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§4.5 最大公因式的矩阵求法（ Ⅱ ）
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设F是一个数域 定义1 以F[x]中的多项式为元素的矩阵称为F上的x - 矩阵. 定义2 称以下三种变换为x -矩阵的行(列)初等变换： 1）交换x - 矩阵的某两行(列)； 2）用F 中的非零数乘以x - 矩阵的某一行(列)的每个元素； 3）用F[x]中的多项式(x) 乘以x - 矩阵的某一行(列)的每个元素后加到另一行(列)的对应元素上.
![设F是一个数域 定义1 以F[x]中的多项式为元素的矩阵称为F上的x - 矩阵. 定义2 称以下三种变换为x -矩阵的行(列)初等变换： 1）交换x - 矩阵的某两行(列)； 2）用F 中的非零数乘以x - 矩阵的某一行(列)的每个元素；](http://slidesplayer.com/slide/17355962/101/images/2/%E8%AE%BEF%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%9F%9F+%E5%AE%9A%E4%B9%891+%E4%BB%A5F%5Bx%5D%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E4%B8%BA%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%A7%B0%E4%B8%BAF%E4%B8%8A%E7%9A%84x+-+%E7%9F%A9%E9%98%B5.+%E5%AE%9A%E4%B9%892+%E7%A7%B0%E4%BB%A5%E4%B8%8B%E4%B8%89%E7%A7%8D%E5%8F%98%E6%8D%A2%E4%B8%BAx+-%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E8%A1%8C%28%E5%88%97%29%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%8F%98%E6%8D%A2%EF%BC%9A+1%EF%BC%89%E4%BA%A4%E6%8D%A2x+-+%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E6%9F%90%E4%B8%A4%E8%A1%8C%28%E5%88%97%29%EF%BC%9B+2%EF%BC%89%E7%94%A8F+%E4%B8%AD%E7%9A%84%E9%9D%9E%E9%9B%B6%E6%95%B0%E4%B9%98%E4%BB%A5x+-+%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E6%9F%90%E4%B8%80%E8%A1%8C%28%E5%88%97%29%E7%9A%84%E6%AF%8F%E4%B8%AA%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%9B.jpg "3）用F[x]中的多项式(x) 乘以x - 矩阵的某一行(列)的每个元素后加到另一行(列)的对应元素上.")
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引理 设F上的x - 矩阵 的左上角元素 不是零多项式，并且A(x)的第1列中至少有一个元素不能被左上角元素 所整除，那么只通过x - 矩阵的行初等变换可把A(x)化为B(x)，使得B(x)的左上角元素也 不为0，但其次数小于A(x)的左上角元素的次数
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这里d(x)是最高次项系数为1的多项式，* 表示x－矩阵的元素，但不同位置上的 *表示的元素未必相同.
定理 设 并且A(x)的第1列的元素不全是零多项式．那么只通过x－矩阵的行初等变换可把A(x)化为s行(s+1)列的x－矩阵 这里d(x)是最高次项系数为1的多项式，* 表示x－矩阵的元素，但不同位置上的 *表示的元素未必相同.
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定理 设 对A(x)施行若干次x－矩阵的行初等变换后得到 那么
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例1 设
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