一次函数、二次函数与幂函数 基础知识 自主学习

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1 一次函数、二次函数与幂函数 基础知识 自主学习
要点梳理 1.一次函数、二次函数的图象及性质 (1)一次函数y=kx+b，当k>0时，在实数集R上是增函 数,当k<0时在实数集R上是减函数.b叫纵截距,当b=0 时图象过原点，且此时函数是奇函数；当b≠0时函 数为非奇非偶函数. 一次函数、二次函数与幂函数 基础知识 自主学习

2 (2)二次函数的解析式 ①二次函数的一般式为____________________. ②二次函数的顶点式为__________________,其中顶 点为_______. ③二次函数的两根式为____________________,其中 x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.(也就是函数的零点) 根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求 解析式. y=ax2+bx+c （a≠0） y=a(x-h)2+k (a≠0) (h,k) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

3 (3)二次函数图象和性质 ①二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点坐标为 ;对称轴方程为 熟练通过配 方法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图. ②在对称轴的两侧单调性相反. ③当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.

4 ______________________
2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c的图象 (a>0) 方程ax2+ bx+c=0的解 ______________________ ____ 无解 ax2+bx+c>0的解集 ax2+bx+c<0的解集 __________ x1,x2 (x1<x2) x0 {x|x>x2 或x<x1} {x|x∈R 且x≠x0} R {x|x1<x<x2}

5 3.幂函数 (1)幂函数的定义 形如________( ∈R)的函数称为幂函数,其中x是 _______, 为______. (2)幂函数的图象 自变量 常数

6 (3)幂函数的性质 y=x y=x2 y=x-1 定义域 __ ____ ___ ________ ______________ 值域
特 征 y=x y=x2 y=x-1 定义域 __ ____ ___ ________ ______________ 值域 ______ 奇偶性 _____ 函数 性质 {x|x∈R 且x≠0} R R R [0,+∞) {y|y∈R 且y≠0} R [0,+∞) R [0,+∞) 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

7 ____________________________________
单调性 __ ____________________________________ ____ ___ 定点 ________ ,_________ _______ x∈[0, +∞)时,增 x∈(-∞, 0]时,减 x∈(0, +∞)时,减 x∈(-∞, 0)时,减 增 增 增 (0，0) (1，1) (1，1)

8 基础自测 1.直线 的图象可能是 （ ） B 解析 ∵a≠0，∴C不可能. 当a>0时， 排除A.
1.直线 的图象可能是 （ ） 解析 ∵a≠0，∴C不可能. 当a>0时， 排除A. 当a<0时， ，排除D，故选B. B

9 2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标
系中的图象大致是 （ ） 解析 选项A中，一次函数的斜率a>0，而二次函数 开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D, y=ax2+bx+c的对称轴为 当a>0,b>0时， ∴排除B. 当a<0,b<0时， 故选C. C

10 3.设 则使函数 的定义域为 R且为奇函数的所有 值为 （ ） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.1,3， 解析 当 =1，3时， 的定义域为R且为奇函 数，当 =-1时， 的定义域为{x|x≠0,x∈R}, 淘汰B、C,当 时, 的定义域为[0,+∞), 排除D.故选A. A

11 4.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调
A.a≤2或a≥ B.2≤a≤3 C.a≤-3或a≥ D.-3≤a≤-2 解析 本题考查二次函数图象及其性质，由于二次 函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3) 内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧， 即a≤2或a≥3. A

12 5.方程x2-mx+1=0的两根为 且 则实数m的取值范围是_______. 解析 方法一

13 方法二 设f(x)=x2-mx+1,则f(0)=1. 由图可知， f(1)·f(2)=(2-m)(5-2m)<0, ∴2<m< 答案

14 题型分类 深度剖析 题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且
题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是8，试确定此二次函数. 确定二次函数采用待定系数法，有三种 形式，可根据条件灵活运用. 题型分类 深度剖析 思维启迪

15 解 方法一 设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),
依题意有 ∴所求二次函数为y=-4x2+4x+7. 方法二 设f(x)=a(x-m)2+n. ∵f(2)=f(-1), ∴抛物线对称轴为 ∴m=

16 又根据题意函数有最大值为n=8， ∴y=f（x）= ∵f（2）=-1， 解之，得a=-4. 方法三 依题意知：f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,即

17 解之，得a=-4或a=0(舍去）. ∴函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定. 探究提高

18 知能迁移1 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且
解 设f(x)=ax2+bx+c (a≠0). 由f(x+2)=f(2-x)知，该函数图象关于直线x=2对称, ∴ 即b=-4a ① 又∵图象过（0，3）点，∴c= ②

19 ∴b2-2ac=10a ③ 由①②③得a=1,b=-4,c=3. 故f（x）=x2-4x+3.

