特殊平行四邊形 大綱 : 菱形 (四邊等長) 長方形 (四角相等) 正方形 (四邊等長且四角相等) 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司.

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1 特殊平行四邊形 大綱 : 菱形 (四邊等長) 長方形 (四角相等) 正方形 (四邊等長且四角相等) 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司

2 菱形 (定義) 四邊等長的四邊形稱為菱形 特殊平行四邊形
若下述四點任一點成立， 則四邊形為平行四邊形： (1) 對角相等 (2) 兩雙對邊等長 (3) 對角線互相平分 (4) 一組對邊平行且相等 A 菱形是鄰邊相等的平行四邊形 B D O 四邊形為平行四邊形，則： (1) 對角相等、鄰角互補 (2) 兩雙對邊等長 (3) 對角線互相平分 (4) 對角線四等分面積 C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 菱形 (性質) 1. 兩對角線為菱形的兩條對稱軸，即兩對角線互相垂直且對角線平分內角。 2. 菱形面積＝ 特殊平行四邊形 A B D O C
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4 菱形 (性質 1 證明) 兩對角線為菱形的兩條對稱軸，即兩對角線互相垂直且對角線平分內角。 特殊平行四邊形 證明： 因為 所以 故
證明： 因為 所以 故 1. 菱形是鄰邊相等的 平行四邊形 2. 四邊形為平行四邊形， 則： (1) 對角相等、鄰角互補 (2) 兩雙對邊等長 (3) 對角線互相平分 (4) 對角線四等分面積 A 3 4 5 1 2 6 B D O 對角線互相垂直且平分的 四邊形為菱形 C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 菱形 (性質 2 證明) 菱形面積＝ 特殊平行四邊形 證明：
1. 菱形是鄰邊相等的 平行四邊形 2. 四邊形為平行四邊形， 則： (1) 對角相等、鄰角互補 (2) 兩雙對邊等長 (3) 對角線互相平分 (4) 對角線四等分面積 A B D O C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 例題 (菱形性質應用) 特殊平行四邊形 如圖，有一菱形 ABCD。請回答下列問題： (1) 是多少度 ? 是多少度 ? (2) 若菱形周長為 52，且 ，求此菱形面積為多少 ? A 1. 菱形是鄰邊相等的 平行四邊形 2. 四邊形為平行四邊形， 則： (1) 對角相等、鄰角互補 (2) 兩雙對邊等長 (3) 對角線互相平分 (4) 對角線四等分面積 3. 菱形的對角線為菱形的 對稱軸 20o (1) (2) 由勾股定理 菱形面積＝ ＝120 1 B D O C [解答] (1) (2) 120 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 例題 (求菱形面積) 特殊平行四邊形 如圖，菱形 ABCD 中， ，E 為 中點， ， 於 F 點， ， 交 於 H 點，交 於 G 點，求菱形 ABCD 的面積。 G F E D C B A H 由勾股定理 菱形面積求法： (1) 底 高 (2) 一塊三角形 (3) 對角線乘積之半 [解答] 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 例題 (求角度) 如圖，菱形 ABCD 中， ，E 為 中點， ， 於 F 點， ， 交 於 H 點，交 於 G 點，求 的度數。
特殊平行四邊形 如圖，菱形 ABCD 中， ，E 為 中點， ， 於 F 點， ， 交 於 H 點，交 於 G 點，求 的度數。 因為 所以 AECG 為平行四邊形 故 另因為 ABCD 為菱形 所以 由外角定理知 1. 菱形是鄰邊相等的 平行四邊形 2. 30o-60o-90o 的直角 三角形三邊長比例 為 3. 求角度問題通常 思考： (1) 內、外角和。 (2) 外角定理。 (3) 全等三角形。 G F E D C B A H [解答] 120o 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 矩形 (定義) 四內角相等的四邊形為矩形 對稱軸 對稱軸 特殊平行四邊形
若下述四點任一點成立， 則四邊形為平行四邊形： (1) 對角相等 (2) 兩雙對邊等長 (3) 對角線互相平分 (4) 一組對邊平行且相等 對稱軸 A D 對稱軸 矩形是鄰角相等的平行四邊形 O 四邊形為平行四邊形，則： (1) 對角相等、鄰角互補 (2) 兩雙對邊等長 (3) 對角線互相平分 (4) 對角線四等分面積 B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

