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2．4.2 抛物线的简单几何性质
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学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质． 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
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课前自主学案 2.4.2 抛物线的简单几何性质 课堂互动讲练 知能优化训练
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课前自主学案 温故夯基 y2＝2px (p>0) x2＝2py(p>0) |MF|＝dM－l 点到准线的 距离 焦点
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知新益能 抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 图形 范围 x≥0 x≤0
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问题探究 抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？ 提示：有一条对称轴；不是中心对称图形．
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抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．
课堂互动讲练 考点突破 抛物线性质的应用 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．
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已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
例1
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解：由已知抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称，
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焦点弦问题
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过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．
【思路点拨】 设抛物线的焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|BF|，然后利用抛物线的定义求解． 例2
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直线与抛物线的位置关系问题 涉及到直线与抛物线位置关系问题，通常联立方程构成方程组，消元得到x(或y)的二次方程，然后利用Δ或根与系数的关系或弦长公式求解.
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如图所示，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
(2)求x1x2与y1y2的值； (3)求证：OM⊥ON. 例3
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抛物线中的最值或定值问题 (1)对抛物线中的定点、定值问题，往往采用设而不求的方法，即方程中含有参数，不论怎样变化,某直线过定点，代数式恒为某常数． (2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理转化，用几何法求解；另一种思路是代数法，转化为二次函数求最值．
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【思路点拨】 由∠AOB＝90°知OA⊥OB，两直线OA和OB斜率用k统一表示，利用k表示A、B两点坐标．
为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点 都在抛物线上，且∠AOB＝90°. 证明直线AB必过一定点． 【思路点拨】 由∠AOB＝90°知OA⊥OB，两直线OA和OB斜率用k统一表示，利用k表示A、B两点坐标． 例4
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【名师点评】 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题的关键是代换和转化．有时利用数形结合思想可以达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果．
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方法感悟 1．抛物线的性质与椭圆、双曲线相比较，差别较大，它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它不是中心对称图形，因而没有中心，是无心曲线． 2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式如表所示：
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知能优化训练
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