20 题型二 二次函数的图象与性质 【例2】 已知函数 在区间[0,1] 上的最大值是2，求实数a的值. 研究二次函数在给定区间上的最值问 题，要讨论对称轴与给定区间的关系. 解 对称轴为 思维启迪

21 (1)当0≤ ≤1，即0≤a≤2时， 得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾.不合要求； (2)当 <0，即a<0时，y在[0，1]上单调递减， 有ymax=f(0)，f(0)=2 (3)当 >1，即a>2时，y在[0，1]上单调递增， 有ymax=f(1),f(1)=2 综上，得a=-6或a=

22 探究提高 (1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对
函数最值的影响. (2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二 次函数化为y=a(x-m)2+n的形式，得顶点（m，n）或 对称轴方程x=m，分三个类型： ①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动.

23 知能迁移2 已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间
[t,t+1]上的最大值h(t). 解 f（x）=-x2+8x=-(x-4)2+16 ①当t+1<4,即t<3时， f(x)在[t,t+1]上单调递增. 此时h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7； ②当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16； ③当t>4时，f(x)在[t,t+1]上单调递减. 此时h(t)=f(t)=-t2+8t. 综上可知

24 题型三 幂函数的图象及应用 【例3】 点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有 f(x)＞g(x)，f(x)=g(x)，f(x)＜g(x). 由幂函数的定义，求出f(x)与g(x) 的解析式，再利用图象判断即可. 解 设 则由题意得 ∴ =2，即f（x）=x2，再设 则由题意得 ∴ =-2，即g（x）=x-2， 思维启迪

25 在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示.
由图象可知： ①当x＞1或x＜-1时， f（x）＞g（x）; ②当x=±1时,f(x)=g(x); ③当-1＜x＜1且x≠0时， f（x）＜g（x）. (1)函数图象在解方程和不等式时有着 重要的应用. (2)注意本题中，g（x）的定义域为{x|x≠0}，所以 ③中不包含x=0这一元素. 探究提高

26 知能迁移3 已知幂函数 的图象与x、y 轴都无公共点，且关于y轴对称，求整数n的值并画 出该函数的草图. 解 ∵函数图象与x、y轴都无公共点， ∴n2-2n-3≤0，∴-1≤n≤3. 又∵n为整数，∴n∈{-1，0，1，2，3}. 又图象关于y轴对称，∴n2-2n-3为偶数. ∴n=-1，1，3.

27 当n=-1和3时,n2-2n-3=0，y=x0图象如图（1）所示;
图（1） 图（2）

28 题型四 幂函数的性质 【例4】 （12分）已知幂函数 (m∈N*) 的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数， 求满足 的a的取值范围. 由 (m∈N*)的图象关于y 轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+∞）上是减函 数，∴m2-2m-3<0，从而确定m值，再由函数f(x)= 的单调性求a的值. 思维启迪

29 解 ∵函数在(0，+∞)上递减， ∴m2-2m-3<0，解得-1<m<3. ∵m∈N*，∴m=1， 分 又函数的图象关于y轴对称，∴m2-2m-3是偶数， 而22-2×2-3=-3为奇数，12-2×1-3=-4为偶数， ∴m= 分 而 在(-∞,0),(0，+∞)上均为减函数,6分 ∴ 等价于a+1>3-2a>0 或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a 分

30 解得 故a的取值范围为 分 本题集幂函数的概念、图象及单调性、 奇偶性于一体,综合性较强，解此题的关键是弄清幂 函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步：第 一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的 值或范围;第二步，利用分类讨论的思想，结合函数 的图象求出参数a的取值范围. 探究提高

31 知能迁移4 指出函数 的单调区间, 并比较 的大小. 解 ∵ =1+(x+2)-2, 其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再 向上平移1个单位得到，

32 该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞，-2)上是
增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.

33 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.二次函数的解析式有三种形式:一般式、顶点式和 两根式.根据已知条件灵活选用.
2.二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系, 因此单调性的判断通常用数形结合法来判断. 3.幂函数 （ ∈R）,其中 为常数,其本质特征 是以幂的底x为自变量，指数 为常数，这是判断一 个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注 意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数， 如y=x+1，y=x2-2x等都不是幂函数. 思想方法 感悟提高 方法与技巧

34 失误与防范 4.在（0，1）上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠 近x轴（简记为“指大图低”），在（1，+∞）上，
1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会 出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限 内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同 时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相 交，则交点一定是原点. 失误与防范

35 2.幂函数的定义域的求法可分5种情况：① 为零；
② 为正整数；③ 为负整数；④ 为正分数； ⑤ 为负分数. 3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的 图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义 域内完整的图象. 4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复 合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型.进一 步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和 方法.