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Advanced Competitive Programming
國立成功大學ACM-ICPC程式競賽培訓隊 Department of Computer Science and Information Engineering National Cheng Kung University Tainan, Taiwan
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Number Theory
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Number Theory Prime Generation Integer Factorization
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Number Theory Prime Generation Integer Factorization
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埃拉托斯特尼篩法 Sieve of Eratosthenes
簡稱「篩法」 這是一個製作質數表的演算法。 時間複雜度 O(NloglogN)
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埃拉托斯特尼篩法 Sieve of Eratosthenes
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埃拉托斯特尼篩法 Sieve of Eratosthenes
列出所有正整數。 從 2 開始，刪掉 2 的倍數。 找下一個未被刪掉的數字，找到 3 ，刪掉 3 的倍數。 找下一個未被刪掉的數字，找到 5 ，刪掉 5 的倍數。 如此不斷下去，就能刪掉所有合數，找到所有質數。
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埃拉托斯特尼篩法 Sieve of Eratosthenes
bool sieve[ ]; void eratosthenes() { sieve[0] = sieve[1] = true; // 0 和 1 不是質數 for (int i = 2; i < ; i++) if (!sieve[i]) // 找下一個未被刪掉的數字 for (int j = i + i; j < ; j += i) sieve[j] = true; // 刪掉質數 i 的倍數 }
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埃拉托斯特尼篩法 Sieve of Eratosthenes
欲刪掉質數 i 的倍數之時，早已刪掉其 2 倍到 i-1 倍了，所以可以直接從 i 倍開始。 一個合數 n ，必定有一個小於等於 sqrt(n) 的質因 數。 所有小於等於 sqrt(n) 的質數，刪掉這些質數的倍 數，就能刪掉所有合數了，剩下沒刪掉的都是質數
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埃拉托斯特尼篩法 Sieve of Eratosthenes
bool sieve[ ]; void eratosthenes() { sieve[0] = sieve[1] = true; for (int i = 2; i * i < ; i++) // 以平方代替根號計算，以避免小數造成誤差 if (!sieve[i]) for (int j = i * i; j < ; j += i) sieve[j] = true; }
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線性時間篩法 Linear Sieve Algorithm
一邊製作質數表，一邊刪掉每個數的質數倍， 如此每個合數就只讀取一次，時間複雜度達到 O(N) 。
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線性時間篩法 Linear Sieve Algorithm
const int N = ; bool sieve[N]; void linear_sieve() { vector<int> prime; for (int i = 2; i < N; i++) { if (!sieve[i]) prime.push_back(i); for (int j = 0; i * prime[j] < N; j++) { sieve[i * prime[j]] = true; if (i % prime[j] == 0) break; }
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Questions?
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練習 UVa OJ 406 UVa OJ 543 UVa OJ UVa OJ 10311
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Number Theory Prime Generation Integer Factorization
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質因數分解 把一個正整數分解成質因數的連乘積。 n = 2^n₁ × 3^n₂ × 5^n₃ × 7^n₄ × 11^n₅ × …
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質因數分解 把所有可能的因數拿來試除。 void trial_division(int n) { for(int d = 2; d <= n; ++d) while(n % d == 0) { n /= d; cout << d; // 質因數 }
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質因數分解 跟篩質數時一樣檢查小於等於sqrt(n)的因數就好了 void trial_division(int n) { for(int d = 2; d * d <= n; ++d) while(n % d == 0) { n /= d; cout << d; // 質因數 } if(n > 1) cout << n; // n是質數
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質因數分解 質因數必定是質數 所以只要建好質數表 然後試除小於sqrt(n)的質數就好了
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Questions?
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練習 UVa OJ 583 UVa OJ UVa OJ UVa OJ UVa OJ 10879
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Calculation
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Calculation 對於大數字的運算，普通的做法不夠快， 因此接下來將介紹快速的乘法及冪運算
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Calculation Gauss′s complex multiplication algorithm
Karatsuba algorithm Fast exponentiation
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Calculation Gauss′s complex multiplication algorithm
Karatsuba algorithm Fast exponentiation
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複數乘法 對於 a + bi, c + di
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複數乘法 對於 a + bi, c + di 相乘得 (ac – bd) + (bc + ad)i
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複數乘法 對於 a + bi, c + di 相乘得 (ac – bd) + (bc + ad)i 一般需要計算 ac, bd, bc, ad 共四次乘法 才能計算出兩數相乘
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複數乘法 (ac – bd) + (bc + ad)i 對於 (ac – bd) = ac + bc – bc – bd
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複數乘法 (ac – bd) + (bc + ad)i 對於 (ac – bd) = ac + bc – bc – bd 令 k1 = ac + bc = c(a+b) k2 = bc + bd = b(c+d)
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複數乘法 (ac – bd) + (bc + ad)i 對於 (bc + ad) = ac + bc + ad – ac
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複數乘法 (ac – bd) + (bc + ad)i 對於 (bc + ad) = ac + bc + ad – ac 令 k1 = ac + bc = c(a+b) k3 = ad - ac = a(d-c)
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複數乘法 (ac – bd) + (bc + ad)i = (k1-k2) + (k1+k3)i k1 = ac + bc = c(a+b) k2 = bc + bd = b(c+d) k3 = ad - ac = a(d-c)
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複數乘法 (ac – bd) + (bc + ad)i = (k1-k2) + (k1+k3)i 總共只需要三次乘法 似乎變快了一點
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Questions?
