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第七章 FIR数字滤波器的设计方法 IIR数字滤波器: FIR数字滤波器: 可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性
离散时间信号—序列 可以严格线性相位,又可任意幅度特性 因果稳定系统 可用FFT计算 但阶次比IIR滤波器要高得多
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学习目标 掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计FIR滤波器的最优化方法
理解IIR与FIR数字滤波器的比较
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一、线性相位FIR滤波器的特点 FIR滤波器的单位冲激响应: 系统函数: 在 z 平面有N –1 个零点
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1、线性相位条件 h(n)为实序列时,其频率响应: 线性相位是指 是 的线性函数 即群延时 是常数 第一类线性相位: 第二类线性相位:
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第一类线性相位:
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第一类线性相位 的充要条件: n = (N – 1) /2 为h(n)的偶对称中心
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第二类线性相位 的充要条件: n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心
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2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点 由 系统函数:
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1)h(n)偶对称 频率响应: 相位函数: 为第一类线性相位
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2)h(n)奇对称 频率响应: 相位函数: 为第二类线性相位
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3、幅度函数的特点 1)h(n)偶对称,N为奇数 幅度函数:
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其中:
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其中:
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2)h(n)偶对称,N为偶数 幅度函数:
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其中:
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其中:
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故不能设计成高通、带阻滤波器
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3)h(n)奇对称,N为奇数 幅度函数:
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其中:
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其中:
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4)h(n)奇对称,N为偶数 幅度函数:
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其中:
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其中:
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h(n)为奇对称时,有900相移,适用于微分器和900移相器,而选频滤波器采用h(n)为偶对称时
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4、零点位置 由 得: 1)若 z = zi 是H(z)的零点,则 z = zi-1 也是零点 2)h(n)为实数,则零点共轭成对
线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对
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1) 零点:
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2) ,即零点在单位圆上 零点:
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3) ,即零点在实轴上 零点:
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4) 即零点既在实轴上,又在单位圆上 零点:
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二、窗函数设计法 1、设计方法 w(n):窗函数序列 要选择合适的形状和长度
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以低通滤波器为例讨论: 线性相位理想低通滤波器的频率响应: 其理想单位抽样响应: 中心点为 α 的偶对称无限长非因果序列
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取矩形窗: 则FIR滤波器的单位抽样响应: 按第一类线性相位条件,得
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加窗处理后对频率响应的影响: 时域乘积相当于频域卷积 而矩形窗的频率响应:
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理想滤波器的频率响应: 其幅度函数: 则FIR滤波器的频率响应:
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幅度函数:
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加窗函数的影响: 不连续点处边沿加宽形成过渡带,其宽度(两肩峰之间的宽度)等于窗函数频率响应的主瓣宽度。 在 处出现肩峰值,两侧形成起伏振 荡,振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少 改变N只能改变窗谱的主瓣宽度,但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定,称为Gibbs效应
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2、各种窗函数 窗函数的要求: 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度 以减小肩峰和波纹
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矩形窗 窗谱: 幅度函数: 主瓣宽度最窄: 旁瓣幅度大
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三角形(Bartlett)窗 窗谱: 幅度函数: 主瓣宽度宽: 旁瓣幅度较小
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汉宁(Hanning)窗 (升余弦窗) 幅度函数: 主瓣宽度宽: 旁瓣幅度小
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海明(Hamming)窗 (改进的升余弦窗) 幅度函数: 主瓣宽度宽: 旁瓣幅度更小
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布莱克曼(Blackman)窗 (二阶升余弦窗) 幅度函数: 主瓣宽度最宽: 旁瓣幅度最小
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凯泽(Kaiser)窗 :第一类变形零阶 贝塞尔函数
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阻带最小衰减只由窗形状决定 过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关 窗函数 窗谱性能指标 加窗后滤波器性能指标 矩形窗 三角形窗 汉宁窗 海明窗
旁瓣峰值 /dB 主瓣宽度 过渡带宽 阻带最小衰减 矩形窗 三角形窗 汉宁窗 海明窗 布拉克曼窗 凯泽窗 -13 -25 -31 -41 -57 2 4 6 0.9 2.1 3.1 3.3 5.5 5 -21 -44 -53 -74 -80 阻带最小衰减只由窗形状决定 过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关
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3、窗函数法的设计步骤 给定理想的频率响应函数 及技术指标 求出理想的单位抽样响应 根据阻带衰减选择窗函数 根据过渡带宽度确定N值
求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应 计算频率响应 ,验算指标是否满足要求
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公式法: IFFT法: 对 M点等间隔抽样: 计算其IFFT,得:
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4、线性相位FIR低通滤波器的设计 例:设计一个线性相位FIR低通滤波器, 给定抽样频率为 , 通带截止频率为 , 阻带起始频率为 ,
给定抽样频率为 , 通带截止频率为 , 阻带起始频率为 , 阻带衰减不小于-50dB,幅度特性如图所示 解: 1)求数字频率
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2)求hd(n)
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3)选择窗函数:由 确定海明窗(-53dB) 4)确定N 值
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5)确定FIR滤波器的h(n) 6)求 ,验证 若不满足,则改变N或窗形状重新设计
