第 8 章 區間估計.

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1 第 8 章 區間估計

2 統計實例 Food Lion 於 1957 年成立時的名 稱是 Food Town，目前已是美國 最大的連鎖超市之一，在美國的
東南部 11 州共有 1,200 家分店。 Food Lion 建立了七類存貨組合的 LIFO 指標，包括雜貨、紙類/家用品、寵物用品、美容保健產品、乳品、香菸/菸草，以及啤酒/酒。 最近一年，美容保健產品類的 LIFO 指標是 1.015，以 95% 的信賴水準，Food Lion 求算樣本估計值的邊際誤差是 0.006。 母體的 LlFO 指標的 95% 區間估計值是 到1.021。此種準確度是很理想的。 第8章區間估計 第290頁

3 第 8 章 區間估計 8.1 母體平均數：σ 已知 8.2 母體平均數：σ 未知 8.3 樣本大小的決定 8.4 母體比例
8.1 母體平均數：σ 已知 8.2 母體平均數：σ 未知 8.3 樣本大小的決定 8.4 母體比例 第8章區間估計 第289頁

4 邊際誤差與區間估計值 點估計量的值不會恰好等於母體參數值。 區間估計值 (interval estimate) 通常是由點估計值加或減
某個值求得，我們稱這個加減值是邊際誤差 (margin of error)。區間估計值的一般形式是： 點估計值 邊際誤差 區間估計值可以讓我們瞭解：點估計值與母體參數值的 接近程度。 第8章區間估計 第290頁

5 邊際誤差與區間估計值 母體平均數的區間估計值的通式如下： 第8章區間估計 第291頁

6 8.1 母體平均數：σ 已知 為了求算母體平均數的區間估計值，必須知道母體的標準差 σ 或樣本的標準差 s 以計算邊際誤差。
8.1 母體平均數：σ 已知 為了求算母體平均數的區間估計值，必須知道母體的標準差 σ 或樣本的標準差 s 以計算邊際誤差。 σ 很少是已知的數值，但歷史資料或其他某些可用的訊息，讓我們得以在抽樣前取得母體標準差的優良估計值。 在此情況下，可視母體標準差已知，我們稱此為 σ 已知 (σ known) 的情況。 第8章區間估計 第291頁

7 母體平均數的區間估計：σ 已知 樣本平均數的抽樣誤差等於或少於 的機率為 1 - α 。 的抽樣分配 所有 值 的 1 - α  α /2
樣本平均數的抽樣誤差等於或少於 的機率為 1 - α 。 的抽樣分配 所有　值 的 1 - α α /2 α /2  第8章區間估計

8 母體平均數的區間估計：σ 已知 的抽樣分配 所有 值 的 1 - α   α /2 α /2 此區間不包含 μ interval
所有　值 的 1 - α  α /2 α /2 此區間不包含 μ  interval includes m 此區間包含 μ [ ] [ ] [ ] 第8章區間估計

9 母體平均數的區間估計：σ 已知 母體平均數的區間估計值：σ 已知 其中： 為樣本平均數 1 -α為信賴係數
為樣本平均數 1 -α為信賴係數 zα/2 為右尾面積α/2 的標準常態分配的 z 值 σ為母體標準差 n 為樣本大小 第8章區間估計 第293頁

10 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 第7章 CJW 例子中的歷史資料顯示，滿意度分數的母體是標準差σ ＝20 的常態分配。
第8章區間估計 第292頁 圖8.1

11 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 利用標準常態分配表，我們可以發現有 95% 的常態分配隨機變數的值會落在離平均數 ±1.96 個標準差內。因為 的抽樣分配是常態分配，因此，有 95% 的 值必須落在 μ ±1.96σ 內。洛依德公司的例子中， 的抽樣分配是常態分配，標準誤 σ ＝ 2。因為 ±1.96σ ＝1.96(2)＝3.92。我們的結論是：樣本大小為 n＝100 而得到的樣本平均數會有95% 落在母體平均數 ±3.92 的範圍內 (見圖 8.2)。 第8章區間估計 第 頁

