审讯过程的数学模型 倪致祥 主讲.

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1 审讯过程的数学模型 倪致祥 主讲

2 审讯过程的数学模型 引言 基本模型 讯问策略一 讯问策略二 讯问策略三 综合讯问策略 结论

3 引言 审讯过程是侦察刑事犯罪案件中的一个重要环节，它对侦破案件、确认犯罪事实具有重要作用。
实际的审讯过程涉及的因素多，非常复杂，我们如何建立一个实用的数学模型呢？ 首先我们应该把各种可能的因素都罗列出来，分析一下那些是主要的因素，然后抓住主要因素来建立一个简化的基本模型。 对基本模型要用实践检验，再加以修正或完善。 下面我们就来建立审讯过程的数学模型。

4 基本模型 审讯过程可以看成讯问人（公安检察人员）和被讯问人（犯罪嫌疑人）的对策过程。
为了简单起见，这里我们把研究的范围限制在被讯问人单独作案的情况，这时被讯问人组成一个局中人。 按刑事诉讼法的要求，在审讯中讯问者至少应为两人；但这几个人是采用同一共同策略的，因此从对策论的观点来看，讯问者也只能算作一个局中人。

5 基本模型 按上面的分析，单独作案的审讯过程可以归结为有二个局中人的二人对策问题。
一般情况下，被讯问人往往企图想方设法来减轻自己的刑事责任；而讯问人的目的是通过审讯尽可能地掌握案情事实，并非只是为了给被讯问人多判几年。因此两者的关系并不是完全对立的。 由于两个局中人不象在博弈过程中那样完全对立，因此它不同于常见的二人常和对策问题，不能套用已知的矩阵对策的方法和结果，必须另辟蹊径，建立新的数学模型来分析处理。

6 基本模型 支付表一 假定被讯问人的实际犯罪量为A ，它可用法定的刑期或罚金来定量化。
为简单起见，我们把被讯问人的策略集概括为不交代，交代；而对被讯问人的犯罪事实，讯问人有掌握和不掌握二种情况。 由此我们可以得到被讯问人的基本支付表（支付矩阵）如右表： 支付表一 支付值 不掌握 掌 握 不交代 A 交 代

7 基本模型 支付表一 考虑到通常讯问人仅掌握部分犯罪事实，而被讯问人也可能采取部分交代的策略，我们必须用统计的办法来描述。
假设讯问人对被讯问人的犯罪事实的掌握程度为 p ：当完全不掌握时 p = 0 ，完全掌握时 p = 1 ，一般情况下 0 < p < 1 。 支付表一 支付值 不掌握 1-p 掌 握 p 不交代 1-q A 交 代 q

8 基本模型 同时假设被讯问人对问题的交代程度为 q ：当完全不交代时 q = 0 ，完全交代时 q = 1 ，一般情况下 0 < q < 1 。 因此当被讯问人采用策略 q ，即交代程度为 q 时其支付的期待值为 f = q A + ( 1 – q) p A (1) 支付表一 支付值 不掌握 1-p 掌 握 p 不交代 1-q A 交 代 q

9 基本模型 从经济学的角度看，人类行为的动机可归结为利益动机：人们在行为决策时通常遵循“利益最大化”或“支付最小化”的原则。
因而被讯问人倾向于采取使其支付期待值 f 为最小的策略。根据(1)式，我们有 fq = ( 1 – p ) A > (2) 故当 q = 0 时基本支付的期待值为最小，即被讯问人有隐瞒罪行的自然倾向，这与我们的经验是一致的。

10 基本模型 另一方面，讯问人的目标是使被讯问人的交待程度 q 为最大，即设法使被讯问人采用 q 值较大的策略。显然，这是一种特殊的二人对策问题。 由于在此问题中二个局中人的利益不象二人零和对策中那样完全对立，因此讯问人可以采用适当措施来调整被讯问人的支付表，改变支付期待值的最小值点，从而达到让被讯问人交代的目标。

11 讯问策略一 经认真观察，我们不难注意到掌握不掌握被讯问人的犯罪事实是由客观因素决定的，并不是讯问人主观上可以自由选取的策略。因此基本支付表中并没有反映出讯问人策略选取的影响。 考虑到我国的基本刑事政策是“惩办与宽大相结合”，讯问人首先可以采取的一个策略是“坦白从宽、抗拒从严”。 这个策略怎样用数学的方法来表述呢？

