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第十四章 动态电路的频域分析 动态电路的基本分析方法是建立电路的微分方程，并求解微分方程得到电压电流，对于高阶动态电路而言，建立和求解微分方程都十分困难。对于单一频率正弦激励的线性时不变电路，为避免建立和求解微分方程，常常采用相量法。相量法是将正弦电压电流用相应的相量电压电流表示，将电路的微分方程变换为复数代数方程来求解，得到相量形式的电压电流后，再反变换为正弦电压电流。
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在进行正弦稳态分析时，为了避免建立微分方程，我们将电路的时域模型变换为相量模型，再根据相量形式的KCL、KVL和VCR直接建立复数的代数方程来求解。具体分析步骤如图14－1所示：
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能不能找到一种类似的变换方法来求解一般线性时不变电路的全响应，而不必列出微分方程和确定初始条件呢？回答是肯定的，我们可以采用拉普拉斯变换，用类似的方法来分析任意信号激励下，线性时不变动态电路的完全响应，其具体分析步骤如图14－2所示： 图14－1
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图14－1 采用频域分析方法还可以得到线性时不变电路的很多基本性质。本章先介绍拉普拉斯变换和动态电路的频域分析方法，然后介绍一种采用频域分析法的动态网络分析程序，供读者学习电路课程时使用。
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§14－l 拉普拉斯变换 时间函数f(t)的拉普拉斯变换记为 ，其定义为
其中 称为复频率。积分的上下限是固定的，积分的结果与t无关，只取决于参数s，它是复频率的函数，即 在电路分析中，将时域的电压u(t)和电流i(t)的拉普拉斯变换记为U(s)和I(s)。
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例如，单位阶跃函数ε(t)的拉普拉斯变换为
下面给出常用函数的拉普拉斯变换
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下面给出拉普拉斯变换的性质 性质 关系式 线性性质 微分规则 积分规则 其中
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郁金香
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§14－2 动态电路的频域分析 若将时域的电压u(t)和电流i(t)的拉普拉斯变换记为U(s)和I(s)，则时域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律分别表示为 频域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律分别表示为
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对于R、L、C元件电压电流的关系式如下所示：
时域关系 频域关系 其中 表示电感电流和电容电压的初始值。
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图14－3表示根据R、L、C元件时域电压电流的关系式如何得到它们频域电路模型的过程。
由此可见，在频域模型中电感电流和电容电压的初始值是以一个阶跃电源或冲激电源的形式出现的。
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二、频域法分析线性时不变电路的主要步骤 (一)画出频域的电路模型 已知时域电路模型可以画出频域的电路模型，其步骤如下： 1．将时域模型中的各电压电流用相应的拉普拉斯变换表示，并标明在电路图上。 2．将R、L、C元件用图14－3所示频域等效电路模型表示。其中，电感电流的初始值iL(0-)是以阶跃电流源iL(0-)/s或冲激电压源LiL(0-)的形式出现。电容电压的初始值uC(0-)是以阶跃电压源uC(0-)/s或冲激电流源CuC(0-)的形式出现。
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(二)根据频域形式的KCL、KVL和元件VCR关系，建立频域的电路方程，并求解得到电压电流的拉普拉斯变换。
(三)根据电压电流的拉普拉斯变换，用部分分式展开和查拉普拉斯变换表的方法得到时域形式的电压和电流。
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试求t > 0电感电流的零输入响应，零状态响应和全响应。
例14－1 电路如图14－4(a)所示，已知 试求t > 0电感电流的零输入响应，零状态响应和全响应。 图14－4 解：图(a)电路的频域模型，如图 (b)所示，由此列出频域形式的网孔方程，并求解得到电感电流的拉普拉斯变换如下所示。