12 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 第8章區間估計 第292頁 圖8.2

13 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 以 洛依德公司為例，如果以 3.92 為邊際誤差，可以用 ±3.92 來計算 μ 的區間估計值。為了解釋區間估計值的意義，我們先假定選取三個不同的隨機樣本，每個樣本都有 100 名CJW 的顧客，第一個樣本的樣本平均數是圖 8.3 的 。由圖 8.3 可看出，自 加減 3.92 得到的區間會涵蓋母體平均數 μ 。如果隨機樣本得到的 如圖 8.3 所示，可以看到 顯然不等於 ，但是自 加減 3.92 得到的區間仍會涵蓋母體平均數。然而，若第三個樣本平均數是圖 8.3 的 ，情況又是如何？我們可看出此情況下的 ± 3.92 而形成的區間並未涵蓋母體平均數μ。因為 落在抽樣分配的右尾，而且距離 μ 超過 3.92。 第8章區間估計 第292頁

14 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 圖 8.3 陰影區內的任何樣本平均數 所建立的區間，都會包含母體平均數 μ 。由於所有可能的樣本平均數有 95% 都落在陰影區，所以將樣本平均數 加或減3.92 所形成的所有區間，有 95% 會包含母體平均數 μ 。 第8章區間估計 第292頁

15 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 第8章區間估計 第293頁 圖8.3

16 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 假定最近數週內，洛依德公司的品管團隊調查 100 位顧客，得到的樣本平均滿意度分數是 ＝82，以 ± 3.92計算區間估計值，可以得到 82 ± 3.92。因此，以最近一個月的樣本資料得到的區間估計值是 82－3.92＝78.08 到 82＋3.92＝85.92。由於以 ±3.92 建立的各種區間估計值中，有 95% 的區間估計值會包含母體平均數，因此，我們可以說有 95% 的信心，78.08 到 的區間會包含母體平均數 μ 。我們也可以說，這個區間是在 95% 的信賴水準 (confidence level) 下建立的。其中，0.95稱為信賴係數 (confidence coefficient)，區間 到 則稱為 95% 信賴區間 (confidence interval)。 第8章區間估計 第293頁

17 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 我們運用式 (8.1) 來建立 CJW 的 95% 信賴區間。95% 信賴區間，其信賴係數 (1－α)＝0.95，因此，α ＝0.05。利用標準常態分配的機率表，右尾面積是 α/2＝0.05/2＝0.025，z0.025＝1.96。洛依德公司的樣本平均數是 ＝82，σ= 20，樣本大小n = 100。我們可以得到 因此，利用式(8.1)，邊際誤差是 3.92，95% 的信賴區間是82－3.92＝78.08到 82＋3.92＝85.92。 第8章區間估計 第 頁

18 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 雖然95% 的信賴水準很常使用，但其他如 90% 及 99% 的信賴水準也很常見。最常見的信賴水準之zα/2值整理在表8.1。 第8章區間估計 第294頁 表8.1

19 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 使用這些值及式 (8.1) ，CJW 問題的 90% 信賴區間是
因此，在 90% 的信賴水準下，邊際誤差是 3.29，信賴區間是 82－3.29＝78.71 到82＋3.29＝85.29。同樣地，99% 的信賴區間是 因此，在 99% 的信賴水準下，邊際誤差是 5.15，信賴區間是 82－5.15＝76.85 到85＋5.15＝87.15。 比較90%, 95% 及99% 三種信賴水準，我們可以看到，信賴水準提高時，信賴區間的寬度也會增加。 第8章區間估計 第294頁

20 邊際誤差與區間估計：σ已知(實例) 實際樣本數 大部分的實際應用中，以式 (8.1) 建立母體平均數的
信賴區間時，樣本大小n ≥ 30 就已足夠。 如果母體不是常態分配，但大致上對稱，樣本大小至少 為 15，也可以利用式 (8.1) 得到良好的近似信賴區間。 樣本更小時，只有分析人員相信或可以假定母體分配 至少是近似常態時，才能使用式 (8.1)。 第8章區間估計 第294頁

21 8.2 母體平均數：σ 未知 如果不能在抽樣前假定母體標準差 σ 已知，就要以樣本標準差 s 來估計母體標準差。
8.2 母體平均數：σ 未知 如果不能在抽樣前假定母體標準差 σ 已知，就要以樣本標準差 s 來估計母體標準差。 此種情況稱為 σ 未知 (σ unknown) 的情況。 若以 s 來估計 σ ，邊際誤差及母體平均數的區間估計值是根據稱為 t 分配 (t distribution) 的機率分配求算而得。 第8章區間估計 第296頁