12 讯问策略一 支付表二 为了便于数学处理，我们引入宽严系数a：
一个犯罪量为 A 的被讯问人如主动交代，则其支付值可以从宽到(1－a)A ；如抗拒交代，则其支付值可以从严到(1＋a)A 。 此策略后，被讯问人的支付表为表二 容易看出支付表一为表二中取 a = 0 的特例。 支付表二 支付值 不掌握 1 - p 掌 握 p 不交代 1 – q (1+a)A 交 代 q (1-a)A

13 讯问策略一 支付表二 在讯问人采用宽严策略后，被讯问人的支付期待值为 f=q(1-a)A+(1-q)p(1+a)A (3)
fq =(1-a)A-p(1+a)A (4) 支付表二 支付值 不掌握 1 - p 掌 握 p 不交代 1 – q (1+a)A 交 代 q (1-a)A

14 讯问策略一 fq =(1-a)A-p(1+a)A (4) 定义满足条件 fq = 0 的掌握程度为 pc ，由(4)式可得
pc = (1 – a)/(1 + a) (5) 当 p > pc 时 f(q) 为减函数，在 q = 1 处取最小值； 反之当 p < pc 时 f(q) 为增函数，在 q = 0 处取最小值。

15 讯问策略一 上面的分析说明 pc 是被讯问人由不交代转变为交代的临界值，它完全由讯问人所采取的策略即宽严系数 a 所决定，随着 a 的增加而变小。 对于给定的掌握程度 p，临界值 pc 变小有助于使被讯问人交代。 例如当 a = 0.1 时，pc = 9/11 ，因此只有掌握程度 p 大于 9/11 时被讯问人才会主动交代；而当 a = 0.2 时， pc = 2/3 ，只要掌握程度 p 大于 2/3 即可出现主动交代。

16 讯问策略一 刚才的讨论充分显示了宽严策略对审讯结果的作用，这在相当程度上与事实相符。 然而实际应用中 a 的大小受到严格限制，有一个上限。
坦白从宽不是宽大无边，我们总不能因为一个杀人犯主动坦白而将他无罪释放。 如果当宽严系数 a 取上限时，掌握程度 p 仍小于临界值 pc ，这时要想让被讯问人坦白，必须另想办法。

17 讯问策略二 信息经济学告诉我们：信息具有不对称性和不完全性。
对于审讯过程来说，讯问人不完全了解被讯问人的实际犯罪量 A ；同时被讯问人也不完全了解讯问人的掌握程度 p 。 实际上被讯问人在用支付表二来作决策时所依据的只是他对讯问人掌握程度的估计值 p’ ，而不是实际值 p 。我们把估计值对实际值之比称为失真程度，记为 k ，因此有 p’ = k p (6)

18 讯问策略二 一般来说，失真程度 k 的大小由信息的发送方式和接受方式共同决定，它可以等于1（不失真情况），也可能小于1 或大于1，在特殊情况下，k 的值可以变得很小或者很大。 空城计中诸葛亮只有二千五百人马，却吓跑了司马懿的十五万大军，这是由于诸葛亮的妙计使司马懿对蜀军实力估计的失真程度非常大。 由表二，考虑失真后被讯问人对支付期待值的估计值为 f = q(1-a)A + (1-q)kp(1+a)A (7)

19 讯问策略二 f = q(1-a)A + (1-q)kp(1+a)A (7) 其导数为 fq = (1-a)A - kp(1+a)A (8)
pc = (1 – a)/(1 + a)/k (9) 由上式容易看出随着失真程度的增加，临界值 pc在减小，这将促使被讯问人坦白交代。

20 讯问策略二 上面的分析提示我们：为了达到使被讯问人坦白交代的目的，讯问人可以采取的第二种策略是设法加大失真程度的值。
这要求讯问人具有较高的讯问技术。 一个有经验的讯问人常常可以设法使失真程度的值 k 达到或超过 2，此时如果取 a = 0.2 ，则由(9)式容易求出掌握程度的临界值 1/3 ，即实际掌握程度只要大于1/3 即可让被讯问人坦白交代。

