§1 向量的内积、长度及正交性 1. 内积的定义及性质 2. 向量的长度及性质 3. 正交向量组的定义及求解 4. 正交矩阵与正交变换.

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1 §1 向量的内积、长度及正交性 1. 内积的定义及性质 2. 向量的长度及性质 3. 正交向量组的定义及求解 4. 正交矩阵与正交变换

2 1.内积的定义及性质 定义1 内积

3 内积的性质

4 2.向量的长度及性质 定义2 令 长度 范数 向量的长度具有下述性质：

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6 3.正交向量组的定义及求解 （1）正交的定义 （2）正交向量组的定义 　一组两两正交的非零向量，称为正交向量组．

7 （3） 正交向量组的性质 证明

8 例1 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求一个非零向量 ，使 两两正交。

9 解 则有 即 解之得 由上可知 两两正交.

10 定义 设V为向量空间，如果r个向量 且满足 线性无关； （1） （2）V 中任一向量都可由 线性表示， 那么，向量组 就称为向量空间V 的一个基， r 称为向量空间V 的维数，并称V 为 r 维向量空间。

11 （4） 标准正交基 例如

12 （5）标准正交基的求解 （1）正交化，取 ，

13 （2）单位化，取

14 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 标准正交化. 解 先正交化， 取

15 再单位化， 得标准正交向量组如下

16 4.正交矩阵与正交变换 定义4 如果n阶矩阵A满足 ATA=E（即A-1=AT）， 那么称A为正交矩阵，简称正交阵。

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18 定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正 交变换． 性质 正交变换保持向量的长度不变． 证明

19 作业 P138：1,2（2）

20 §2 方阵的特征值与特征向量 1.特征值与特征向量的定义及求解 2.特征值与特征向量的性质 3.小结

21 1.特征值与特征向量的定义及求解 说明

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24 例5 解

25

26 例6 解

27 所以kp1(k≠0)是对应于 的全部特征向量。

28 所以kp2(k≠0)是对应于 的全部特征向量。

29 2.特征值与特征向量的性质 （1）特征值的性质 例7 设 是方阵A的特征值，证明 例8 设3阶矩阵A的特征值为1，-1，2，求
A*+3A-2E的特征值。

30 （2）特征向量的性质

31 3.小结 求矩阵特征值与特征向量的步骤：

32 作业 P139：6（2）；13

33 §3 相似矩阵 1.相似矩阵与相似变换的定义 2.相似矩阵的性质 3.利用相似变换将方阵对角化 4.小结

34 1.相似矩阵与相似变换的定义

35 2.相似矩阵的性质 证明

36 推论 若 阶方阵A与对角阵

37 3.利用相似变换将方阵对角化

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39 　　　如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 　　　如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化．

40 A能否对角化？若能对角 例10 解

41 解之得基础解系

42 所以 可对角化.

43 注意 　　即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．

44 例11 问t为何值时，矩阵A能对角化？ 解 时，可求得线性无关的特征向量恰有1个， 故矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根 有2个线性无关的特征向量，即方程

45 （A-E）x=0有2个线性无关的解， 亦即系数矩阵A-E的秩R(A-E)=1. 要R(A-E)=1，得t+1=0，即t=-1. 因此，当t=-1时，矩阵A能对角化.

46 4.小结 相似矩阵与相似变换 相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 ，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
变成　　　，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵． 　　这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．

47 作业 P139:15,16

48 §4 对称矩阵的对角化 1.对称矩阵的性质 2.利用正交矩阵将对称阵对角化 3.小结

49 1.对称矩阵的性质 性质1 对称矩阵的特征值为实数。

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51 2.利用正交矩阵将对称阵对角化 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵A 对角化的步骤为： 1. 2. 3. 将特征向量正交化; 4.
将特征向量单位化. 4.

52 例12 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，
使 为对角阵. 解 (1)第一步 求 的特征值

53 解之得基础解系 解之得基础解系

54 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化

55

56 解

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58 于是得正交阵

59 例13 设 求An 解 得A的特征值 于是

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61 3.小结 1.对称矩阵的性质 (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
　 (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，可将其化为对角阵。 2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 　 (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量正交化；(4)将特征向量单位化。

62 作业 P140:20