22 t 分配 t 分配是由一群類似的機率分配所組成的。 任一 t 分配都有其特定的參數，即所謂的
自由度 (degrees of freedom)。 可能有自由度為1、自由度為 2、自由度為 3 等等 不同的 t 分配。 第8章區間估計 第296頁

23 t 分配 當自由度增加時，t 分配和標準常態分配的差距將 愈來愈小，圖 8.4 顯示 t 分配在自由度 10 和 20 時與
標準常態分配圖的比較。 當自由度較高時，t 分配較不分散，且更接近 標準常態機率分配。另外也請注意，t 分配的平均數 為 0。 第8章區間估計 第296頁

24 t 分配 t 分配 (自由度 20) 標準常態 分配 t 分配 (自由度 10) z, t 第8章區間估計 第297頁 圖8.4

25 t 分配 我們將以 t 的右下標表示 t 分配右尾的機率，正如 z0.025 表示標準常態分配右尾面積為 所對應的值一樣，t0.025代表 t 分配右尾面積為 所對應的 t 值。通常，我們以 tα/2表示 t 分配右尾面積為 α /2 時所對應的 t 值 (見圖 8.5)。 第8章區間估計 第297頁

26 t 分配 第8章區間估計 第297頁 圖8.5

27 t 分配 附錄B的表2為 t 分配表，表8.2為t分配表的一部分，表中的每一列對應到特定自由度的t分配。當 t 分配的自由度為 9時，則 t0.025＝2.262；同理，t分配的自由度是 60 時，t0.025＝2.000。當自由度繼續地增加，則 t0.025 愈逼近 z0.025＝1.96。 T 分配表中自由度為無限大(∞)的對應欄位中可發現標準常態分配的 z 值。假如自由度大於 100，就可用自由度無限大的 t值來近似。 自由度超過 100 的 t 分配，標準常態 z 值是很好的近似值。 第8章區間估計 第297頁

28 t 分配 標準常態 z 值 第8章區間估計 第298頁 表8.2

29 t 分配 第8章區間估計 第298頁 表8.2

30 t 分配 第8章區間估計 第298頁 表8.2

31 t 分配 第8章區間估計 第298頁 表8.2

32 母體平均數的區間估計：σ 未知 區間估計 其中： 1 - α= 信賴係數 tα/2 = 自由度為 n - 1，而右尾面積為α/2
s = 樣本標準差 第8章區間估計 第299頁

33 母體平均數的區間估計：σ未知(實例) 某個研究調查了美國家庭的信用卡帳戶餘額，以瞭解信用卡債務的情形。研究中共有 70 個家庭的信用卡帳戶資料的餘額，如表 8.3。 因為沒有任何歷史資料，我們並不知道信用卡帳戶餘額的母體標準差，因此，必須利用樣本標準差 s 來估計母體標準差 σ。接下來，我們要建立母體平均數的 95% 信賴區間。 第8章區間估計 第299頁

34 母體平均數的區間估計：σ未知(實例) 第8章區間估計 第299頁 表8.3

35 母體平均數的區間估計：σ未知(實例) 首先，利用表8.3的資料算出樣本平均數 ＝ $9,312，樣本標準差 s ＝$4,007。信賴水準是95%，樣本大小是 70，自由度為 n－1＝69，查表8.2可得適當的t0.025值。我們可在自由度為69的列找到右尾是0.025時的t0.025 = 1.995。 因此，母體平均數的點估計值是 $9,312，邊際誤差是 $955，95% 信賴區間是9,312－955＝$8,357 到 9,312＋955＝$10,267。 第8章區間估計 第 頁

36 母體平均數的區間估計：σ未知 如果母體是常態分配，式 (8.2) 的區間估計公式可以適用於任何大小的樣本，並產生確切的區間估計值。
如果母體不是常態分配，則式 (8.2) 只是區間估計的近似值。此種情況下，近似值的近似程度則視母體的分配及樣本大小而定。 第8章區間估計 第300頁

37 母體平均數的區間估計：σ未知 大部分的實際應用中，以式 (8.2) 建立母體平均數的信賴區間時，樣本大小n ≥ 30 就已足夠。
但是，如果母體分配有嚴重的偏態或是離群值，許多統計學者會建議最好將樣本大小增加到 50 或更多。 如果母體不是常態分配，但大致上對稱，樣本大小至少為 15，也可以用式 (8.2) 得到良好的近似信賴區間。 但在樣本更小時，只有分析人員相信或可以假定母體分配至少是近似常態時，才能使用式(8.2)。 第8章區間估計 第300頁

