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第2章 线性代数方程组
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第2章 线性代数方程组 线性代数方程组 可以写为矩阵形式 其中
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矩阵求逆的方法:初等行变换法、伴随矩阵法、高斯约当法
第2章 线性代数方程组 求解方法 方法1 计算量为矩阵求逆 矩阵求逆的方法:初等行变换法、伴随矩阵法、高斯约当法
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第2章 线性代数方程组 求解方法 方法2 Crammer法则
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第2章 线性代数方程组 求解方法 方法2 Crammer法则
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1.将n元方程组的n-1个方程通过“消元”，形成一个与原方程组等价的新方程组
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 消去法的过程 1.将n元方程组的n-1个方程通过“消元”，形成一个与原方程组等价的新方程组 2.继续将n-1个方程通过“消元”形成与之等价的新方程组 3.直到最后一个方程为一元一次方程为止 4.从最后一个方程中解出最后一个未知量，然后回代得到其它的解
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将求解n元方程组的问题通过降维,变为等价的n-1元方程组进行求解，逐次进行直至变为一个一元一次方程为止，然后求解，再逐步回代得到其余的解
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 消去法的基本思想: 将求解n元方程组的问题通过降维,变为等价的n-1元方程组进行求解，逐次进行直至变为一个一元一次方程为止，然后求解，再逐步回代得到其余的解 消去法的基本步骤：消去、回代
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第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 消去过程 对于以下的增广矩阵
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第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 依此类推，消去的第k步，得到矩阵
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第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 经过n-1步消去后，得到 然后，经过回代，得到所有的解
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算法 Gauss(A,b,n,x) 系数矩阵A存放于数组A中，右端向量放在数组b中
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.2 算法组织 算法 Gauss(A,b,n,x) 系数矩阵A存放于数组A中，右端向量放在数组b中 N-1次 N-k次 N-k次 N-1次 N-k次
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第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 时间复杂度分析 1.消去算法运算量 2.回代运算量
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第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 空间复杂度分析
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例2-1：解线性方程组 解:第1次消元: 按前述Gauss消去法计算 , 将第2方程 -- 第1方程,将第3方程 -- 第1方程, 得
将第2方程 第1方程,将第3方程 第1方程, 得 第2次消元: 计算 , 将第3方程 第2方程, 得 回代可得:
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利用线性方程组的矩阵形式, 可将Gauss消去的过程更清晰:
将线性方程组写成增广矩阵形式,并将 写入, 由此 ; 类似,
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若在Gauss消去过程中出现以下两种情况
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 Gauss消去法可以顺利执行的条件 若在Gauss消去过程中出现以下两种情况 则Gauss消去过程中会出现问题
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(1)若A非奇，则可以通过交换方程组中各方程的行序,可以继续执行消去过程
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 第1种情况下 (1)若A非奇，则可以通过交换方程组中各方程的行序,可以继续执行消去过程 (2)若A奇异，则不能继续执行消去过程
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第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 第2种情况下 真实解为 按Gauss消去法为
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第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 原因 若有误差 则 同理
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克服方法,将按绝对值最大的元素交换到主元位置,使
从而前步的误差不再被放大。 选列主元消去法
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若A非奇则可以通过选主元的方式继续执行消去过程
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 列主元Gauss消去法 若A非奇则可以通过选主元的方式继续执行消去过程
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算法 GaussPP(A,b,n,x) 列主元消去法
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 算法 GaussPP(A,b,n,x) 列主元消去法
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算法稳定，在消去过程中计算误差能被有效控制；
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.3 主元 列主元消去法的特点： 算法稳定，在消去过程中计算误差能被有效控制； 当系数矩阵的行列式不为0时，算法总可以执行完成 当矩阵A是对称正定或严格对角占优，则不选主元，Gauss消去法也是稳定的
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Gauss消去法的矩阵意义 回顾例2-1: 可得: 此处:单位下三角矩阵L: 对角元 =1,第k个对角元下的元素是第k 步消去过程对应的 , 上三角矩阵U: Gauss消去最后形成的矩阵(若 是原方程 组的增广矩阵,则 为U的增广矩阵).
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若采用Gauss消去法计算，则解为？ 若采用列主元Gauss消去法计算，则解为？
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Gauss 消去法的矩阵意义： 上述例2-1中, 第1步消元: 等价于矩阵乘法: 第2步消元：
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第一步消去等价于用一个初等下三角阵左乘方程组的两端
第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.1 Gauss消去法的矩阵意义 第一步消去等价于用一个初等下三角阵左乘方程组的两端
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.1 Gauss消去法的矩阵意义
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.1 Gauss消去法的矩阵意义
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.1 Gauss消去法的矩阵意义
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.2 矩阵的LU分解
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.2 矩阵的LU分解 由此定理可以得到L和U的计算公式
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.2 矩阵的LU分解
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.2 矩阵的LU分解
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在迭代过程中，为节省存储空间，可以将每个系数存储在矩阵中
第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.2 矩阵的LU分解 在迭代过程中，为节省存储空间，可以将每个系数存储在矩阵中
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.3 其它的三角分解
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.3 其它的三角分解 推论2.2
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.3 其它的三角分解
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.4 对称正定矩阵 定理2.3
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.4 对称正定矩阵 定理2.4
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.5 带状矩阵的分解 定理2.5
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.5 带状矩阵的分解
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.5 带状矩阵的分解
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.5 带状矩阵的分解
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.5 带状矩阵的分解
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.6 矩阵分解的应用
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.6 矩阵分解的应用
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.6 矩阵分解的应用
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解 2.2.6 矩阵分解的应用
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第2章 线性代数方程组 2.2 矩阵分解
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 残向量
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.1 误差向量和范数
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.1 误差向量和范数
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.1 误差向量和范数
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.1 误差向量和范数
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.1 误差向量和范数
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.1 误差向量和范数
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.1 误差向量和范数
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.1 误差向量和范数
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征 病态方程组的特征及判别
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第2章 线性代数方程组 2.3 线性方程组解的可靠性 2.3.3 误差的代数表征 求解病态方程组的措施
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.1 基本迭代法 Jacobi迭代
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.1 基本迭代法 Jacobi迭代
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.1 基本迭代法 Gauss-Seidel迭代
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.2 迭代法的矩阵表示
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.2 迭代法的矩阵表示
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.2 迭代法的矩阵表示
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.2 迭代法的矩阵表示
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.2 迭代法的矩阵表示
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.2 迭代法的矩阵表示
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.3 收敛性
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.3 收敛性 定理2.6
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.3 收敛性
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.3 收敛性
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.3 收敛性
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.4 算法 定理2.11
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.4 算法
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.4 算法
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第2章 线性代数方程组 2.4 解线性方程组的迭代法 2.4.4 算法
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第2章 线性代数方程组 小结
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