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图14－4
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根据电感电流的拉普拉斯变换，查拉普拉斯变换表14－1，可以得到电感电流的零输入响应、零状态响应和全响应为
此题的计算结果和例9－5用时域分析方法得到的结果相同。
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解：图(a)的频域模型如图(b)所示，列出网孔电流方程
试求t > 0电感电流的全响应。 图14－5 解：图(a)的频域模型如图(b)所示，列出网孔电流方程
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求解得到电感电流的拉普拉斯变换后，再用部分分式展开为
查拉普拉斯变换表可以得到电感电流为
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郁金香
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表格方程由KCL、KVL和元件VCR方程组成。现在以图14－6电路加以说明。
§14－3 线性时不变电路的性质 一、频域形式的表格方程 表格方程由KCL、KVL和元件VCR方程组成。现在以图14－6电路加以说明。 图14－6
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1．用矩阵形式列出个结点的KCL方程 简写为 AI(s)＝0 其中 称为关联矩阵，它表示支路与结点的关联关系，其元素为
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2．用矩阵形式列出支路电压与结点电压关系的KVL方程
简写为 U(s) ＝ ATV(s) 其中AT表示关联矩阵 A 的转置矩阵。
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3．以 mU(s) + nI(s) = US(s) 形式列出矩阵形式的VCR方程。
简写为 (M0s+ M1)U + (N0s+ N1)I = US+Ui 4．将KCL,KVL和VCR方程放在一起，得到以下表格方程
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简写为 其中 T(s) 称为表格矩阵，由于矩阵中大部分系数为零，又称为稀疏表格矩阵。矩阵T(s)的行列式det T(s)是以s为变量的多项式，若不为零，即 det T(s) 0，则该电路有唯一解。其中Ui表示由电感电流和电容电压初始值组成的列向量。 若表格方程有唯一解，则可以得到以下结果
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若表格方程有唯一解，则可以得到以下结果 由此可以得到线性时不变电路的两个性质。 1．唯一解性质：当且仅当det T(s) 0时，该线性时不变电路N存在唯一解。 2．若线性时不变电路N具有唯一解，则其全响应等于零状态响应(仅由输入引起)与零输入响应(仅由初始条件引起)之和。
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二、零输入响应和固有频率 我们只考虑初始条件对电路的作用，求解以下方程可以得到电路的零输入响应 1．假设电路的特征多项式，x(s)=det T(s)，具有n个简单零点： ，电路具有n个单一的固有频率。我们求解方程可以得到
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因此得到的零输入响应为 2．如果线性时不变电路的全部固有频率都具有负实部，则对于任何初始条件，其零输入响应w(t)将按照指数规律趋近于零，也就是说电路的所有变量随着t→∞而按照指数规律变为零。(满足这种条件的电路称为指数稳定的电路)
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三、零状态响应和网络函数 我们只考虑输入对电路的作用，求解以下方程可以得到电路的零状态响应
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1．网络函数 我们在正弦稳态分析中引入了网络函数，现在将它推广到任意输入的情况。我们讨论具有唯一解的线性时不变电路，假设电路仅由一个独立电源驱动，则任一输出变量零状态响应的拉普拉斯变换对输入拉普拉斯变换之比，定义为网络函数，记为，即 由于全部初始条件为零，在频域电路模型中不必画出表示初始条件作用的电压源和电流源，计算就会容易得多。
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解：可以用阻抗串并联公式来计算图示单口网络的驱动点阻抗
例14－3 求图14－7所示电路的驱动点阻抗 和转移电压比 。 图14－7 解：可以用阻抗串并联公式来计算图示单口网络的驱动点阻抗
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可以用分压公式来计算图示电路的转移电压比