38 母體平均數的區間估計：σ未知 使用小樣本(實例)
以 Scheer 工業公司訓練計畫之評估為例，說明小樣本下之區間估計的推算過程。Scheer 工業公司的製造經理想要利用電腦來輔助訓練公司的維修人員，希望經由電腦訓練可減少訓練時間。為了評估這種訓練方式，該經理希望能夠估計在電腦輔助下的平均訓練時間。 假設管理者同意 20 名員工接受這項新的訓練，每一位員工所需的訓練天數如表 8.4 所示，樣本資料的直方圖如圖 8.7 所示。 第8章區間估計 第300頁

39 母體平均數的區間估計：σ未知 使用小樣本(實例)
第8章區間估計 第301頁 表8.4

40 母體平均數的區間估計：σ未知 使用小樣本(實例)
第8章區間估計 第301頁 圖8.7

41 母體平均數的區間估計：σ未知 使用小樣本(實例)
計算出的樣本平均數和樣本標準差如下。 查表得知自由度為 n－1＝19 時，t0.025＝2.093，運用式 (8.2) 可求得 95% 信賴區間的估計值。 因此，母體平均數之點估計值為 51.5 天，邊際誤差是 3.2 天，母體平均數之 95%信賴區間為 51.5－3.2＝48.3 天到 51.5＋3.2＝54.7 天。 第8章區間估計 第301頁

42 母體平均數的區間估計：σ未知 區間估計程序總整理
圖 8.8 列出兩種情況下的母體區間估計程序。大部分的實際應用中，樣本大小 n ≥ 30就已足夠。 如果母體是常態分配或近似常態，即使樣本大小不到 30 也可使用。但是 σ 未知的情況，如果母體有嚴重的偏態或是有離群值，樣本大小最好為 n ≥ 50。 第8章區間估計 第302頁

43 母體平均數的區間估計：σ未知 區間估計程序總整理
第8章區間估計 第302頁 圖8.8

44 8.3 樣本大小的決定 令 E = 所要的邊際誤差。 E 值是使用者在特定信賴水準下願意接受的邊際誤差。 第8章區間估計 第305頁

45 母體平均數區間估計的樣本大小 邊際誤差 母體平均數區間估計所需的樣本數 第8章區間估計 第 頁

46 母體平均數區間估計的樣本大小 即使 σ 未知，如果先前已有 σ 的初始值或計畫值(planning value)，仍可使用式 (8.3)。實務上有下列方式可供選擇： 利用前側實驗獲得的母體標準差作為 σ 的計畫值。 利用前測實驗獲得的樣本標準差作為 σ 的計畫值。 利用判斷或「最佳猜測法」來決定 σ 值。例如，先估計母體的最大值與最小值，最大值與最小值的差距可作為全距的估計值，再將全距除以 4 作為標準差的約略估計值，以作為母體 σ 的計畫值。 第8章區間估計 第306頁

47 母體平均數區間估計的樣本大小(實例) 在一個美國租車費用的調查中發現，租用中型汽車的平均費用是每天 $55。假設原先執行這項調查的公司想要執行另一項新的調查，以估計現階段在美國租用一輛中型汽車一天所需的費用。在設計此項新的研究時，計畫主持人特別指定在估計每天租車費的母體平均數時，必須採用的邊際誤差為 $2，信賴水準則為 95%。 我們可以瞭解到計畫主持人所指定的邊際誤差 E＝2，而 95% 的信賴水準表示 z0.025＝1.96。 第8章區間估計 第306頁

48 母體平均數區間估計的樣本大小(實例) 如此，只需要得到母體標準差 σ 的計畫值，即可算出符合條件的樣本大小。此時，一位分析師看過先前研究的樣本資料後，得到樣本標準差為 $9.65，將此值當作 σ 的計畫值，可得 如此，此項新的研究至少需要 個中型汽車日租金的樣本大小，才能滿足計畫主持人之邊際誤差為 $2 的要求。在這個例子中，算出的 n 值有小數點，我們採無條件進位法，因此，建議的樣本數是 90 個中型汽車租金的樣本。 第8章區間估計 第306頁