10 矩形 (性質) 1. 矩形的兩條對角線等長。 2. 矩形面積＝ 特殊平行四邊形
1. 矩形是鄰角相等的 平行四邊形 2. 四邊形為平行四邊形， 則： (1) 對角相等、鄰角互補 (2) 兩雙對邊等長 (3) 對角線互相平分 (4) 對角線四等分面積 證明： 因為 所以 故 A D O B C 對角線互相平分且等長的 四邊形為矩形 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

11 例題 (矩形判別問題) 平行四邊形 ABCD 中，作四內角平分線分別交於 P、Q、R、S 四點，如圖， 試說明四邊形 PQRS 為矩形。
特殊平行四邊形 平行四邊形 ABCD 中，作四內角平分線分別交於 P、Q、R、S 四點，如圖， 試說明四邊形 PQRS 為矩形。 兩平行線被一直線所截： 1. 同位角相等 2. 內錯角相等 3. 同側內角互補 A D 3 S R P 1 Q 2 同理 所以 PQRS 為矩形 B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

12 例題 (矩形性質應用) 特殊平行四邊形 平行四邊形 ABCD 中，作四內角平分線分別交於 P、Q、R、S 四點，如圖若 ， ， ，求矩形 PQRS 的周長及面積。 30o-60o-90o 的直角 三角形三邊長比例 為 A D S R P Q B C [解答] 面積 ；周長 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

13 例題 (矩形摺疊問題) 特殊平行四邊形 如圖，矩形 ABCD 中， ，將 及 分別沿過 A 和 B 的直線 AE 和 直線 BF 向內摺疊，使得 D、C 重合於 G 點，且 ，則 1. 解摺疊問題的基本想法： 摺疊前後相等的長度 或角度往往會是分析關鍵 2. 矩形性質： (1) 四角相等 (2) 對邊相等且平行 (3) 對角線互相平分且 等長 3. 等腰直角三角形三邊長 比例為 因為 D、C 重合於 G ， 所以 因為 所以 又 故 為等腰直角三角形 由勾股定理 D E F C G A B [解答] 2 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

14 正方形 (定義) 四邊等長且四角相等的四邊形為正方形 特殊平行四邊形
　 四邊等長且四角相等的四邊形為正方形 1. 正方形是四角相等 的菱形 2. 正方形是四邊等長 的矩形 3. 正方形是有四條對 稱軸的線對稱圖形 4. 正方形面積＝ 邊長平方 A D O B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

15 例題 (正方形性質應用) 如圖，菱形 ABCD 中， ， ，則以 為一邊的正方形面積和 周長各為多少 ? 特殊平行四邊形
　 如圖，菱形 ABCD 中， ， ，則以 為一邊的正方形面積和 周長各為多少 ? 正方形： 1. 四邊等長 2. 面積＝邊長平方 A B D C [解答] 面積＝16；周長＝16 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

16 例題 (正方形性質應用) 如圖，有大小兩個正方形共用一頂點及一邊，若大正方形邊長與小正方形邊長 比為5：3，則 與 的面積比為何 ?
特殊平行四邊形 　 如圖，有大小兩個正方形共用一頂點及一邊，若大正方形邊長與小正方形邊長 比為5：3，則 與 的面積比為何 ? 1. 三角形面積＝ (1) 高相等，面積比＝底的比 (2) 底相等，面積比＝高的比 2. 正方形四邊相等。 F E A G B C D [解答] 3：2 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

17 例題 (正方形性質應用) 如圖，ABCD 是邊長為 4 的正方形，若 E、F 分別為 、 的中點，且 於 H，則 特殊平行四邊形 A D
　 如圖，ABCD 是邊長為 4 的正方形，若 E、F 分別為 、 的中點，且 於 H，則 A D 求線段長的方法： 1. 勾股定理 2. 相似 3. 面積 4. 三角形的全等 F H B E C [解答] 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

18 重點整理 特殊平行四邊形 　 　 平行四邊形： 1. 兩雙對邊互相平行 2. 兩雙對邊等長 3. 對角相等、鄰角互補 4. 對角線互相平分 5. 沒有對稱軸 矩形(長方形)： 1. 四角相等 2. 對角線等長 3. 面積＝長乘寬 4. 兩條對稱軸(非對角線) 菱形： 1. 四邊相等 2. 對角線互相垂直 3. 面積＝對角線乘積之半 4. 兩條對稱軸(對角線) 正方形 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

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