由此例可见，网络函数的计算方法与正弦稳态相同，差别仅在于jω换成了s 。频域网络函数是以s为变量的两个多项式之比，将s 换为jω就得到正弦稳态的网络函数，据此就可以画出频率特性曲线。
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若采用表格方程来计算网络函数，当det T(s) 0，用克莱姆法则求解可以得到以下结果
式中的W(s)表示感兴趣的某个电压或电流，US(s)表示一个独立电压源或独立电流源。由此可以得到网络函数为 它是以s为变量的两个多项式之比。其分子多项式的零点，称为网络函数的零点；分母多项式的零点，称为网络函数的极点。
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由此可以得到网络函数的几点性质。若网络N是具有唯一解的线性时不变电路，则
(2) 零状态响应的拉普拉斯变换等于网络函数与输入拉普拉斯变换的乘积。即 (3) 任一网络函数的极点是网络N的固有频率。
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2．冲激响应与网络函数 在动态电路的时域分析中讨论过冲激响应，它是单位冲激函数作用下电路的零状态响应，由于冲激响应的计算比较困难，我们先求出电路的阶跃响应，再用对时间求导数的方法来计算电路冲激响应的。在频域分析中，由于单位冲激函数的拉普拉斯变换等于1，因此网络函数的反拉普拉斯变换就是冲激响应，即 这是一个很重要关系，它反映出电路的频域特性与时域特性的关系。
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例如，如果网络函数H(s)有n个单一的极点，而且有
则其冲激响应为 根据定义，阶跃响应是在单位阶跃输入时电路的零状态响应，它与网络函数以及冲激响应之间的关系，如下所示。
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例14－4 求图14－8(a)所示电路中电感电压的冲激响应。
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解：图(a)的频域模型，如图(b)所示，注意到单位冲激函数的拉普拉斯变换是等于1，由此求得网络函数为
计算结果与例8－12中用时域分析方法得到的结果相同。
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3．零状态响应和网络函数 电路在任意输入时的零状态响应，在已知网络函数的情况下，容易用下式求得。 图14－8所示电路，如果 则其网络函数和电感电压的零状态响应为
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最后介绍一个正弦稳态的基本定理：考虑任一具有唯一解的线性时不变电路N。令电路N中的全部独立电源是具有相同频率ω的正弦电源。如果电路N是指数稳定的，则对于任何初始条件
(1) 随着 ，全部支路电压和支路电流将趋于频率为ω的唯一的正弦稳态。 (2) 当然，正弦稳态容易用相量分析求得。
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郁金香
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§14－4 计算机分析电路实例 利用拉普拉斯变换的频域分析将动态电路的时域分析和正弦稳态分析统一起来，它可以分析线性时不变电路在任意激励下的全响应，其笔算分析的基本方法是先画出电路的频域模型和列写频域电路方程，再求解频域方程得到频域形式的电压电流，最后再反变换得到电压电流的时域表达式。这些工作都可以利用计算机程序来完成，本教材提供的动态网络分析程序DNAP就可以自动建立频域形式的表格方程，求解方程得到电压电流的频域表达式，再反变换得到电压电流的时域表达式，对学习和研究线性电路理论十分有用。
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例14－5 图14－9(a)所示电路中，已知uc(0)=6V, iL(0)=3A，试用计算机程序DNAP对电路进行分析计算。
解：运行DNAP程序，输入图14－9(b)所示电路数据，屏幕显示读入的电路数据和电路的特征多项式和电路的固有频率，如下所示。
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令特征多项式等于零，求得多项式零点，即固有频率为
L14-5 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 数 值 数 值 V R C L R 独立结点数目 = 支路数目 = 5 <<< 网 络 的 特 征 多 项 式 >>> S** S <<< 网 络 的 自 然 频 率 >>> S 1 = rad/s S 2 = rad/s 计算得到电路的特征多项式为 令特征多项式等于零，求得多项式零点，即固有频率为
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选择代码5用叠加原理计算电容电压的频域表达式
