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第二节 泰勒(Taylor)展式 一、解析函数的泰勒展式 二、解析函数的零点与唯一性
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一、解析函数的泰勒展式 1. 解析函数展成幂级数 问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达? . . 内任意点 . 如图:
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定理4.2.1(泰勒定理) Taylor
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证
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推论4.2.1 推论4.2.2
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2. 解析函数展成幂级数的方法与例 常用方法: 直接法和间接法. (1) 直接法 由泰勒展开定理计算系数
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例1 解
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例2
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例3
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(2) 间接法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
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例4 解
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附: 常见函数的泰勒展开式
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例5 解
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例6 解
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例7 解
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例8 解 上式两边逐项求导,
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例9 解
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例10 解
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例11 解 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得 即
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二、解析函数的零点与唯一性 1. 零点
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定理4.2.3(解析函数零点的孤立性) . 推论4.2.3
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推论4.2.4 证
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2. 解析函数的唯一性 定理4.2.4 证
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例12 证明
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例13 解
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泰勒资料 Brook Taylor Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, England Died: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England
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