學生的數學架構 哈特博士 報告：劉瑞珍.

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1 學生的數學架構 哈特博士 報告：劉瑞珍

2 前言 中學數學與科學概念CSMS Concepts in Secondary Mathematics and Science
中學生的數學解題策略SESM Strategies and Errors in Secondary Mathematics 學生的數學架構CMF Children`s Mathematical Frameworks 前二個階段的研究發現『學生會發展一些自己的方 法來解決問題：學童法(Child methods)和初學法 (Naive methods)』 學生在學習數學概念的過程中，教師常常使用具體物來幫助學生學習，而學生從具體教具學習到數學公式學習之間的轉型未成功

3 具體操作，促進了解 Piaget認知發展階段理論
具體教具四種不同的使用方法 1.將具體教具嵌入教材中 2.具體教具是用來教某個概念的的基本概念 3.具體教具是用來證明所學的數學公式是很合理的 4.具體教具是用來較有結構的表達一個數學關係式 具體教具教學四優點

4 是否透過具體教具操作之後就已經了解公式？
研究方法 研究對象8~13歲的小孩 參與的教師在教學前需詳細寫出教材的處理次序及如何使用教具、如何從具體操作到公式的教學教案 研究者與學生進行四次面談 具體教具教學 數學公式教學 三個月後 第一次面談 第二次面談 第三次面談 第四次面談 是否透過具體教具操作之後就已經了解公式？ 處理問題的方式 先備知識 1.是否還使用具體教具 2.是否已使用公式 3.是否仍用自己的方法 4.是否看出具體教具操作與公式之間的關係

5 研究單元 位值 立體的體積 圓周 等價分數 方程式 長方形的面積 擴大

6 研究結果 一、教師從來不告訴學生為什麼學生需要學一般化的公式 你總不能一輩子帶著積木來算體積吧？ 體積有時候是不能用積木來算的
為什麼要學公式呢？

7 今天老師花一堂課的時間使用具體教具教學喔~
研究結果(cont.) 二、同樣的教材，各個教師用具體教具操作的時間有很大的差異 真的呀？我們老師只花了5分鐘耶 今天老師花一堂課的時間使用具體教具教學喔~

8 研究結果(cont.) 三、學生的某些錯誤是來自教師本身犯了這種錯誤 + 45 82 - 28 132 - 129 002 - 176
例一 37 + 45 82 例二 2 9 - 28 例三 132 - 129 002 例四 376 200

9 研究結果(cont.) 四、教師在教學時常留下一個很大的斷層，希望學生自己去補 體積 長 寬 高 36 3 9 3 10 4 12

10 演算法54-28=(40+14)-(20+8)=(40-20)+(14-8)=(40-20)+6=20+6=26
研究結果(cont.) 五、有時教師所使用的具體教具操作與演算法完全無關 教具操作 54 – 28 = 54–20-8 = 34-8 = 24+(10-8) = 24+2 = 26 演算法54-28=(40+14)-(20+8)=(40-20)+(14-8)=(40-20)+6=20+6=26

11 研究結果(cont.) 六、有時教師所使用的具體教具操作比原來用演算法則處理問題更困難 3x+5=14 3x=9 X=3
16 16-5x=12-3x x x x x x 12 x x x

12 研究結果(cont.) 七、教師在使用具體教具教學時，對於具體教具所展現的真正意義似乎都沒有交代清楚
1 1/2 1/4 1/8 等價分數 1 = 2/2 = 4/4 = 8/8 6/10

13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6/12 ≠ 3/8 但 6/11 = 6/12 ？為什麼？ 你能看出哪一個圖形是6/10嗎？

14 研究結果(cont.) 八、教師常認為第一次學沒學會無所謂，反正中學有機會再學一次，其實並不然

15 研究結果(cont.) 九、評量時，教師不應該只注重答案的對錯，更應該注意學生的解題過程

16 研究結果(cont.) 十、學生犯錯的原因之一是教師將他們放在一個容易犯錯的環境 4 5 1 9 5 4

17 結論 Piaget理論的迷思 教師應分析具體教具教學與概念之間的關係 教師不要期望學生會操作教具來了解公式

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19 學童法和初學法的特徵 1. 傾向於使用整數(whole number) 2. 包括點數(Counting)或疊加(adding)的方法 3
Piaget認知發展理論的要點是人處理資訊的容量會隨年齡增加而增大，Case(1975，1978)據此提出假設“當學習者所處的學習環境，需求他掌握的資訊量超過他的能力時，就趨向發展出合理但過於簡化的解題策略”，就是所謂的學童法 成人算則 有效率的解題策略，只要會算，不必了解其意義

20 Piaget 認知發展理論 sensorimotor stage (0~2)智慧採取感覺動作形式 →preoperation period(3~7)直覺的本能 →concrete operational stage(8~11)能以具體經驗解決問題 →formal operations stage(12~15)能做抽象思維