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1 𝑔∘𝑓 为满、单、双射时，g与f所需满足的特性 刘恩萌 戴若石
Open topic 𝑔∘𝑓 为满、单、双射时，g与f所需满足的特性 刘恩萌 戴若石 这个OT的画风和之前完全不同 保证所有人都能听懂 但是一旦所有人都能听懂了 那么也就意味着所有人都能找茬了 我感到了压力…. 但是本着我们的基本原则 我还是会尽力把它讲得又快又好… PS:这是个性冷淡风的ppt

2 𝑔∘𝑓 为满、单、双射时，g与f所需满足的特性
直观分析 我们先通过圈圈和箭头来直观地分析一下这个问题

3 B A D C f · · g 𝑅𝑎𝑛(𝑓) 能复合的前提条件：𝑅𝑎𝑛(𝑓)⊆𝐶 首先g和f要能复合，首先就得保证复合出来是一个函数。
对于A中的每一个x，在f作用下得到的值肯定都在ranf中，那这些f(x)对g来说肯定都得有定义，所以能复合的前提条件就是𝑅𝑎𝑛(𝑓)⊆𝐶。 能复合的前提条件：𝑅𝑎𝑛(𝑓)⊆𝐶

4 A C D ran(f) f g · · 只需要考虑ran(f)，即g | ran(𝑓) 无意义
在C里面有一些元素不在ranf里，那这些元素都不会被A中的x映射到，所以对这个问题的讨论也是没有帮助的，我们干脆把它们扔掉，只考虑g在ranf上的限制 只需要考虑ran(f)，即g | ran(𝑓)

5 ∙ Ran(f) A D f g f从A到ran(f)一定为满射，如果g | ran(𝑓) 不是满射，那么𝑔∘𝑓 也一定不是满射

6 必要性： 这个证明其实比较简单 充分应验了那句话 我们再来看看是不是充分条件 证明就像做生意，买进来，再卖出去 ——秦大师

7 充分性： 对f有要求吗？ 则有： 说明这是一个充要条件 那对f有要求吗？因为之前已经对g做了限制了，所以其实f是不是满射都无所谓
G的限制已经是满射了，那说明g肯定是个满射 则有： 对f有要求吗？

8 ∙ Ran(f) A D f g 如果g | ran(𝑓) 不是单射，那么𝑔∘𝑓 也一定不是单射

9 ∙ Ran(f) A D f g 如果f从A到ran(f)不是单射，那么𝑔∘𝑓 也一定不是单射

10 必要性：

11 充分性： 则有：

12 1、 2、

13 surjective Bijective： ∩ injective

14 ∩ ∩ =

15 𝑔∘𝑓 𝑓 𝑔 满射 无要求 单射 双射 𝑔∘𝑓 为满、单、双射时，g与f所需满足的特性
很有数学的对称美，再次坚定了我的决心

16 THANKS