49 8.4 母體比例 母體比例 p 的區間估計值的通式是 第8章區間估計 第308頁

50 母體比例的區間估計 的抽樣分配在計算邊際誤差時扮演關鍵角色。 若np ≥ 5且 n(1－p) ≥ 5，則 的抽樣分配會近似 常態分配。
　的抽樣分配在計算邊際誤差時扮演關鍵角色。 若np ≥ 5且 n(1－p) ≥ 5，則 的抽樣分配會近似 常態分配。 第8章區間估計 第308頁

51 母體比例的區間估計 第8章區間估計 第308頁 圖8.9

52 母體比例的區間估計 區間估計 其中： 1 -α是信賴係數 zα/2為標準常態分配右尾面積α/2所對應的 z 值 是母體比例
第8章區間估計 第309頁

53 母體比例的區間估計(實例) 為了想瞭解女性高爾夫球員對高爾夫球課程的看法，針對全美 900 位女性高爾夫球員進行調查。調查結果發現，有 396 位女性高爾夫球員對練習發球的次數感到滿意，如此，對發球次數感到滿意的女性高爾夫球員之母體比例的點估計為396/900＝0.44。 第8章區間估計 第309頁

54 母體比例的區間估計(實例) 利用式 (8.6) 及 95% 的信賴水準，我們可得
因此，在 95% 的信賴水準下，邊際誤差為 且母體比例的區間估計為 至 之間。此調查結果得到的結論是：我們有 95% 的信心說，有 40.76% 至 47.24% 的女性高爾夫球員對其練習發球的次數感到滿意。 第8章區間估計 第309頁

55 母體比例的區間估計的樣本大小 邊際誤差 所需的樣本數 n 的公式如下
我們並不能使用上述公式來求算特定邊際誤差下的樣本大小，因為 必須在抽樣後才能得知。因此，我們需要 的計畫值以便計算所需的樣本大小。以符號p*表示 的計畫值。 第8章區間估計 第309頁

56 母體比例的區間估計的樣本大小 母體比例區間估計值所需的樣本數 此計畫值可依下列程序獲得：
利用以前來自相同或類似的樣本之樣本比例作為計畫值 p* 。 利用前測實驗選擇適當的樣本，此樣本比例值即可作為計畫值 p*。 利用判斷或「最佳猜測」來決定 p*值。 在沒有先前的實驗資料可用的情形下，可設 p*的計畫值為 0.50。 第8章區間估計 第310頁

57 母體比例的區間估計的樣本大小(實例) 再回到女性高爾夫球員的相關調查，假設公司有意執行一項新的調查，以估計對練習發球的次數感到滿意之女性高爾夫球員的母體比例。假若此調查之主持人希望在 95% 的信賴水準下，母體比例估計的邊際誤差為 0.025，則到底需要多大的樣本？ 第8章區間估計 第310頁

58 母體比例的區間估計的樣本大小(實例) 因為 E＝0.025 且zα/2＝1.96，所以我們需要一個計畫值 p*才能回答此一樣本數的問題。我們以之前的調查結果中的 ＝0.44當作計畫值 p*，則式 (8.7) 顯示出 因此，樣本大小必須至少為 1,514.5，估計的結果才能滿足邊際誤差的要求。將此數值無條件進位，建議應抽取 1,515 位女性高爾夫球員作為樣本。 第8章區間估計 第310頁

59 母體比例的區間估計的樣本大小(實例) 選擇計畫值的第 4 項建議是使用 p*＝0.50 作為計畫值，通常是沒有其他資訊時才會使用。要瞭解為什麼會用此值，請注意式 (8.7) 可看出樣本數和 p*(1－p*)值成比例，如果 p* (1－p*) 值大的話，則樣本數也會隨之增加。 表 8.5 列出某些 p*(1－p*) 的可能值，而 p*(1－p*) 的最大值即在 p*＝0.50。如果設定 p*＝0.50，則可以確定建議的樣本數會最大。實際上，我們建議以此較安全或較保守的方式來決定所需要的樣本數。在任何狀況下，設 p*＝0.50 將可保證有足夠的樣本數來確保達到所需的精確度。 第8章區間估計 第310頁

60 母體比例的區間估計的樣本大小(實例) 第8章區間估計 第310頁 表8.5

61 母體比例的區間估計的樣本大小(實例) 在女性高爾夫球員的調查例子中，若計畫值 p*＝0.50，則樣本大小將為
因此，建議樣本大小應取 1,537 位女性高爾夫球員。 第8章區間估計 第310頁

62 End of Chapter 8