<< 冲 激 电 源 V 1(t)= δ(t) 单 独 作 用 >> S U3 (S) = S** S << 初 始 状 态 Vc 3(0)= 单 独 作 用 >> S << 初 始 状 态 I 4(0)= 单 独 作 用 >> -3.00 ***** 完 全 响 应 ***** S
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选择代码5用叠加原理计算电容电压的时域表达式
<< 冲 激 电 源 V 1(t)= δ(t) 单 独 作 用 >> u3 (t) = ε(t)*( j ) *exp ( j )t +ε(t)*( j ) *exp ( j )t << 初 始 状 态 Vc 3(0)= 单 独 作 用 >> +ε(t)*( j ) *exp ( j )t +ε(t)*( j ) *exp ( j )t << 初 始 状 态 I 4(0)= 单 独 作 用 >> +ε(t)*( j ) *exp ( j )t +ε(t)*( j ) *exp ( j )t ***** 完 全 响 应 ***** u3 (t) =ε(t)*( j )*exp ( j )t +ε(t)*( j )*exp ( j )
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计算得到冲激电压源6δ(t)单独作用产生的电容电压为
计算得到电容初始电压6V单独作用产生的电容电压为 计算得到电感初始电流3A单独作用产生的电容电压为 计算得到总的电容电压的频域和时域表达式分别为
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选择代码6可以计算电容电压等于电压源的网络函数、零点、极点、冲激响应和阶跃响应。
<<< -- 网 络 函 数 H(S) -- >>> S U3 /V1 = S** S 网 络 函 数 的 零 点 和 极 点 <<< -- 网 络 函 数 H(S) 的 零 点 -- >>> Z 1 = <<< -- 网 络 函 数 H(S) 的 极 点 -- >>> P 1 = P 2 = <<< -- u3 (t) 的 冲 激 响 应-- >>> h (t) = ε(t)*( j )*exp ( j )t +ε(t)*( j )*exp ( j )t <<< -- u3 (t) 的 阶 跃 响 应-- >>> s (t) = ε(t)*( j )*exp ( j )t +ε(t)*( .667E-01+j )*exp ( j )t +ε(t)*( j )*exp ( j )t
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计算得到网络函数H(s)为 计算得到零点为z= -3rad/s和两个极点为p1= -1rad/s和p1= -2.5rad/s。 计算得到冲激响应和阶跃响应为
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选择代码1可以得到以任意电压电流为变量的微分方程
<<< 微 分 方 程 >>> D = (dx/dt) -> 微 分 算 子 D**2(u3) D (u3) (u3) = D (v1) (v1) D**2(i4) D (i4) (i4) = (v1) 式中的D表示微分算子，由此得到以电容电压为变量的微分方程为 以电感电流为变量的微分方程为
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描述动态电路的电路方程是n阶微分方程，通常称该电路为n阶电路，一个电路究竟是几阶电路，有时不能从它包含几个二端动态电路元件的数目来确定，例如包含受控源的电路，在某些条件下，其电路阶数就可能比动态元件数目少。
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例14－6 图14－10(a)所示电路，已知r =2Ω，试用计算机程序DNAP对电路进行分析计算。
解：运行DNAP程序，输入图14－10(b)所示电路数据，屏幕显示读入的电路数据和电路的特征多项式和电路的固有频率，如下所示。
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L14-6 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 数 值 数 值 R V L R C CV 独立结点数目 = 支路数目 = 6 <<< 网 络 的 特 征 多 项 式 >>> S <<< 网 络 的 自 然 频 率 >>> S 1 = rad/s << 冲 激 电 源 V 2(t)= δ(t) 单 独 作 用 >> 1.00 I3 (S) = i3 (t) =ε(t)*( j )*exp ( j )t
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计算得到的特征方程为，固有频率为s=-4rad/s，电感电流的冲激响应为
计算表明图14－10(a)电路是一阶电路，虽然它包含两个动态元件。为什么会得到这样的结果呢？我们用符号网络函数程序SNAP进行分析，将各元件参数用符号表示，求得电感电流和电容电压的频域表达式。