21 讯问策略二 当然失真程度 k 也不是越大越好：在一定的掌握程度 p 下，由于 p’= kp < = 1 ，因此 k 值存在一个上限 1/p ，失真程度不可能取得很大； 另一方面考虑到 p > pc 是坦白交代的充分条件，由公式(8)可得 k >= (1 – a)/(1 + a)/p (10) k 值也不必取得过大。 由公式(10)我们发现如果实际掌握程度 p 较大时，对 k 值的要求可以低一些；但如果 p 不太大时我们就需要较大的 k 值，即较高的审讯技术来达到让被讯问人坦白交代的目的。 较大的 k 值可以大幅度地降低临界掌握程度 从而取得良好的效果。

22 讯问策略二 然而必须注意到讯问人的第二种策略（扩大失真程度）只有与第一种策略配合才能起作用；
假如我们单独采用第二种策略，即令 a = 0 ，由(10)式可知这时将要求 k 大于 1/p ，而后者恰好是 k 值的上限。 这个矛盾说明了单独采用第二种策略将得不到任何效果。

23 讯问策略三 讯问人可采取的第三种主要策略是对被讯问人进行思想教育（或感化）。
我们知道犯罪嫌疑人之所以犯罪的原因虽然很多，但在被拘留或逮捕后仍拒不交代大多数是因为其坚持个人的立场，只考虑自己的得失，不愿承担罪责。 站在社会的立场上客观地看，犯罪嫌疑人过去的犯罪行为已经给社会和他人造成了很大的损失和伤害，现在拒不交代的做法还将进一步增加社会为查清真相需用的支付。

24 讯问策略三 通常这种社会支付随犯罪量的增加而变大 为简单起见我们假设它与犯罪量成正比，记为 sA 。社会支付见右表
适当而细致的思想教育常常能使一些犯罪嫌疑人幡然悔悟、深刻反省自己过去的行为，把立场转变到社会的一边来。 支付表三 社 会 支付值 不掌握 1 - p 掌 握 p 不交代 1 – q sA 交 代 q

25 讯问策略三 为了能定量处理，我们引入一个表征经思想教育后被讯问人立场转变程度的量——立场转化率，记为 r 。
r = 0 表示立场无转化，而 r = 1 表示立场完全转化到社会一边。 当讯问人单独使用思想教育，即第三种策略时，被讯问人支付的期待值应为其站在个人立场上的支付值与站在社会立场上的支付值的加权平均，权重为立场转化率 r ，即 f = (1-r)[qA+(1-q)pA] + r(1-q)sA (11)

26 讯问策略三 变化率为 fq = (1-r)(1-p)A - rsA (12) 由此可得临界掌握程度为
pc = 1 – rs/(1-r) (13) 显然 pc 随着 r 值的增加而迅速减小，这说明讯问人可以通过采用思想教育的策略，使被讯问人转变立场，从而达到使被讯问人坦白交待的目的。

27 综合讯问策略 如果我们同时采用上述三种策略，被讯问人的支付期待值将成为 (14) 其变化率为 (15)
由条件fq = 0 ，可得临界掌握程度为 (16) 显然(16)式中 pc 的值小于公式(5)、(9)和(13)中的值，这表明在一般情况下讯问人如能综合使用三种策略将会得到最好的审讯效果。

28 结论 按照上面对审讯过程中讯问人的三种主要策略及其对审讯结果的效用的研究，我们发现坦白从宽、抗拒从严和思想教育这两种策略均可以单独运用于审讯过程中，可以认为是基本策略。 而增大被讯问人估计失真程度的策略如单独运用并无作用，仅当其与两种基本策略配合作用时才能取得明显效果，因而是辅助策略。 这些结论与审讯过程的实践基本一致，说明了我们所建立的审讯模型基本正确，能够定量地反映出审讯过程的本质

29 结论 当然在实际中被讯问人并不是抽象的“经济人”，严格地说经济学的原理不完全适用。
我们在建立模型时略去了许多次要因素，所得的结果虽在原则上是正确的，但对于具体的审讯过程只有参考意义。 请同学们想一想，如果犯罪嫌疑人不是单独作案，我们的模型应该如何发展？