数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 ——勒内·笛卡尔

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1 数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 ——勒内·笛卡尔
数 学 建 模 数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 ——勒内·笛卡尔

2 第9章 建模综合案例 某某某

3 目录 1 估计水塔水流量 2 零件参数的设计 数学建模

4 第9章 建模综合案例 第49讲 估计水塔水流量（I）

5 估计水塔的流水量 美国加州的各用水管理机构要求各社区提供用水率（加仑/小时）以及每天所用的总水量。许多社区没有测量流入或流出当地水塔的水量装置，他们只能通过每小时测量水塔中的水位来估计用水的情况，水塔中的水位测量值的精度不超过5%。当水塔中的水位下降到最低水位L时，水泵就启动向水塔输水达到最高水位H，但不能测量水泵的供水量。因此，当水泵正在输水时，不容易建立水塔中水位和水泵工作时用水量之间的关系。水泵每两天输水一次或两次，每次约2小时。 数学建模

6 试估计任何时刻t(包括水泵正在输水的时间内)从水塔流出的流量f(t)，并估计一天的总用水量。
附表给出了某各小镇一天用水情况的真实数据，即测量时刻（以秒为单位）以及该时刻的水位测量值（以百分之一英尺为单位）。例如，初始时刻t=0秒，水塔中水位达到31.75 英尺；t=3316 秒后，水塔中水位达到31.10 英尺。水塔是一个高为40 英尺，直径为57 英尺的正圆柱，通常当水塔水位降至约L=27.00 英尺的水泵开始工作，当水位升到H=35.50 英尺时水泵停止工作。 试估计任何时刻t(包括水泵正在输水的时间内)从水塔流出的流量f(t)，并估计一天的总用水量。 数学建模

7 估计水塔的流水量 时间（秒） 水位(0.01英尺) 3175 35932 水泵工作 68535 2842 3316 3110 39332 71854 2767 6635 3054 39435 3550 75021 2697 10619 2994 43318 3445 79154 13937 2947 46636 3350 82649 17921 2892 49953 3260 85968 3475 21240 2850 53936 3167 89953 3397 25223 2797 57254 3087 93270 3340 28543 2752 60574 3012 32284 64554 2927 数学建模

8 估计水塔的流水量 一、模型假设 除了问题中特别说明的数据以外，其它给定的数据其测量误差不超过0.5%。
假设任意一天均为t=0秒时刻到t=86400秒时结束，且一天之中水的流速保持相同；而且一天中的起始时刻的不同对一天的总用水量影响很小。 社区的用水管理机构不关注水流速的瞬时值，他们感兴趣的是整个一天的用水趋势。数据资料的一些特征指标（如用水量的高峰时间）将更符合管理机构的要求。 假设流速可以由一条光滑曲线近似表示，即在给定的数据点上有连续的二阶导数。 数学建模

9 估计水塔的流水量 二、建立数学模型 1、确定近似水流
问题的最大困难就是描述水泵向水塔供水期间的水塔的水流速。为此，我们首先来估计除了水泵启动时刻以外的每个已知数据点上的水流速。 由于水塔是一个圆柱体，体积为 ，其中水塔直径为D=57英尺，水塔水位高h，1加仑=7.481立方英尺，将附表中数据的时间换算成以小时为单位，水位高换算成水体积，单位为加仑，从而得到不同时刻水塔中水的体积如下表1，相应的散点图如图1所示。 1、确定近似水流 数学建模

10 估计水塔的流水量 表1 水塔中水的体积 数学建模 时间 （小时） 水体积 （105加仑） 6.0602 9.98101 水泵工作
6.0602 水泵工作 5.4246 0.9211 5.9361 5.2814 1.8431 5.8292 6.7759 5.1478 2.9497 5.7147 6.5755 3.8714 5.6250 6.3942 4.9781 5.5200 6.2224 6.6328 5.9000 5.4398 6.0449 6.4839 7.0064 5.3387 5.8922 6.3751 7.9286 5.2528 5.7491 8.9678 5.5868 数学建模

11 估计水塔的水流量 图1 不同时刻水体积散点图 数学建模

12 估计水塔的水流量 令y=f(t)表示t时刻水塔中的水流量速，根据牛顿-格雷果里（Newton-Gregory）前向多项式，对于每组的前两点有： 其中，（ti，fi）表示问题中的第i数据点， 是前向差分，类似地，为简化计算取n=3。 数学建模

13 估计水塔的水流量 对于每组的最后两个点，用牛顿-格雷果里后向多项式
由于水泵工作，将表1中数据点分为三段，利用上述数值微分公式来估计除了水泵启动时刻以外的每个已知数据点上的水流速，从而得到关于流速的一个精确近似值（除了水泵启动的数据点），具体数值见附件1。相应的散点图如图2所示。 数学建模

14 图2 水流速散点图 数学建模

15 Thank you