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用程序SNAP求得电感电流和电容电压的频域表达式。
L14-6 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 节点 节点 支路 符 号 符 号 R R V Us L L R R C C CV r 独立节点数目 = 支路数目 = 6 ----- 节 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 ----- -SCrUs+RSCUs+Us I3 (S)= -SCSLr+RSCSL+SL-RSCr+RRSC+2R RUs-rUs U5 (S)= -SCrUs+RSCUs I5 (S)=
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将频域表达式中的S作为微分算子看待，根据电感电流电压频域表达式可以写出电路的微分方程。
这种用元件参数符号表示的微分方程对分析电路特性十分有用，由此可以看出元件参数变化时对电路特性的影响。例如，当电阻R等于受控源的转移电阻r时，微分方程二阶项系数为零，二阶微分方程变成为如下所示的一阶微分方程。
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这相当于冲激电压源加到1H电感和两个2Ω电阻的串联电路，即图14－10(a)电路中的电容没有起作用。进一步分析可以发现，当R = r时，电容电流的频域表达式IC(s)=0，相当于电容开路，电容电压的频域表达式UC(s)=0，相当于电容短路，此时电容的确对电路和电感电流没有影响了。 从前面的计算机分析中已经知道，当R = r = 2Ω时，电路是一阶电路，电感电流的响应从初始值1A开始以指数规律逐渐衰减为零。用DNAP程序进行计算可知，当R =2Ω和r =1.9Ω时，电路变成二阶电路，电感电流的响应为
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电路的固有频率为正实数，这是一个不稳定的电路，电感电流将随时间而迅速增加。当R =2Ω和r =2.1Ω时，电路变成二阶电路，电感电流的响应为
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电路的固有频率是一个非常重要的概念，已知一个n阶电路的全部固有频率，就知道电路各电压电流零输入响应所包含的频率成分，即
图14－11 电路的固有频率是一个非常重要的概念，已知一个n阶电路的全部固有频率，就知道电路各电压电流零输入响应所包含的频率成分，即 并非每个电路中全部电压电流都包含所有固有频率的分量，有的电路中某些电压或电流会缺少某些频率成分，下面举例说明。
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例14－7 电路如图14－12(a)所示，1．试用各种方法计算电路的固有频率。2．已知
求电流i4(t)和电流i3(t)的响应。 图14－12 解：画出电路的频域模型，如图14－12(b)所示。由于网络函数的极点是电路的固有频率，我们可以通过网络函数来确定电路的固有频率。
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1．用分流公式计算网络函数I4(s)/ IS(s)，由此确定一个固有频率s1= -3rad/s。
2．用分流公式计算网络函数I3(s)/IS(s) ，由此确定s1= -3rad/s，s2= -1rad/s的两个固有频率。
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3．用欧姆定律计算网络函数I4(s)/ US(s)，由此确定s1=-3rad/s，s3=0rad/s的两个固有频率。
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以上计算表明，图14－12电路具有三个固有频率，它们是s1=-3rad/s，s2=-1rad/s和s3=0rad/s。由此可见，根据网络函数可以确定电路的固有频率，但某个网络函数不一定能确定电路全部的固有频率，它只能确定在某个电源激励下，该电压或电流所包含频率成分的那些固有频率。 电路的固有频率是电路方程系数所确定特征多项式的零点，我们可以列出网孔方程和结点方程来确定电路的固有频率。
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5．用网孔电流I4(s)作为变量，列出图14－12(b)电路的网孔方程
计算特征多项式的零点 由此可确定s1=-3rad/s，s3=0rad/s的两个固有频率。
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6．用结点电压V1(s)和V2(s)作为变量，列出图14－12(b)电路的结点方程
计算特征多项式的零点 由此可确定s1=-3rad/s，s2=-1rad/s的两个固有频率。
