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數學專題研習 組員﹕F.3C 林華 F.3C 李曉櫻 F.3C 黃曉琳
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簡介 《點點成積》這份專題習作是研究 這條面積公式。當中 A代表多邊形的面積；i代表在多邊形裏面的點的數目；b代表多邊形邊界上的點的數目。
※多邊形的角必須在格點上。
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正方形格線上 的例子
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證明 正方形格線 直角三角形 不規則三角形 長方形格線 菱形格線 等邊三角形格線 凸多邊形(n 邊) 凹多邊形(n 邊)
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正方形格線 面積公式：
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直角三角形 (m+1) 點 (n+1) 點 情況一︰ 當 m 和n 互質，斜邊上只有頭尾兩點
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(m+1) 點 (n+1) 點 約簡後， 即
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直角三角形 (n+1) 點 (m+1) 點 (k+1) 點 情況二︰當 k 是 m 和 n 的最大公因數
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(n+1) 點 (m+1) 點 (k+1) 點 約簡後， 即
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不規則三角形 X Y Z T x y z (nx+1) 點 ny 點 (mx+1) 點 mz 點 填補成長方形
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三角形 T 的面積 = 長方形的面積 – 3個直角三角形的面積之和 最後得出 即
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凸多邊形(n 邊)
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分成 (n-2) 個三角形，如下圖﹕ r(n-2) r3 T1 T2 T3 T(n-2) r1 r2 s3 s(n-3) s2 s1
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凸多邊形(n 邊)的面積 = (n-2)三角形的面積的總和 三角形的面積可用 來計算 最後發現，凸多邊形(n 邊)的面積 =
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凹多邊形(n邊)
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r3 r1 rx r2 r4 r5 sy s2 s1 右圖是個凹多邊形，我們可以把它填成一個大的凸多邊形。
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當凹多邊形加上一個凸多邊可填成一個大的凸多邊形時﹕
凹多邊形的面積=大凸多邊形的面積 - 小凸多邊形的面積 即 由一個大的凸多邊形 (n 邊) 減去一個或數個小的凸多邊形而組成的的凹多邊形亦可運用
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長方形格線 面積公式﹕ (m+1)點 (n+1)點 A B C
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這個證明跟正方形格線的證明方法差不多，以下是直角三角形(斜邊上只有頭尾兩點)的證法﹕
是長方格線的面積 約簡後，得出 最後得出
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長方形格線上 的例子
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菱形格線 面積公式﹕
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下圖中，三角形ABC 的面積 = 平行四邊形ABCD 的面積的一半
(m+1)點 (n+1)點
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即 即 三角形ABC 的面積 = (m乘以n)個菱形的面積的一半 當 m 和 n 互質，因為相似三角形，AC 上只有頭尾兩點
當 k 是 m 和 n 的最大公因數，因為相似三角形，AC 上有(k+1)點 即
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菱形格線上 的例子
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等邊三角形格線 面積公式﹕ 即
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等邊三角形格線上 的例子
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體積公式 不可能﹗ 梯形格線
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例子 A B C D E F G H
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例子 A B W Y
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完
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Q & A
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直角三角形 1. 當m 和 n 互質，直角三角形的斜邊上就只有頭尾兩點 2. 當 k 是 m 和 n 的最大公因數時，斜邊上有(k+1)點
O V K n x p 1. 當m 和 n 互質，直角三角形的斜邊上就只有頭尾兩點 2. 當 k 是 m 和 n 的最大公因數時，斜邊上有(k+1)點
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1. 如上頁所示，三角形MON和 MVK 是相似三角形， ， 比0大，比 小。化至最簡後， ， 而且 比1 大， 和 互質。
， 比0大，比 小。化至最簡後， ， 而且 比1 大， 和 互質。 不過 和 互質，即是說， 沒有 的的因子， 所以 。 不是整數， ，因此 在那條斜邊上並只有頭尾兩點。 ※ 、 、 、 是三角形的邊長
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2. 是 m 和 n 的最大公因數 (m 和 n 是三角形的邊長) ， 是整數，並且互質
， 是整數，並且互質 根據 1.，左圖的三角形的斜邊上只有頭尾兩點，因此，當 k 是 m 和 n 的最大公因數時，斜邊上有(k+1)點
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