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Calculation Gauss′s complex multiplication algorithm
Karatsuba algorithm Fast exponentiation
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Karatsuba algorithm 對於剛剛的複數乘法 似乎對於整數 x, y 相乘有些啟示
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Karatsuba algorithm 對於剛剛的複數乘法 似乎對於整數 x, y 相乘有些啟示 也就是令 x = am + b y = cm + d a + bi
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x = am + b y = cm + d xy = acm2 + (ad + bc)m + bd
Karatsuba algorithm x = am + b y = cm + d xy = acm2 + (ad + bc)m + bd
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Karatsuba algorithm xy = acm2 + (ad + bc)m + bd 其中 (ad + bc) = ad + ac + bc + bd – bd – ac = (a + b)(c + d) – bd - ac
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Karatsuba algorithm xy = acm2 + (ad + bc)m + bd (ad + bc) = ad + ac + bc + bd – bd – ac = (a + b)(c + d) – bd – ac z1 = ac z2 = bd z3 = (a + b)(c + d)
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Karatsuba algorithm xy = acm2 + (ad + bc)m + bd 也就是說 xy = z1m2 + (z3-z1-z2)m + z2 z1 = ac z2 = bd z3 = (a + b)(c + d)
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Karatsuba algorithm xy = acm2 + (ad + bc)m + bd 也就是說 xy = z1m2 + (z3-z1-z2)m + z2 z1 = ac z2 = bd z3 = (a + b)(c + d)
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Karatsuba algorithm xy = z1m2 + (z3-z1-z2)m + z2 假設數字長度為 n 總共只需要三次乘法 相較於直式乘法複雜度 O(n2) 這個算法有複雜度 3⋅O(n2)
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Karatsuba algorithm 到底在幹三小?
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分治法 對於上述演算法， 凡是遇到乘法運算，都使用同樣的演算法 感恩分治 讚嘆分治
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分治法 對於上述演算法， 凡是遇到乘法運算，都使用同樣的演算法 並且對於數字的分割，總是分成均等的兩半 例如 6789 分成 67 和 = 67⋅
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分治法 int k(int x, int y) { if(x < 10 || y < 10) return x*y; int len = min(log10(x), log10(y)); int m = pow(10, len/2 + 1); auto [a, b] = div(x, m); // since c++17 auto [c, d] = div(y, m); int z1 = k(a, c), z2 = k(b, d), z3 = k(a+b, c+d); return z1*m*m + (z3-z1-z2)*m + z2; }
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分治法 時間成本 T(n) T(n) = 3⋅T(n/2) + cn T(1) = 1 + c1 複雜度為 O(3lgn) = O(nlg3)
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Questions?
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Calculation Gauss′s complex multiplication algorithm
Karatsuba algorithm Fast exponentiation
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Exponentiating by Squaring
快速冪以及矩陣快速冪
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如何計算 % O(n)：反正就把 3 一直乘 O(lg n)：快速冪
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快速冪 觀察 3n × 3n = 32n 可以分解3987654321 = 31 × 316 × 332 × 3128 × ……
= (2)// 抱歉很亂 = …
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快速冪 只要 n 是 2 的冪次 3n 就能很快求出來 3n = 3n/2 × 3n/2
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快速冪 int x = 1, a = 3; while (n) { } // x 就是答案
if (n&1) x *= a; // 二進位尾數是 1 x %= ; a *= a; a %= ; n >>= 1; } // x 就是答案
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矩陣快速冪 矩陣也有類似性質 假設現在有個方陣 A，An × An = A2n 對於費氏數列：
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練習 Zero Judge b525 b525: 先別管這個了，你聽過turtlebee嗎？
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Questions?
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Floating-Point Precision
浮點數誤差以及競程處理技巧
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形成原因：IEEE 754 的浮點數的儲存 用 0 跟 1 表示浮點數 表示方式：1.1101010(2) × 24(10)
優點：在精度內可以表達好，通常精度夠用 缺點：超出精度就無法表示 直接 WA
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舉例 0.69(double) × 10 ≠ 6.9 (double) 結果可能是 6.89999……
在 print 的時候不容易出錯，但在比較大小或判 斷相等時常會出問題
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解決方法 假設今天有個閾值是 6.9，6.899999 這樣的表 示會有問題 解決方案一：四捨五入
解決方案二：乘上 1.000…001(數量根據精度調整) -> 較推薦
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解決方法(比較大小) if (0.69 * 10 * 1.000…1 >= 6.9) { do something }
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解決方法(比較相等) if (abs((0.69*10) - 6.9) <= 0.69*1e-15) { do something }
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AC Get
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