. 平行 y 轴的细条 关于 y 轴的转动惯量元素为 故圆盘对y 轴的转动惯量为 细条质量:
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