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Numbers of Nature ─Fibonacci Numbers
大自然的數──斐波那契數 Numbers of Nature ─Fibonacci Numbers 財團法人台北市九章數學教育基金會 孫文先
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斐波那契數 十三世紀意大利數學家斐波那契 (Fibonacci, ) 在1202年寫了一本書《算盤書(Liber Abaci)》。在書裡，他提出一個有趣的問題： 假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子(雌雄各一隻)，其後每隔一個月又可再生一對小兔子。現有一對大兔子和牠們剛生下來的一對小兔子，如果兔子都不死亡，請問一年後有多少對兔子？
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斐波那契數與兔子
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斐波那契數與兔子
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斐波那契數 每個月底的兔子對數是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…；每一項都是前兩項之和。
這個數列被稱為斐波那契數列。斐波那契數列在自然界及生活中處處可見。
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斐波那契數的一些探索問題 比內(Binet)公式
十八世紀初，棣美佛在其所著《分析集錦》(Miscellanea Analytlca)中，給出斐波那契數列的通項表達式(又簡為“封閉形式”，但它不唯一)： 它又稱為比內公式，這是以最初證明它的數學家比內(Binet, )命名的，它又是一個十分耐人尋味的等式：式左是正整數，而式右則是由無理數來表達的。公式的重要性我們不說自明，因為斐波那契數列的許多重要性質的證明都是通過它來完成的。
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斐波那契數的一些探索問題 比內(Binet)公式
用數學歸納法證明。當n = 1時，直接計算即可。設n≦k時，結論為真，現考慮n=k+1的情形： 從而命題對n=k+1時真，因而對任何自然數公式都成立。 當n很大時，(-φ)n趨近於0，所以
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斐波那契數的一些探索問題 比內(Binet)公式 比內公式之另一個證明
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