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从以上可见，利用笔算分析中常用的网孔方程和结点方程可以确定电路的固有频率，但是根据网孔方程或结点方程不一定能够确定电路的全部固有频率。丢失电路固有频率的原因在于网孔方程和结点方程是表格方程的导出方程，它们已经丢失原始电路中的某些信息。 7．表格方程是以全部结点电压，支路电压和支路电流作为变量而建立的电路方程，利用电路的表格方程可以确定电路的全部固有频率。显然，用笔算分析来建立和求解表格方程是十分困难的，下面用按照表格方程编写的动态电路分析程序DNAP来进行计算，运行程序，读入图14－12(a)电路的数据，选择代码5，用叠加定理进行计算，可以得到以下结果。
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L14-7 Circuit Data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 数 值 数 值 I R L L V L R 独立结点数目 = 支路数目 = 7 <<< 网 络 的 特 征 多 项 式 >>> S** S** S <<< 网 络 的 自 然 频 率 >>> S 1 = rad/s S 2 = rad/s S 3 = rad/s
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计算机求得的电路特征多项式为 ，网络的固有频率为s1=-1rad/s，s2=-3rad/s和s3=0rad/s。由此确定图14－12所示电路中电压电流零输入响应的一般表达式
数值为零的固有频率表明电压电流可能存在不随时间变化的直流分量。显然，电路中的电压电流不一定都具有这三个频率成分，为了说明这个问题，选择DNAP程序的代码5，用叠加定理计算电流i4(t)和电流i3(t)的时域表达式，如下所示：
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<< 冲 激 电 源 I 1(t)= 2.00 δ(t) 单 独 作 用 >>
i4 (t) = ε(t)*( j ) *exp( j )t +ε(t)*( j ) *exp( j )t << 冲 激 电 源 V 5(t)= δ(t) 单 独 作 用 >> +ε(t)*( j ) *exp( j )t +ε(t)*( j ) *exp( j )t ***** 完 全 响 应 ***** i4 (t) =ε(t)*( j ) *exp( j )t +ε(t)*( j ) *exp( j )t i3 (t) = ε(t)*( j ) *exp( j )t +ε(t)*( j ) *exp( j )t +ε(t)*( j ) *exp( j )t i3 (t) =ε(t)*( j ) *exp( j )t
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程序计算得到的电流i4(t)和i3(t)为 读者也可以用笔算方法利用前面计算得到的网络函数求得这些电流。从以上计算结果可以看出图14－12电路具有三个固有频率，它确定了电路中各电压和电流所包含的频率分量，但是，就某个电压或电流而言，它可能只包含一部分固有频率的分量。
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电流i4(t)和i3(t)中存在一个直流分量的原因是电路存在一个零固有频率，在电压源的激励下，在电流i4(t)和i3(t)中出现1A的直流分量，说明在三个电感中长期存在1A的回路电流。一般来说，电路中包含纯电感回路时，电感电流可能存在直流分量，电路中包含纯电容割集时，电容电压可能存在直流分量，此时电路将存在一个数值为零的固有频率，而这个零固有频率在笔算分析时容易漏掉。
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摘 要 1．线性时不变动态电路分析的基本方法是建立和求解微分方程，这种时域分析方法的缺点是建立和求解高阶动态电路的微分方程比较困难。利用拉普拉斯变换可将微分方程变换为复数的代数方程来处理，便于用计算机来解决复杂动态电路的全响应问题。 2．表格方程是以结点电压、支路电压和支路电流作为变量的电路方程，对电路不进行任何变换，直接反映原始电路中各元件电压电流的约束关系，能完整地反映出整个电路的特性，利用频域形式的表格方程可以导出线性非时变电路的各种基本性质。
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3．已知动态电路的全部固有频率，就知道该电路电压电流零输入响应的频率成分，从而了解该电路的固有特性。
4．已知动态电路的网络函数，容易求出任意信号激励下电路的零状态响应。 5．线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。 6．对于正弦稳态分析，还是用相量法比较好。
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郁金香
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