第 23 講 二 重 積 分 銘傳大學網路教學 製作人 應用統計與資訊學系.

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1 第 講 二 重 積 分 銘傳大學網路教學 製作人 應用統計與資訊學系

2 本講內容 § 單變數函數積分之回顧 § 二重積分的定義與性質 § Fubini 定理 § 變元代換 § 各種不同場合之應用

3 § 單變數函數積分之回顧

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8 § 二重積分的定義與性質

9 R

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12 z=f(x,y)=1+x2+y2

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16 (重積分與面積) 6 R =(7-1)(6-2)=24 2 1 7

17 Repeat integral or iterative integral

18 (重積分與面積) 是否有類似的處理方法? Fubini 定理 及其推廣

19 (重積分與體積)

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23 § Fubini 定理

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28 x

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30 R

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48 例 4 試求函數 z = f(x,y)=4-x2-2y2 與 x-y 平面所界出的橢球體積 (如圖)

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54 【例5】試計算 之值 這裡我們無法直接用過去學過的方法, 求得此一積分式的值 (註)關於此一積分式的重要性, 請參關 Willian, B. Geartart and Harris s.Shultz, “The Function (sin x)/x” , The College Mathematic Journal, 21(2), Mar 1990, p90-99

55 Step 1 先求出 之值 Step 2 證明 Step 3

56 因此, 如果我們能先計算出 之值, 則問題便可迎刃而解

57 Sol: Step 1 先求出 之值

58 Step 1 先求出 之值

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63 之值

64 step2

65 step2 Step 3

66 利用上面的結果, 我們可以進一步求下列的積分值

67 Sol: 令 則由於

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70 變元代換

71 y x

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78 (例 7) 試求右圖之 極座標方程式 , r=3 cos 3 θ , 所圍成的面積

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80 斜線區域面積

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82 全部面積

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90 § 各種不同場合之應用

91 【例11】(統計學上的應用)  如果隨機變數 X 服從常態分佈且期望值=E(X)=μ; 異數數=Var(X)=σ2, 則 X的機率度可以寫表示為

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93 如欲直接證明此一機率的總和為 1, 亦即 並不容易

94 但如果透過雙重積分及變數變換, 證明 則問題可以迎刃而解

95 (Proof)

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98 續上頁

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100 利用這個結果,我們令 則 且

101 表面積的計算原理

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104 R

105 y=1-x y=x-1

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107 例13 試求半圓球體 z=f(x,y)=1+x2+y2 在單位圓上所形成之球面表面積

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111 本講內容 § 單變數函數積分之回顧 § 二重積分的定義與性質 § Fubini 定理 § 變元代換 § 各種不同場合之應用