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5、线性相位FIR高通滤波器的设计 理想高通的频响: 其单位抽样响应:
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6、线性相位FIR带通滤波器的设计 理想带通的频响: 其单位抽样响应:
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7、线性相位FIR带阻滤波器的设计 理想带阻的频响: 其单位抽样响应:
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三、频率抽样设计法 1、设计方法 对理想频率响应等间隔抽样 作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值
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窗函数设计法:
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内插公式:
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抽样点上,频率响应严格相等 抽样点之间,加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓,内插越接近理想值,逼近误差较小
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1、线性相位的约束 1)h(n)偶对称,N为奇数 幅度偶对称: 相位函数:
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2)h(n)偶对称,N为偶数 幅度奇对称: 相位函数:
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2、频率抽样的两种方法
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1)第一种频率抽样 系统函数: 频率响应:
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2)第二种频率抽样 系统函数: 频率响应:
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3、线性相位第一种频率抽样 h(n)为实数序列时,H(k)圆周共轭对称 即: 对称中心: 又线性相位:
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当N为奇数时: 当N为偶数时:
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当N为奇数时: 当N为偶数时:
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频率响应: 当N为奇数时: 当N为偶数时:
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4、线性相位第二种频率抽样 h(n)为实数序列时,H(k)圆周共轭对称 即: 对称中心: 又线性相位:
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当N为奇数时: 当N为偶数时:
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当N为奇数时: 当N为偶数时:
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频率响应: 当N为奇数时: 当N为偶数时:
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5、过渡带抽样的优化设计 增加过渡带抽样点,可加大阻带衰减 不加过渡抽样点: 加一点: 加两点: 加三点:
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增加过渡带抽样点,可加大阻带衰减,但导致过渡带变宽
增加N,使抽样点变密,减小过渡带宽度,但增加了计算量 优点:频域直接设计 缺点:抽样频率只能是 或 的整数倍, 截止频率 不能任意取值
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例:利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器,截止频率为0.5π,抽样点数为N=33,要求滤波器具有线性相位。
解: 按第一种频率抽样方式,N=33,得抽样点
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得线性相位FIR滤波器的频率响应: 过渡带宽: 阻带衰减:-20dB
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增加一点过渡带抽样点 令H(9)=0.5 过渡带宽: 阻带衰减:-40dB
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增加两点过渡带抽样点 且增加抽样点数为N=65 令H(17)=0.5886 H(18)=0.1065 过渡带宽: 阻带衰减:-60dB
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四、设计FIR滤波器的最优化方法 1、均方误差最小准则 频率响应误差: 实际频响 理想频响
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均方误差: 当 时 即 相当于矩形窗 ∴矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则
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2、最大误差最小化准则 (加权chebyshev等波纹逼近)
当 为偶/奇对称,N为奇/偶数的四种情况 其频响 为偶对称时 N为奇数: N为偶数:
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为奇对称时 N为奇数: N为偶数: 利用三角恒等式将 表示成两项相乘形式
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N为奇数 N为偶数 1 奇对称 偶对称
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其中: 由下而上由 求
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加权逼近误差函数: 逼近函数 加权函数 加权chebyshev等波纹逼近: 求一组系数 使各频带上 的最大绝对值最小 A — 各通带和阻带
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交错定理:若 是r个余弦函数的线性组合。即
A是 内的一个闭区间(包括各通带、阻带,但不包括过渡带), 是A上的一个连续函数, 则 是 的唯一地和最佳的加权chebyshev逼近的充分必要条件是: 加权逼近误差函数 在A中至少有 个极值点,即A中至少有 个点 ,且 使得 且
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, , , ,N 设要求滤波器频率响应: 寻找一个 使其在通带和阻带内最佳地一致逼近 参数: 根据交错定理: 若 最佳一致逼近 则
在通、阻带内具等波纹性 故又称等波纹逼近
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极值点数目 最大极值点数 的极值点数+ 单有极点 根据 知 的极值点数为: 偶对称 N为奇数 N为偶数 奇对称 单有的极值点是除 外的频带端点处 如低通有2个,带通有4个
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最优线性相位FIR滤波器的设计步骤 1)输入数据,滤波器性能要求,滤波器类型 2)根据类型和 的长度N,确定 的个数r 3)在 频率区间,用密集的格点表示离散频率 4)计算各格点频率上的 和 函数值 加权逼近误差: 将 , 表示成 5)用公式表示逼近问题 6)用Remez算法,求逼近问解的解 7)计算滤波器的单位抽样响应
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Remez算法 1)按等间隔设定 个极值点频率的初始值 其中: , , 设误差函数值为δ,则
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未知数: 和δ,但求解困难 可求
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2)用解析法求 其中:
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3)求 值 利用重心形式的拉格朗日内插公式得 其中:
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4)求 5)判断是否所有频率上皆有 若是,结束计算 为最佳逼近, 若否, 误差曲线的 个局部极值频率点 求 作为新的一组交错点组频率,返回步骤2) 重新计算 值, , 前后两次迭代的 值相等, 终止条件: 即收敛于其上限 误差曲线每个格点频率上 (r+1)个极值点频率处 ,且正负交错。
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加权函数及其它参数的确定: 、 已知N、 ,求最佳 ,通、阻带加权误差相同 若 、 已知,则可规定加权函数 则经Remez解法迭代得 若 、 已知,则固定 ,改变 值,重复迭代 使 满足要求
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计算滤波器的单位抽样响应 由 对 频域抽样得P(k),L点 时不混叠) ( 求 的L点IDFT即得
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偶对称,N为奇数时 如 由 可求得h(n) 偶对称,N为偶数时 如
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五、IIR和FIR数字滤波器的比较 IIR滤波器 FIR滤波器 h(n)无限长 h(n)有限长 极点位于z平面任意位置 极点固定在原点
滤波器阶次低 滤波器阶次高得多 非线性相位 可严格的线性相位 递归结构 一般采用非递归结构 不能用FFT计算 可用FFT计算 可用模拟滤波器设计 设计借助于计算机 用于设计规格化的选频滤波器 可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器
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