幂函数.

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1 幂函数

2 幂函数的定义： 常数。 一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量， 为 注意：
（1）幂函数的解析式必须是 的形式， 前的系数必须是1，没有其它项。 （2）定义域与 的值有关系.

3 幂函数与指数函数的对比： 式子 名称 常数 x y 指数函数: y=a x 幂函数: y= xα 指数 幂值 a为底数 α为指数 底数 幂值
（a>0且a≠1) 幂函数: y= xα 指数 幂值 a为底数 α为指数 底数 幂值 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数 幂函数 指数函数

4 快速反应 （指数函数） （幂函数） （幂函数） （指数函数） （指数函数） （幂函数）

5 幂函数的图象及性质 五个常用幂函数的图像和性质 对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，-1时的情形。 (1) (2) (3)
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，-1时的情形。 五个常用幂函数的图像和性质 (1) (2) (3) (4) (5)

6 函数 的图像 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

7 函数 的图像 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

8 函数 的图像 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

9 2 y= x … -2 -1 1 2 3 4 y=x3 y=x1/2 -8 -1 1 8 27 64 / / 1 y=x3 x y 1 2
1 2 3 4 y=x3 y=x1/2 -8 -1 1 8 27 64 2 / / 1 y y=x3 1 2 3 4 -1 -2 -3 6 8 -4 -6 -8 y= x x

10 函数 的图像 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

11 函数 的图像 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：

12 y = x 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同. y= x3 y = x2 定义域 值 域 单调性 公共点 R
[0，+∞） R [0，+∞） R [0，+∞） 非奇非偶函数 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数 在R上是增函数 在( －∞,0)，(0, +∞）上是减函数 在R上是增函数 在(0，+∞)上是增函数 （1，1）

13 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 6 (-2,4) (2,4) y=x (-1,1) (1,1) (-1,-1)

14 1、所有幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1).
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数; α <0,在(0,+∞)上为减函数. 3、α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.

15 （1）5.20.8 与 5.30.8 (3) 练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （2）0.20.3 与 0.30.3
（1） 与 （2） 与 (3) 解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3　∴ < (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

16 例2：

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18 小结： 幂函数的性质: 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同. １.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数. α>1 0<α<1 a=1 3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。 α<0